| dbo:abstract
|
- Der Satz von Arzelà-Ascoli, benannt nach Cesare Arzelà (1847–1912) in Erweiterung eines Satzes von Giulio Ascoli (1843–1896), ist ein wichtiger Satz in der Funktionalanalysis. Er beantwortet die Frage, welche Teilmengen in bestimmten Funktionenräumen (relativ) kompakt sind. (de)
- The Arzelà–Ascoli theorem is a fundamental result of mathematical analysis giving necessary and sufficient conditions to decide whether every sequence of a given family of real-valued continuous functions defined on a closed and bounded interval has a uniformly convergent subsequence. The main condition is the equicontinuity of the family of functions. The theorem is the basis of many proofs in mathematics, including that of the Peano existence theorem in the theory of ordinary differential equations, Montel's theorem in complex analysis, and the Peter–Weyl theorem in harmonic analysis and various results concerning compactness of integral operators. The notion of equicontinuity was introduced in the late 19th century by the Italian mathematicians Cesare Arzelà and Giulio Ascoli. A weak form of the theorem was proven by , who established the sufficient condition for compactness, and by , who established the necessary condition and gave the first clear presentation of the result. A further generalization of the theorem was proven by , to sets of real-valued continuous functions with domain a compact metric space . Modern formulations of the theorem allow for the domain to be compact Hausdorff and for the range to be an arbitrary metric space. More general formulations of the theorem exist that give necessary and sufficient conditions for a family of functions from a compactly generated Hausdorff space into a uniform space to be compact in the compact-open topology; see , page 234). (en)
- En analyse fonctionnelle, le théorème d'Ascoli, ou théorème d'Arzelà-Ascoli, démontré par les mathématiciens italiens Giulio Ascoli et Cesare Arzelà, caractérise, à l'aide de la notion d'équicontinuité, les parties relativement compactes de l'espace des fonctions continues d'un espace compact dans un espace métrique. Il se généralise sans difficulté au cas où l'espace de départ est seulement localement compact. Ce théorème est connu pour son nombre considérable d'applications (complétude de certains espaces fonctionnels, compacité de certains opérateurs, dépendance en les conditions initiales dans les équations différentielles…). (fr)
- El teorema de Arzelà-Ascoli es una de las herramientas más poderosas que hay para verificar si una familia de funciones de un espacio topólogico en otro es compacta. Lo que dice el teorema es lo siguiente: Sea un espacio topológico compacto, un espacio métrico completo. Un conjunto (el espacio de las funciones continuas de en ) será relativamente compacto en la topología de la si y solamente si: 1.
* es equicontinuo 2.
* Para todo , el conjunto es relativamente compacto en . Notar que si , la condición 2 es equivalente a pedir que para cada , el conjunto sea acotado. En este mismo caso, se cumple que si además es un espacio topólogico conexo, basta verificar que existe un tal que la condición 2 se cumple, y automáticamente se tendrá para todos.
* Datos: Q1477053 (es)
- In analisi matematica, il teorema di Ascoli-Arzelà fornisce una condizione sufficiente affinché una successione di funzioni continue limitate ammetta una sottosuccessione convergente, nella norma del massimo. Si tratta della norma che rende , lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo , uno spazio completo, ovvero uno spazio di Banach. Il risultato del teorema non è banale dato che, come si può dimostrare, la compattezza equivale alla chiusura e limitatezza solo in spazi finito dimensionali (si veda il teorema di Heine-Borel). Il teorema è di fondamentale importanza in analisi funzionale. Prende il nome dai matematici italiani Giulio Ascoli e Cesare Arzelà. (it)
- In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, geeft de stelling van Arzelà-Ascoli noodzakelijke en voldoende voorwaarden om te beslissen of een rij van reëelwaardige functies, die continu zijn, op een interval dat gesloten en begrensd is, een deelrij heeft, die uniform convergent is. De belangrijkste voorwaarde is de equicontinuïteit van de rij van functies. De stelling is een fundamenteel resultaat in de wiskunde. In het bijzonder vormt het de basis voor het bewijs van de existentiestelling van Peano in de theorie van de gewone differentiaalvergelijkingen en de stelling van Montel in de functietheorie. De stelling speelt ook een beslissende rol in het bewijs van de stelling van Peter-Weyl. Het begrip equicontinuïteit werd ongeveer rond dezelfde tijd door Giulio Ascoli (1883-1884) en Cesare Arzelà (1882-1883) geïntroduceerd. Een zwakke vorm van de stelling werd bewezen door Ascoli (1883-1884), die de voldoende voorwaarde voor compactheid vaststelde, en door Arzelà (1895), die de noodzakelijke voorwaarden voor de stelling vaststelde en die als eerste een duidelijke presentatie van het resultaat gaf. Een nog algemenere van de stelling werd in 1906 bewezen door Maurice Fréchet voor een ruimte, waarin de notie van een limiet zinvol is, zoals een metrische ruimte of een Hausdorff-ruimte. Moderne formuleringen van de stelling staan toe dat het domein en het bereik compacte metrische ruimten zijn. De meest algemene formulering van de stelling geeft noodzakelijke en voldoende voorwaarden dat een familie van functies van een compacte Hausdorff-ruimte naar een uniforme ruimte compact is in de topologie van uniforme convergentie. (nl)
- Twierdzenie Arzeli-Ascolego – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej, podające – w najprostszym przypadku – warunek wystarczający możliwości znalezienia podciągu w ciągu funkcji ciągłych, określonych na przestrzeni zwartej, zbieżnego jednostajnie. Pierwsza wersja twierdzenia została udowodniona w roku 1883 przez , na długo przed wykształceniem się aparatu współczesnej topologii, lecz mimo to sens tego twierdzenia jest czysto topologiczny, a ono samo mówi de facto o (względnie) zwartych podzbiorach przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zwarto-otwartą/. Twierdzenie Arzeli-Ascolego ma liczne zastosowania w matematyce. Za jego pomocą można na przykład udowodnić istnienie rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego gdy o funkcji nie zakłada się nic więcej poza jej ciągłością (zob. twierdzenie Peana). (pl)
- 数学におけるアスコリ＝アルツェラの定理（アスコリ＝アルツェラのていり、英: Ascoli–Arzelà theorem）は、有界な閉区間上で定義された実数値連続函数の族のすべての列が一様収束する部分列を持つための必要十分条件を与える解析学の一結果である。その主要な条件は、函数の族の同程度連続性である。この定理は、常微分方程式論におけるペアノの存在定理や、複素解析学におけるモンテルの定理、調和解析におけるを含む多くの数学的結果の証明の基盤となっている。 同程度連続性の概念は、 と によってほぼ同時期に導入された。この定理の弱い場合として、コンパクト性のための十分条件は によって証明された。またその必要条件も含めた結果の明示は によって初めて行われた。その後、定義域がコンパクト距離空間である実数値連続函数の集合への定理の一般化は によって行われた。近年におけるこの定理では、定義域はコンパクトなハウスドルフ空間、値域は任意の距離空間にまで拡張されている。より一般的な定理の構成として、から一様空間への函数の族が、コンパクト開位相においてコンパクトであるための必要十分条件を与えるものも存在する, page 234)。 (ja)
- Теорема Арцела́ — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Названа в честь автора, Чезаре Арцела. Теорема Арцела — Асколи (или Асколи — Арцела) — это обобщение теоремы Арцела на тот случай, когда рассматриваются семейства отображений метрических компактов (обобщённая теорема Арцела). Применение теоремы Арцела связано со специальными свойствами рассматриваемых семейств, а именно: с равномерной ограниченностью и равностепенной непрерывностью. (ru)
- Теорема Асколі — Арцела — одне з фундаментальних тверджень математичного аналізу, яке задає необхідні та достатні умови для того, що із заданої сім'ї дійснозначних неперервних функцій визначених на замкненому та обмеженому інтервалі можна виділити рівномірно збіжну підпослідовність (іншими словами — критерій компактності (відносної компактності) послідовності функцій у просторі ). Теорема була доведена приблизно в один і той же час італійськими математиками Джуліо Асколі, який встановив достатні умови компактності, та Чезаре Арцела, який встановив необхідні умови та остаточно сформулював результат. Ця теорема використовується при доведенні багатьох тверджень у математиці, зокрема у теоремі Пеано про існування розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку. (uk)
- Em matemática, o teorema de Ascolí-Arzela é um importante resultado, com aplicações na análise real, análise funcional e em áreas afins tais como a teoria das equações diferenciais. Provém dos matemáticos italianos Cesare Arzelà e Giulio Ascoli. (pt)
- 在数学中，阿尔泽拉-阿斯科利定理是泛函分析中的一个定理，给出了从紧致度量空间射到度量空间的函数集合在一致收敛的拓扑意义上是紧集的一個充分必要条件。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。 等度连续的概念大约是在十九世纪的八十年代由两位意大利数学家朱利奥·阿斯科利（於1883年－1884年） 和切萨雷·阿尔泽拉（於1882年－1883年）提出的。阿斯科利在1883年的论文中，证明了定理中，连续函数集为紧集的充分条件，而阿尔泽拉则在1895年的另一篇论文中证明了定理的另一部分：成为紧集的必要条件，并首次给出了定理的完整证明。而不久之后，在1906年，法国数学家弗雷歇又将这个定理进行了推广，使得在任意的能够定义极限的空间中都有同样的结果（比如度量空间或豪斯多夫空间）。 在阿尔泽拉-阿斯卡利定理首次獲证的年代，人们并没有充分理解该定理的重要意义。随着研究的不断深入，紧致性成为了分析学、拓扑学领域的关键概念，而此定理就描述了紧致性。该定理是利用欧拉法证明常微分方程组理论中的皮亚诺存在性定理时不可或缺的一环，也是複分析中的蒙泰尔定理的证明中的重要组成部分。此外，彼得-外尔定理的一个证明中用到了此定理。 (zh)
|
| dbo:wikiPageExternalLink
| |
| dbo:wikiPageID
| |
| dbo:wikiPageLength
|
- 26571 (xsd:nonNegativeInteger)
|
| dbo:wikiPageRevisionID
| |
| dbo:wikiPageWikiLink
| |
| dbp:drop
| |
| dbp:id
| |
| dbp:proof
|
- The proof is essentially based on a diagonalization argument. The simplest case is of real-valued functions on a closed and bounded interval:
* Let be a closed and bounded interval. If F is an infinite set of functions which is uniformly bounded and equicontinuous, then there is a sequence fn of elements of F such that fn converges uniformly on I.
Fix an enumeration {x'i}i ∈N of rational numbers in I. Since F is uniformly bounded, the set of points {f}f∈F is bounded, and hence by the Bolzano–Weierstrass theorem, there is a sequence {f'n1} of distinct functions in F such that {f'n1} converges. Repeating the same argument for the sequence of points {f'n1}, there is a subsequence {f'n2} of {f'n1} such that {f'n2} converges.
By induction this process can be continued forever, and so there is a chain of subsequences
:
such that, for each k = 1, 2, 3, ..., the subsequence {fnk} converges at x1, ..., xk. Now form the diagonal subsequence {f} whose mth term fm is the mth term in the mth subsequence {fnm}. By construction, fm converges at every rational point of I.
Therefore, given any and rational xk in I, there is an integer such that
:
Since the family F is equicontinuous, for this fixed ε and for every x in I, there is an open interval Ux containing x such that
:
for all f ∈ F' and all s, t in I such that .
The collection of intervals Ux, x ∈ I, forms an open cover of I. Since I  is closed and bounded, by the Heine-Borel theorem I is compact, implying that this covering admits a finite subcover . There exists an integer K such that each open interval Uj, , contains a rational xk with . Finally, for any t ∈ I, there are j and k so that t and xk belong to the same interval Uj. For this choice of k,
:
for all Consequently, the sequence {fn''} is uniformly Cauchy, and therefore converges to a continuous function, as claimed. This completes the proof. (en)
|
| dbp:title
|
- Ascoli–Arzelà theorem (en)
|
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| dcterms:subject
| |
| gold:hypernym
| |
| rdf:type
| |
| rdfs:comment
|
- Der Satz von Arzelà-Ascoli, benannt nach Cesare Arzelà (1847–1912) in Erweiterung eines Satzes von Giulio Ascoli (1843–1896), ist ein wichtiger Satz in der Funktionalanalysis. Er beantwortet die Frage, welche Teilmengen in bestimmten Funktionenräumen (relativ) kompakt sind. (de)
- 数学におけるアスコリ＝アルツェラの定理（アスコリ＝アルツェラのていり、英: Ascoli–Arzelà theorem）は、有界な閉区間上で定義された実数値連続函数の族のすべての列が一様収束する部分列を持つための必要十分条件を与える解析学の一結果である。その主要な条件は、函数の族の同程度連続性である。この定理は、常微分方程式論におけるペアノの存在定理や、複素解析学におけるモンテルの定理、調和解析におけるを含む多くの数学的結果の証明の基盤となっている。 同程度連続性の概念は、 と によってほぼ同時期に導入された。この定理の弱い場合として、コンパクト性のための十分条件は によって証明された。またその必要条件も含めた結果の明示は によって初めて行われた。その後、定義域がコンパクト距離空間である実数値連続函数の集合への定理の一般化は によって行われた。近年におけるこの定理では、定義域はコンパクトなハウスドルフ空間、値域は任意の距離空間にまで拡張されている。より一般的な定理の構成として、から一様空間への函数の族が、コンパクト開位相においてコンパクトであるための必要十分条件を与えるものも存在する, page 234)。 (ja)
- Em matemática, o teorema de Ascolí-Arzela é um importante resultado, com aplicações na análise real, análise funcional e em áreas afins tais como a teoria das equações diferenciais. Provém dos matemáticos italianos Cesare Arzelà e Giulio Ascoli. (pt)
- 在数学中，阿尔泽拉-阿斯科利定理是泛函分析中的一个定理，给出了从紧致度量空间射到度量空间的函数集合在一致收敛的拓扑意义上是紧集的一個充分必要条件。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。 等度连续的概念大约是在十九世纪的八十年代由两位意大利数学家朱利奥·阿斯科利（於1883年－1884年） 和切萨雷·阿尔泽拉（於1882年－1883年）提出的。阿斯科利在1883年的论文中，证明了定理中，连续函数集为紧集的充分条件，而阿尔泽拉则在1895年的另一篇论文中证明了定理的另一部分：成为紧集的必要条件，并首次给出了定理的完整证明。而不久之后，在1906年，法国数学家弗雷歇又将这个定理进行了推广，使得在任意的能够定义极限的空间中都有同样的结果（比如度量空间或豪斯多夫空间）。 在阿尔泽拉-阿斯卡利定理首次獲证的年代，人们并没有充分理解该定理的重要意义。随着研究的不断深入，紧致性成为了分析学、拓扑学领域的关键概念，而此定理就描述了紧致性。该定理是利用欧拉法证明常微分方程组理论中的皮亚诺存在性定理时不可或缺的一环，也是複分析中的蒙泰尔定理的证明中的重要组成部分。此外，彼得-外尔定理的一个证明中用到了此定理。 (zh)
- The Arzelà–Ascoli theorem is a fundamental result of mathematical analysis giving necessary and sufficient conditions to decide whether every sequence of a given family of real-valued continuous functions defined on a closed and bounded interval has a uniformly convergent subsequence. The main condition is the equicontinuity of the family of functions. The theorem is the basis of many proofs in mathematics, including that of the Peano existence theorem in the theory of ordinary differential equations, Montel's theorem in complex analysis, and the Peter–Weyl theorem in harmonic analysis and various results concerning compactness of integral operators. (en)
- El teorema de Arzelà-Ascoli es una de las herramientas más poderosas que hay para verificar si una familia de funciones de un espacio topólogico en otro es compacta. Lo que dice el teorema es lo siguiente: Sea un espacio topológico compacto, un espacio métrico completo. Un conjunto (el espacio de las funciones continuas de en ) será relativamente compacto en la topología de la si y solamente si: 1.
* es equicontinuo 2.
* Para todo , el conjunto es relativamente compacto en .
* Datos: Q1477053 (es)
- En analyse fonctionnelle, le théorème d'Ascoli, ou théorème d'Arzelà-Ascoli, démontré par les mathématiciens italiens Giulio Ascoli et Cesare Arzelà, caractérise, à l'aide de la notion d'équicontinuité, les parties relativement compactes de l'espace des fonctions continues d'un espace compact dans un espace métrique. Il se généralise sans difficulté au cas où l'espace de départ est seulement localement compact. (fr)
- In analisi matematica, il teorema di Ascoli-Arzelà fornisce una condizione sufficiente affinché una successione di funzioni continue limitate ammetta una sottosuccessione convergente, nella norma del massimo. Si tratta della norma che rende , lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo , uno spazio completo, ovvero uno spazio di Banach. Il risultato del teorema non è banale dato che, come si può dimostrare, la compattezza equivale alla chiusura e limitatezza solo in spazi finito dimensionali (si veda il teorema di Heine-Borel). (it)
- In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, geeft de stelling van Arzelà-Ascoli noodzakelijke en voldoende voorwaarden om te beslissen of een rij van reëelwaardige functies, die continu zijn, op een interval dat gesloten en begrensd is, een deelrij heeft, die uniform convergent is. De belangrijkste voorwaarde is de equicontinuïteit van de rij van functies. De stelling is een fundamenteel resultaat in de wiskunde. In het bijzonder vormt het de basis voor het bewijs van de existentiestelling van Peano in de theorie van de gewone differentiaalvergelijkingen en de stelling van Montel in de functietheorie. De stelling speelt ook een beslissende rol in het bewijs van de stelling van Peter-Weyl. (nl)
- Twierdzenie Arzeli-Ascolego – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej, podające – w najprostszym przypadku – warunek wystarczający możliwości znalezienia podciągu w ciągu funkcji ciągłych, określonych na przestrzeni zwartej, zbieżnego jednostajnie. Pierwsza wersja twierdzenia została udowodniona w roku 1883 przez , na długo przed wykształceniem się aparatu współczesnej topologii, lecz mimo to sens tego twierdzenia jest czysto topologiczny, a ono samo mówi de facto o (względnie) zwartych podzbiorach przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zwarto-otwartą/. (pl)
- Теорема Арцела́ — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Названа в честь автора, Чезаре Арцела. Теорема Арцела — Асколи (или Асколи — Арцела) — это обобщение теоремы Арцела на тот случай, когда рассматриваются семейства отображений метрических компактов (обобщённая теорема Арцела). (ru)
- Теорема Асколі — Арцела — одне з фундаментальних тверджень математичного аналізу, яке задає необхідні та достатні умови для того, що із заданої сім'ї дійснозначних неперервних функцій визначених на замкненому та обмеженому інтервалі можна виділити рівномірно збіжну підпослідовність (іншими словами — критерій компактності (відносної компактності) послідовності функцій у просторі ). Ця теорема використовується при доведенні багатьох тверджень у математиці, зокрема у теоремі Пеано про існування розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку. (uk)
|
| rdfs:label
|
- Satz von Arzelà-Ascoli (de)
- Arzelà–Ascoli theorem (en)
- Teorema de Arzelá-Ascoli (es)
- Théorème d'Ascoli (fr)
- Teorema di Ascoli-Arzelà (it)
- アスコリ＝アルツェラの定理 (ja)
- Twierdzenie Arzeli-Ascolego (pl)
- Stelling van Arzelà-Ascoli (nl)
- Teorema de Arzelà-Ascoli (pt)
- Теорема Асколи — Арцела (ru)
- 阿尔泽拉-阿斯科利定理 (zh)
- Теорема Асколі — Арцела (uk)
|
| owl:sameAs
| |
| prov:wasDerivedFrom
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is dbo:wikiPageRedirects
of | |
| is dbo:wikiPageWikiLink
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
