In mathematics, Kronecker's theorem is a theorem about diophantine approximation, introduced by Leopold Kronecker. Kronecker's approximation theorem had been firstly proved by L. Kronecker in the end of the 19th century. It has been now revealed to relate to the idea of n-torus and Mahler measure since the later half of the 20th century. In terms of physical systems, it has the consequence that planets in circular orbits moving uniformly around a star will, over time, assume all alignments, unless there is an exact dependency between their orbital periods.
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| - Teorema de Kronecker (ca)
- Teorema de Kronecker (es)
- Théorème de Kronecker (approximation diophantienne) (fr)
- Kronecker's theorem (en)
- クロネッカーの定理 (ja)
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| - In mathematics, Kronecker's theorem is a theorem about diophantine approximation, introduced by Leopold Kronecker. Kronecker's approximation theorem had been firstly proved by L. Kronecker in the end of the 19th century. It has been now revealed to relate to the idea of n-torus and Mahler measure since the later half of the 20th century. In terms of physical systems, it has the consequence that planets in circular orbits moving uniformly around a star will, over time, assume all alignments, unless there is an exact dependency between their orbital periods. (en)
- Le théorème de Kronecker en théorie des nombres est un résultat d'approximation diophantienne simultanée de N réels. Il généralise (dans une certaine mesure) le théorème d'approximation de Dirichlet. (fr)
- 数学では、クロネッカーの定理(Kronecker's theorem)は、レオポルト・クロネッカーの名前に因んだ 2つの定理である。 (ja)
- En matemàtiques, el teorema de Kronecker és un resultat en aplicat a molts nombres reals 'xi '; i' ≤ N', que generalitza el , el fet que un subgrup cíclic infinit del és un subconjunt dens. En termes de sistemes físics, té com a conseqüència que els planetes en òrbites circulars movent-se de forma uniforme al voltant d'estrelles assumiran, amb el temps, tots els alineaments, llevat que hi hagi una dependència exacta entre els seus períodes orbitals. En el cas de N' nombres, presos com una sola N-tupla i un punt 'P' ' del tor. T = RN/ZN, T′ = T, χ(P) = 1. (ca)
- En matemáticas, el teorema de Kronecker es un resultado en aproximación diofántica aplicado a muchos números reales xi, para 1 ≤ i ≤ N, que generaliza el , el hecho de que un subgrupo cíclico infinito del círculo unitario es un subconjunto denso. En términos de sistemas físicos, tiene como consecuencia que los planetas en órbitas circulares moviéndose de forma uniforme alrededor de estrellas asumirán, con el tiempo, todos los alineamientos, a menos que haya una dependencia exacta entre sus periodos orbitales. En el caso de N números, tomados como una sola N-tupla y un punto P del toro T′ = T, (es)
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| - En matemàtiques, el teorema de Kronecker és un resultat en aplicat a molts nombres reals 'xi '; i' ≤ N', que generalitza el , el fet que un subgrup cíclic infinit del és un subconjunt dens. En termes de sistemes físics, té com a conseqüència que els planetes en òrbites circulars movent-se de forma uniforme al voltant d'estrelles assumiran, amb el temps, tots els alineaments, llevat que hi hagi una dependència exacta entre els seus períodes orbitals. En el cas de N' nombres, presos com una sola N-tupla i un punt 'P' ' del tor. T = RN/ZN, la clausura del subgrup <P> generat per 'P' ' serà finita, o algun tor 'T′ ' ' contingut a 'T'. El teorema de Kronecker original (Leopold Kronecker, 1884) establia que la condició necessària i suficient per a T′ = T, que és que els nombres 'xi ' ' junt amb 1 haurien de ser linealment independents sobre els nombres racionals, també és condició necessària i suficient. Aquí és fàcil de veure que si alguna combinació lineal dels 'xi ' ' i 1 amb coeficients no nuls racionals és zero, llavors els coeficients s'han de prendre com a enters i un caràcter χ del grup 'T' diferent al caràcter trivial pres el valor 1 en 'P' '. Per la dualitat de Pontryagin tenim 'T′ ' ' continguda en el nucli de χ, i per tant no és igual a 'T'. De fet, un ús exhaustiu de la dualitat de Pontryagin mostra que el teorema de Kronecker descriu la clausura de <P> com la intersecció dels nuclis de χ amb χ(P) = 1. Això en dona una connexió de Galois (antítona) entre subgrups tancats 'monogènics' de 'T' (aquells amb un sol generador, en el sentit topològic) i conjunts de caràcters amb nucli que contenen un punt donat. No tots els subgrups tancats apareixen com a monogènics; per exemple, un subgrup que té un tor de dimensió ≥ 1 com a component connectat de l'element identitat, i que no està connectat, no pot ser tal subgrup. El teorema deixa oberta la qüestió de com de bé (uniformement) tanquen la clausura els múltiples 'mP' de 'P' '. La demostració original de Leopold Kronecker és difícil de llegir. Kurt Mahler en va derivar una altra que utilitza la teoria de nombres. (ca)
- En matemáticas, el teorema de Kronecker es un resultado en aproximación diofántica aplicado a muchos números reales xi, para 1 ≤ i ≤ N, que generaliza el , el hecho de que un subgrupo cíclico infinito del círculo unitario es un subconjunto denso. En términos de sistemas físicos, tiene como consecuencia que los planetas en órbitas circulares moviéndose de forma uniforme alrededor de estrellas asumirán, con el tiempo, todos los alineamientos, a menos que haya una dependencia exacta entre sus periodos orbitales. En el caso de N números, tomados como una sola N-tupla y un punto P del toro T = RN/ZN, la clausura del subgrupo <P> generado por P será finita, o algún toro T′ contenido en T. El teorema de Kronecker original (Leopold Kronecker, 1884) establecía que la condición necesaria para T′ = T, que es la de que los números xi junto con 1 deberían ser linealmente independientes sobre los números racionales, también es suficiente. Aquí es fácil de ver que si alguna combinación lineal de los xi y 1 con coeficientes no nulos racionales es cero, entonces los coeficientes deben tomarse como enteros y un carácter χ del grupo T diferente al toma el valor 1 en P. Por la dualidad de Pontryagin tenemos T′ contenida en el núcleo de χ, y por tanto no es igual a T. De hecho, un uso exhaustivo de la dualidad de Pontryagin muestra que el teorema de Kronecker describe la clausura de <P> como la intersección de los núcleos de χ con χ(P) = 1. Esto da una conexión de Galois (antítona) entre subgrupos cerrados monogénicos de T (aquellos con un solo generador, en el sentido topológico) y conjuntos de caracteres con núcleo que contienen un punto dado. No todos los subgrupos cerrados aparecen como monogénicos; por ejemplo, un subgrupo que tiene un toro de dimensión ≥ 1 como componente conectado del elemento identidad, y que no está conectado, no puede ser tal subgrupo. El teorema deja abierta la cuestión de cómo de bien (uniformemente) cierran la clausura los múltiples mP de P. Véase:
* Datos: Q848810 (es)
- In mathematics, Kronecker's theorem is a theorem about diophantine approximation, introduced by Leopold Kronecker. Kronecker's approximation theorem had been firstly proved by L. Kronecker in the end of the 19th century. It has been now revealed to relate to the idea of n-torus and Mahler measure since the later half of the 20th century. In terms of physical systems, it has the consequence that planets in circular orbits moving uniformly around a star will, over time, assume all alignments, unless there is an exact dependency between their orbital periods. (en)
- Le théorème de Kronecker en théorie des nombres est un résultat d'approximation diophantienne simultanée de N réels. Il généralise (dans une certaine mesure) le théorème d'approximation de Dirichlet. (fr)
- 数学では、クロネッカーの定理(Kronecker's theorem)は、レオポルト・クロネッカーの名前に因んだ 2つの定理である。 (ja)
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