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- In mathematics, specifically in operator K-theory, the Baum–Connes conjecture suggests a link between the K-theory of the reduced C*-algebra of a group and the K-homology of the classifying space of proper actions of that group. The conjecture sets up a correspondence between different areas of mathematics, with the K-homology of the classifying space being related to geometry, differential operator theory, and homotopy theory, while the K-theory of the group's reduced C*-algebra is a purely analytical object. The conjecture, if true, would have some older famous conjectures as consequences. For instance, the surjectivity part implies the Kadison–Kaplansky conjecture for discrete torsion-free groups, and the injectivity is closely related to the Novikov conjecture. The conjecture is also closely related to index theory, as the assembly map is a sort of index, and it plays a major role in Alain Connes' noncommutative geometry program. The origins of the conjecture go back to Fredholm theory, the Atiyah–Singer index theorem and the interplay of geometry with operator K-theory as expressed in the works of Brown, Douglas and Fillmore, among many other motivating subjects. (en)
- En mathématiques, plus précisément en (en), la conjecture de Baum-Connes suggère un lien entre la K-théorie de la C*-algèbre d'un groupe et la (en) de l'espace classifiant les actions propres de ce groupe. Elle propose ainsi une correspondance entre deux objets mathématiques de nature différente, la K-homologie étant liée à la géométrie, à la théorie des opérateurs différentiels et à la théorie de l'homotopie, tandis que la K-théorie de la (en) est un objet purement analytique. La conjecture, si elle était vraie, aurait pour conséquences quelques célèbres conjectures antérieures. Par exemple, la partie surjectivité implique la conjecture de Kadison-Kaplansky pour un groupe discret sans torsion et la partie injectivité est étroitement liée à la (en). La conjecture est aussi très liée à la (en) (car l'application d'assemblage µ est une sorte d'indice) et joue un rôle majeur dans le programme de géométrie non commutative d'Alain Connes. Les origines de la conjecture remontent à la (en), au théorème de l'indice d'Atiyah-Singer, et à l'interaction entre la géométrie et la K-théorie des opérateurs telle qu'elle est formulée dans les travaux de Brown, Douglas et Fillmore, parmi bien d'autres sujets motivants. (fr)
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| rdfs:comment
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- In mathematics, specifically in operator K-theory, the Baum–Connes conjecture suggests a link between the K-theory of the reduced C*-algebra of a group and the K-homology of the classifying space of proper actions of that group. The conjecture sets up a correspondence between different areas of mathematics, with the K-homology of the classifying space being related to geometry, differential operator theory, and homotopy theory, while the K-theory of the group's reduced C*-algebra is a purely analytical object. (en)
- En mathématiques, plus précisément en (en), la conjecture de Baum-Connes suggère un lien entre la K-théorie de la C*-algèbre d'un groupe et la (en) de l'espace classifiant les actions propres de ce groupe. Elle propose ainsi une correspondance entre deux objets mathématiques de nature différente, la K-homologie étant liée à la géométrie, à la théorie des opérateurs différentiels et à la théorie de l'homotopie, tandis que la K-théorie de la (en) est un objet purement analytique. (fr)
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