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- In der kommutativen Algebra wird ein Ring Kettenring oder ein katenärer Ring genannt, wenn nicht verfeinerbare Primidealketten zweier ineinanderliegenden Primideale immer dieselbe Länge haben. Katenäre Ringe haben einfache dimensionstheoretische Eigenschaften. Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra. (de)
- In mathematics, a commutative ring R is catenary if for any pair of prime ideals p, q, any two strictly increasing chains p=p0 ⊂p1 ... ⊂pn= q of prime ideals are contained in maximal strictly increasing chains from p to q of the same (finite) length. In a geometric situation, in which the dimension of an algebraic variety attached to a prime ideal will decrease as the prime ideal becomes bigger, the length of such a chain n is usually the difference in dimensions. A ring is called universally catenary if all finitely generated algebras over it are catenary rings. The word 'catenary' is derived from the Latin word catena, which means "chain". There is the following chain of inclusions. Universally catenary rings ⊃ Cohen–Macaulay rings ⊃ Gorenstein rings ⊃ complete intersection rings ⊃ regular local rings (en)
- 가환대수학에서 현수환(懸垂環, 영어: catenary ring)은 두 소 아이디얼 사이의 상대 높이가 잘 정의되는 가환환이다. 대수기하학에서 흔히 등장하는 거의 모든 뇌터 환은 현수환이다. (ko)
- 数学の鎖状環（さじょうかん、英: catenary ring）とは、可換環 R であって、その素イデアルの任意の組 p ⊂ q を結ぶ真に増大する素イデアルの極大鎖 p = p0 ⊊ p1 ... ⊊ pn = q が全て同じ有限の長さを持つもののことをいう。鎖の長さ n を幾何学的にいうと、素イデアルに対応するは素イデアルが大きくなると減少するので、これは次元の差である。 環が強鎖状環（きょうさじょうかん、英: universally catenary ring）であるとは、その環上の有限生成な環が全て鎖状環であることをいう。 "catenary" という言葉は鎖（chain）を意味するラテン語の catena から来ている。 ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。 強鎖状環 ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環 (ja)
- 在交換代數中，一個交換環 被稱作鏈環，若且唯若對任何一對素理想 任何嚴格遞增的素理想鏈 皆包含於一個從 到 的有限長極大鏈，而且此極大鏈的長度僅依賴於 。因此我們有一個從素理想對 至 的映射。在代數幾何上，此條件能理解為維度可明確定義。 一個環被稱為泛鏈環，若且唯若其上的任何有限生成代數都是鏈環。 (zh)
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- In der kommutativen Algebra wird ein Ring Kettenring oder ein katenärer Ring genannt, wenn nicht verfeinerbare Primidealketten zweier ineinanderliegenden Primideale immer dieselbe Länge haben. Katenäre Ringe haben einfache dimensionstheoretische Eigenschaften. Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra. (de)
- 가환대수학에서 현수환(懸垂環, 영어: catenary ring)은 두 소 아이디얼 사이의 상대 높이가 잘 정의되는 가환환이다. 대수기하학에서 흔히 등장하는 거의 모든 뇌터 환은 현수환이다. (ko)
- 数学の鎖状環（さじょうかん、英: catenary ring）とは、可換環 R であって、その素イデアルの任意の組 p ⊂ q を結ぶ真に増大する素イデアルの極大鎖 p = p0 ⊊ p1 ... ⊊ pn = q が全て同じ有限の長さを持つもののことをいう。鎖の長さ n を幾何学的にいうと、素イデアルに対応するは素イデアルが大きくなると減少するので、これは次元の差である。 環が強鎖状環（きょうさじょうかん、英: universally catenary ring）であるとは、その環上の有限生成な環が全て鎖状環であることをいう。 "catenary" という言葉は鎖（chain）を意味するラテン語の catena から来ている。 ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。 強鎖状環 ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環 (ja)
- 在交換代數中，一個交換環 被稱作鏈環，若且唯若對任何一對素理想 任何嚴格遞增的素理想鏈 皆包含於一個從 到 的有限長極大鏈，而且此極大鏈的長度僅依賴於 。因此我們有一個從素理想對 至 的映射。在代數幾何上，此條件能理解為維度可明確定義。 一個環被稱為泛鏈環，若且唯若其上的任何有限生成代數都是鏈環。 (zh)
- In mathematics, a commutative ring R is catenary if for any pair of prime ideals p, q, any two strictly increasing chains p=p0 ⊂p1 ... ⊂pn= q of prime ideals are contained in maximal strictly increasing chains from p to q of the same (finite) length. In a geometric situation, in which the dimension of an algebraic variety attached to a prime ideal will decrease as the prime ideal becomes bigger, the length of such a chain n is usually the difference in dimensions. A ring is called universally catenary if all finitely generated algebras over it are catenary rings. (en)
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- Kettenring (de)
- Catenary ring (en)
- 현수환 (ko)
- 鎖状環 (ja)
- 鏈環 (zh)
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