| dbo:abstract
|
- In mathematics, the biharmonic equation is a fourth-order partial differential equation which arises in areas of continuum mechanics, including linear elasticity theory and the solution of Stokes flows. Specifically, it is used in the modeling of thin structures that react elastically to external forces. (en)
- Eine mathematische Funktion heißt biharmonisch in einem Gebiet , falls sie die biharmonische Gleichung für alle Punkte erfüllt; ist hierbei der Laplace-Operator und somit der . Die biharmonische Gleichung ist also eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung von . In der Praxis tritt diese Gleichung z. B. in der Kontinuumsmechanik bei Platten auf. Die Verformung einer Platte in einem Punkt gehorcht in erster Näherung der inhomogenen biharmonischen Gleichung: Hier ist die Kraft(dichte), die auf die Platte ausgeübt wird. Harmonische Funktionen sind auch immer biharmonische Funktionen; die Umkehrung muss aber nicht gelten. (de)
- En matemáticas, la ecuación biarmónica es una ecuación diferencial en derivadas parciales de cuarto orden que se plantea en el área de la mecánica de medios continuos, incluyendo la teoría de la elasticidad lineal y la solución de flujos de Stokes. Se escribe como donde es la cuarta potencia del operador nabla y el cuadrado del operador laplaciano, que se conoce como operador biarmónico o bilaplaciano. (es)
- En analyse, l'équation biharmonique est une équation aux dérivées partielles d'ordre 4, qui apparaît par exemple dans la théorie de l'élasticité. L'équation biharmonique pour une fonction φ s'écrit : où ∇ est l'opérateur nabla et Δ l'opérateur laplacien. L'opérateur Δ2 est aussi connu sous le nom d'opérateur biharmonique ou bilaplacien. Dans le cas tridimensionnel, dans un système de coordonnées cartésiennes, l'équation biharmonique s'écrit : Dans un espace euclidien de dimension n, la relation suivante est toujours vérifiée : avec r la distance euclidienne : . ce qui, pour n = 3, est solution de l'équation biharmonique. Une fonction qui est solution de l'équation biharmonique est appelée fonction biharmonique. Toute fonction harmonique est biharmonique — la réciproque n'est pas vraie. L'opérateur biharmonique en coordonnées polaires s'écrit : La solution peut alors s'obtenir par séparation des variables ; c'est la (en). Pour certaines simulations numériques, on pourra utiliser la version discrète du bilaplacien. (fr)
- 数学における重調和方程式（英: biharmonic equation）とは、次のように書かれる 4 階の偏微分方程式である： ここで ∇4 は 4 階の偏微分作用素、またはラプラス作用素 Δ の自乗で、重調和作用素 (biharmonic operator) として知られている。 例えば、3次元デカルト座標系では重調和方程式は次の形になる。 重調和方程式の解は重調和関数 (biharmonic function) と呼ばれる。どんな調和関数も重調和であるが、逆は真ではない。 重調和方程式は連続体力学の分野（線型弾性理論における応力関数や流体力学におけるストークス流れの解など）において現れる。 (ja)
- In matematica, l'equazione biarmonica è un'equazione differenziale alle derivate parziali del quarto ordine utilizzata frequentemente nella meccanica del continuo. Una soluzione dell'equazione biarmonica è detta funzione biarmonica; ogni funzione biarmonica è una funzione armonica, ma non vale il viceversa. (it)
- Бигармоническая функция — функция действительных переменных, определённая в области D евклидового пространства , имеющая непрерывные частные производные 4-го порядка включительно, и удовлетворяющая в D уравнению: где — оператор набла, — оператор Лапласа. Данное уравнение называется бигармоническим уравнением. В декартовой системе координат в случае трёх переменных уравнение имеет вид: В полярных координатах: Класс бигармонических функций включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая бигармоническая функция является аналитической функцией координат xi. Наибольшее значение с точки зрения практических применений имеют бигармонические функции двух переменных. Такие бигармонические функции записываются с помощью гармонических функций f1, f2 или g1, g2 в виде или где а — константа. Основная краевая задача для бигармонических функций заключается в следующем: найти бигармоническую функцию в области D, непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области , удовлетворяющую на границе C условиям где — производная по нормали до C, f1(s), f2(s) — заданные непрерывные функции длины дуги s на контуре C. Указанные выше представления бигармонических функций позволяют получить решения краевой задачи в явному виде в случае круга D, исходя из интеграла Пуассона для гармонических функций. Бигармонические функции двух переменных допускают также запись с помощью двух аналитических функций комплексной переменной . Это представление позволяет свести краевую задачу для произвольной области D к системе краевых задач для аналитических функций, метод решения которой детально разработан Р. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика получила развитие при решении разных плоских задач теории упругости, в которых основным бигармоническими функциями являются функция напряжений и функция Эйри. (ru)
- Бігармонічна функція — функція дійсних змінних, визначена у області D евклідового простору , що має неперервні часткові похідні 4-го порядку включно і що задовольняє в D рівнянню: де — оператор набла, — оператор Лапласа. Дане рівняння називається бігармонічним рівнянням. У декартовій системі координат у випадку трьох змінних рівняння має вигляд: В полярних координатах: Клас бігармонічних функцій включає клас гармонічних функцій і є підкласом класу полігармонічних функцій. Кожна бігармонічна функція є аналітичною функцією координат xi. Найбільше значення з погляду застосувань мають бігармонічні функції двох змінних. Такі бігармонічні функції записуються за допомогою гармонічних функцій f1, f2 або g1, g2 у вигляді або де а — константа. Основна крайова задача для бігармонічних функцій полягає в наступному: знайти бігармонічну функцію у області D, неперервну разом з похідними 1-го порядку в замкнутій області , що задовольняє на границі C умовам де — похідна по нормалі до C, f1(s), f2(s) — задані неперервні функції довжини дуги s на контурі C. Вказані вище подання бігармонічних функцій дозволяють одержати розв'язки крайової задачі в явному вигляді у випадку круга D виходячи з інтеграла Пуассона для гармонічних функцій. Бігармонічні функції двох змінних допускають також запис за допомогою двох аналітичних функцій комплексної змінної . Це подання дозволяє звести крайову задачу для довільної області D до системи крайових задач для аналітичних функцій, метод розв'язку якої детально розроблений Р. В. Колосовим і Н. І. Мусхелішвілі. Ця методика одержала розвиток при розв'язуванні різних плоских задач теорії пружності, в яких основним бігармонічними функціями є функція напружень і функція Ейрі. (uk)
- 在數學中，雙調和方程是一個四階偏微分方程式，出現在連體力學，包括線性彈性理論和史托克流的解。寫成 或 或 為四階的 Nabla算子，或是拉普拉斯算子的平方，稱為雙調和算子。 在 n 維座標下，以爱因斯坦求和约定可寫成 例如，在三維笛卡兒坐標系的雙調和方程式寫做 另外一個例子，在 n-维歐幾里得空間， 其中 在 n=3 和 n=5 才能行成雙調和方程式。 雙調和方程式的解為雙調和函數。任何調和函數都是雙調和函數，但雙調和函數不一定是調和函數。 在二維極坐標中，雙調和方程為 可用分離變數法求解，其解為 。 (zh)
|
| dbo:wikiPageID
| |
| dbo:wikiPageLength
|
- 4309 (xsd:nonNegativeInteger)
|
| dbo:wikiPageRevisionID
| |
| dbo:wikiPageWikiLink
| |
| dbp:title
|
- Biharmonic Equation (en)
- Biharmonic Operator (en)
|
| dbp:urlname
|
- BiharmonicEquation (en)
- BiharmonicOperator (en)
|
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| dcterms:subject
| |
| rdf:type
| |
| rdfs:comment
|
- In mathematics, the biharmonic equation is a fourth-order partial differential equation which arises in areas of continuum mechanics, including linear elasticity theory and the solution of Stokes flows. Specifically, it is used in the modeling of thin structures that react elastically to external forces. (en)
- En matemáticas, la ecuación biarmónica es una ecuación diferencial en derivadas parciales de cuarto orden que se plantea en el área de la mecánica de medios continuos, incluyendo la teoría de la elasticidad lineal y la solución de flujos de Stokes. Se escribe como donde es la cuarta potencia del operador nabla y el cuadrado del operador laplaciano, que se conoce como operador biarmónico o bilaplaciano. (es)
- 数学における重調和方程式（英: biharmonic equation）とは、次のように書かれる 4 階の偏微分方程式である： ここで ∇4 は 4 階の偏微分作用素、またはラプラス作用素 Δ の自乗で、重調和作用素 (biharmonic operator) として知られている。 例えば、3次元デカルト座標系では重調和方程式は次の形になる。 重調和方程式の解は重調和関数 (biharmonic function) と呼ばれる。どんな調和関数も重調和であるが、逆は真ではない。 重調和方程式は連続体力学の分野（線型弾性理論における応力関数や流体力学におけるストークス流れの解など）において現れる。 (ja)
- In matematica, l'equazione biarmonica è un'equazione differenziale alle derivate parziali del quarto ordine utilizzata frequentemente nella meccanica del continuo. Una soluzione dell'equazione biarmonica è detta funzione biarmonica; ogni funzione biarmonica è una funzione armonica, ma non vale il viceversa. (it)
- 在數學中，雙調和方程是一個四階偏微分方程式，出現在連體力學，包括線性彈性理論和史托克流的解。寫成 或 或 為四階的 Nabla算子，或是拉普拉斯算子的平方，稱為雙調和算子。 在 n 維座標下，以爱因斯坦求和约定可寫成 例如，在三維笛卡兒坐標系的雙調和方程式寫做 另外一個例子，在 n-维歐幾里得空間， 其中 在 n=3 和 n=5 才能行成雙調和方程式。 雙調和方程式的解為雙調和函數。任何調和函數都是雙調和函數，但雙調和函數不一定是調和函數。 在二維極坐標中，雙調和方程為 可用分離變數法求解，其解為 。 (zh)
- Eine mathematische Funktion heißt biharmonisch in einem Gebiet , falls sie die biharmonische Gleichung für alle Punkte erfüllt; ist hierbei der Laplace-Operator und somit der . Die biharmonische Gleichung ist also eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung von . In der Praxis tritt diese Gleichung z. B. in der Kontinuumsmechanik bei Platten auf. Die Verformung einer Platte in einem Punkt gehorcht in erster Näherung der inhomogenen biharmonischen Gleichung: Hier ist die Kraft(dichte), die auf die Platte ausgeübt wird. (de)
- En analyse, l'équation biharmonique est une équation aux dérivées partielles d'ordre 4, qui apparaît par exemple dans la théorie de l'élasticité. L'équation biharmonique pour une fonction φ s'écrit : où ∇ est l'opérateur nabla et Δ l'opérateur laplacien. L'opérateur Δ2 est aussi connu sous le nom d'opérateur biharmonique ou bilaplacien. Dans le cas tridimensionnel, dans un système de coordonnées cartésiennes, l'équation biharmonique s'écrit : Dans un espace euclidien de dimension n, la relation suivante est toujours vérifiée : avec r la distance euclidienne : . (fr)
- Бигармоническая функция — функция действительных переменных, определённая в области D евклидового пространства , имеющая непрерывные частные производные 4-го порядка включительно, и удовлетворяющая в D уравнению: где — оператор набла, — оператор Лапласа. Данное уравнение называется бигармоническим уравнением. В декартовой системе координат в случае трёх переменных уравнение имеет вид: В полярных координатах: или где а — константа. где — производная по нормали до C, f1(s), f2(s) — заданные непрерывные функции длины дуги s на контуре C. (ru)
- Бігармонічна функція — функція дійсних змінних, визначена у області D евклідового простору , що має неперервні часткові похідні 4-го порядку включно і що задовольняє в D рівнянню: де — оператор набла, — оператор Лапласа. Дане рівняння називається бігармонічним рівнянням. У декартовій системі координат у випадку трьох змінних рівняння має вигляд: В полярних координатах: Клас бігармонічних функцій включає клас гармонічних функцій і є підкласом класу полігармонічних функцій. Кожна бігармонічна функція є аналітичною функцією координат xi. або де а — константа. (uk)
|
| rdfs:label
|
- Biharmonische Funktion (de)
- Ecuación biarmónica (es)
- Biharmonic equation (en)
- Équation biharmonique (fr)
- Equazione biarmonica (it)
- 重調和方程式 (ja)
- Бигармоническая функция (ru)
- 雙調和方程式 (zh)
- Бігармонічна функція (uk)
|
| owl:sameAs
| |
| prov:wasDerivedFrom
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is dbo:wikiPageRedirects
of | |
| is dbo:wikiPageWikiLink
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
