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- In mathematics, specifically algebraic topology, the cohomology ring of a topological space X is a ring formed from the cohomology groups of X together with the cup product serving as the ring multiplication. Here 'cohomology' is usually understood as singular cohomology, but the ring structure is also present in other theories such as de Rham cohomology. It is also functorial: for a continuous mapping of spaces one obtains a ring homomorphism on cohomology rings, which is contravariant. Specifically, given a sequence of cohomology groups Hk(X;R) on X with coefficients in a commutative ring R (typically R is Zn, Z, Q, R, or C) one can define the cup product, which takes the form The cup product gives a multiplication on the direct sum of the cohomology groups This multiplication turns H•(X;R) into a ring. In fact, it is naturally an N-graded ring with the nonnegative integer k serving as the degree. The cup product respects this grading. The cohomology ring is graded-commutative in the sense that the cup product commutes up to a sign determined by the grading. Specifically, for pure elements of degree k and ℓ; we have A numerical invariant derived from the cohomology ring is the cup-length, which means the maximum number of graded elements of degree ≥ 1 that when multiplied give a non-zero result. For example a complex projective space has cup-length equal to its complex dimension. (en)
- 数学では、特に代数トポロジーでは、位相空間 X のコホモロジー環 (cohomology ring) は、X のコホモロジー群から作られる環であり、環の積としてカップ積を持つ。ここに「コホモロジー」とは、通常、特異コホモロジーであるが、しかし、環の構造はド・ラームコホモロジーのような他の理論でも存在する。コホモロジー環は函手的でもあり、空間の連続写像に対しコホモロジー環上の環準同型を得る。この函手は反変的である。 特に、可換環 R（典型的には、R は Zn、Z、Q、R、あるいは C）を係数として持つ X 上のコホモロジー群 Hk(X; R) に対し、カップ積を定義できる。 カップ積は次のコホモロジー群の直和の上の積を与える。 この積によって、群 H•(X; R) は環となる。実際、自然に N-次数付き環であり、非負の整数 k が次数の役割を持つ。カップ積はこの次数付けと整合している。 コホモロジー環は、カップ積が次数により決定される符号を除いて可換であるという意味で、である。具体的には、次数 k と 次数 ℓ の純粋な元に対し、次が成り立つ。 コホモロジー環から得られる数値的な不変量はカップの長さ(cup-length)であり、この不変量は掛けたときの非零の結果をもたらす次数が ≥ 1 の次数付きの元の最大の個数を意味する。例えば、複素射影空間では、その複素次元に等しいカップ長さを持つ。 (ja)
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- 数学では、特に代数トポロジーでは、位相空間 X のコホモロジー環 (cohomology ring) は、X のコホモロジー群から作られる環であり、環の積としてカップ積を持つ。ここに「コホモロジー」とは、通常、特異コホモロジーであるが、しかし、環の構造はド・ラームコホモロジーのような他の理論でも存在する。コホモロジー環は函手的でもあり、空間の連続写像に対しコホモロジー環上の環準同型を得る。この函手は反変的である。 特に、可換環 R（典型的には、R は Zn、Z、Q、R、あるいは C）を係数として持つ X 上のコホモロジー群 Hk(X; R) に対し、カップ積を定義できる。 カップ積は次のコホモロジー群の直和の上の積を与える。 この積によって、群 H•(X; R) は環となる。実際、自然に N-次数付き環であり、非負の整数 k が次数の役割を持つ。カップ積はこの次数付けと整合している。 コホモロジー環は、カップ積が次数により決定される符号を除いて可換であるという意味で、である。具体的には、次数 k と 次数 ℓ の純粋な元に対し、次が成り立つ。 コホモロジー環から得られる数値的な不変量はカップの長さ(cup-length)であり、この不変量は掛けたときの非零の結果をもたらす次数が ≥ 1 の次数付きの元の最大の個数を意味する。例えば、複素射影空間では、その複素次元に等しいカップ長さを持つ。 (ja)
- In mathematics, specifically algebraic topology, the cohomology ring of a topological space X is a ring formed from the cohomology groups of X together with the cup product serving as the ring multiplication. Here 'cohomology' is usually understood as singular cohomology, but the ring structure is also present in other theories such as de Rham cohomology. It is also functorial: for a continuous mapping of spaces one obtains a ring homomorphism on cohomology rings, which is contravariant. The cup product gives a multiplication on the direct sum of the cohomology groups (en)
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- Cohomology ring (en)
- コホモロジー環 (ja)
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