In number theory, Dirichlet's theorem on Diophantine approximation, also called Dirichlet's approximation theorem, states that for any real numbers and , with , there exist integers and such that and Here represents the integer part of .This is a fundamental result in Diophantine approximation, showing that any real number has a sequence of good rational approximations: in fact an immediate consequence is that for a given irrational α, the inequality
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| - Dirichletova věta o aproximaci (cs)
- Dirichletscher Approximationssatz (de)
- Teorema de aproximación de Dirichlet (es)
- Dirichlet's approximation theorem (en)
- Théorème d'approximation de Dirichlet (fr)
- ディリクレのディオファントス近似定理 (ja)
- Benaderingsstelling van Dirichlet (nl)
- Twierdzenie Dirichleta o aproksymacji (pl)
- Теорема Дирихле о диофантовых приближениях (ru)
- 狄利克雷逼近定理 (zh)
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| - Dirichletova věta o aproximaci je tvrzení z oboru teorie čísel, které se týká , tedy aproximací reálných čísel pomocí racionálních čísel. Věta říká, že pro každé reálné číslo α a libovolné kladné přirozené číslo N existují celá čísla p a q taková, že a Na tvrzení se lze dívat také tak, že celočíselné násobky α se nedokáží udržet příliš daleko od celých čísel: jeden z prvních N násobků bude nějakému celému číslu blíž . (cs)
- Le théorème d'approximation de Dirichlet est le résultat d'approximation diophantienne simultanée de d réels suivant : Pour tout réel N ≥ 1, il existe un entier q tel que , dont le cas particulier N = Qd avec Q entier se démontre par le principe des tiroirs de Dirichlet, ou le résultat suivant (plus général) : Pour tout réel M > 1, il existe un entier q tel que , qui utilise un théorème de Minkowski ou de Blichfeldt. (fr)
- En teoría de números, el teorema de aproximación de Dirichlet o teorema de Dirichlet sobre aproximación diofántica, asegura que para cualquier número real α y cualquier entero positivo N, existen enteros p y q tales que 1 ≤ q ≤ N y Este es un resultado fundamental en aproximación diofántica, mostrando que cualquier número real tiene una sucesión de buenas aproximaciones por racionales: de hecho, una consecuencia inmediata es que, dado un número irracional α, la desigualdad se satisface para infinitos enteros p y q. (es)
- De benaderingsstelling van Dirichlet is een stelling uit de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, die handelt over de kwaliteit van diofantische benaderingen van reële getallen door rationale getallen. (nl)
- ディリクレのディオファントス近似定理（ディリクレのディオファントスきんじていり）は、ディリクレが証明した実数の有理数による近似についての定理で、単にディリクレの定理と呼ばれることもある。 ディリクレのディオファントス近似定理は次のような定理である。 任意の実数 と より大きい任意の自然数 に対し、分母が 以下の自然数 であるような の近似分数 で、 を満たすものが存在する。 この定理の証明は鳩の巣原理による。 場合によっては、この定理から直ちに導かれる次の結果を指すこともある。 任意の無理数 に対し、 を満たす無限に多くの有理数 が存在する。 この系は、トゥエ・ジーゲル・ロスの定理が、代数的数の有理数での近似の下界は 2 を超えて 2 + ε への改善はできないという意味で、最良であることを示している。 (ja)
- Twierdzenie Dirichleta o aproksymacji – jedno z podstawowych twierdzeń z dziedziny aproksymacji diofantycznej. Stwierdza ono, że dla dowolnej liczby niewymiernej α i dowolnej liczby naturalnej Q istnieją liczby całkowite i takie, że spełniona jest nierówność: Jeżeli przepisać tę nierówność w postaci: natychmiast można stąd wywnioskować, że nierówność spełniona jest dla nieskończenie wielu par liczb względnie pierwszych p i q. Elementarny dowód twierdzenia można przeprowadzić w oparciu o zasadę szufladkową. (pl)
- Теорема Дирихле о диофантовых приближениях гласит, что Она является следствием принципа Дирихле. Теорема была доказана Дирихле в 1842 году. (ru)
- 狄利克雷逼近定理（英語：Dirichlet's approximation theorem）是数论中关于丢番图逼近的一个定理。该定理可表述为：对于任意实数和 （），都存在整数和，满足以及 其中表示的整数部分。这是丢番图逼近的一个重要结果，表明任意实数都存在一系列良好的有理近似：事实上，该定理的一个直接结果是对于给定的无理数，存在无穷多个整数和满足不等式 狄利克雷逼近定理可由鸽笼原理证明。 (zh)
- Der dirichletsche Approximationssatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist ein mathematischer Satz über die Qualität der Approximation (Annäherung) reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Der Satz lautet:Zu jedem und jedem existieren ein und ein , so dass Dieser Satz kann mithilfe des Schubfachprinzips bewiesen werden. Aus dem Satz folgt nach Division durch und Beachtung von , dass es zu jedem reellen unendlich viele Paare ganzer Zahlen gibt, die (de)
- In number theory, Dirichlet's theorem on Diophantine approximation, also called Dirichlet's approximation theorem, states that for any real numbers and , with , there exist integers and such that and Here represents the integer part of .This is a fundamental result in Diophantine approximation, showing that any real number has a sequence of good rational approximations: in fact an immediate consequence is that for a given irrational α, the inequality (en)
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| - Dirichletova věta o aproximaci je tvrzení z oboru teorie čísel, které se týká , tedy aproximací reálných čísel pomocí racionálních čísel. Věta říká, že pro každé reálné číslo α a libovolné kladné přirozené číslo N existují celá čísla p a q taková, že a Na tvrzení se lze dívat také tak, že celočíselné násobky α se nedokáží udržet příliš daleko od celých čísel: jeden z prvních N násobků bude nějakému celému číslu blíž . (cs)
- Der dirichletsche Approximationssatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist ein mathematischer Satz über die Qualität der Approximation (Annäherung) reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Der Satz lautet:Zu jedem und jedem existieren ein und ein , so dass Dieser Satz kann mithilfe des Schubfachprinzips bewiesen werden. Aus dem Satz folgt nach Division durch und Beachtung von , dass es zu jedem reellen unendlich viele Paare ganzer Zahlen gibt, die erfüllen. Für rationale Zahlen haben fast alle solche Approximationen die Form , interessant ist die Unendlichkeitsaussage also nur für irrationale Zahlen. Der Satz von Hurwitz verbessert die Ungleichung noch um den Faktor . Beispiel: Sei und . Dann ist nach dem dirichletschen Approximationssatz (mindestens) eine der Zahlen um höchstens von einer ganzen Zahl entfernt. Tatsächlich ist (de)
- In number theory, Dirichlet's theorem on Diophantine approximation, also called Dirichlet's approximation theorem, states that for any real numbers and , with , there exist integers and such that and Here represents the integer part of .This is a fundamental result in Diophantine approximation, showing that any real number has a sequence of good rational approximations: in fact an immediate consequence is that for a given irrational α, the inequality is satisfied by infinitely many integers p and q. This shows that any irrational number has irrationality measure at least 2. This corollary also shows that the Thue–Siegel–Roth theorem, a result in the other direction, provides essentially the tightest possible bound, in the sense that the bound on rational approximation of algebraic numbers cannot be improved by increasing the exponent beyond 2. The Thue–Siegel–Roth theorem uses advanced techniques of number theory, but many simpler numbers such as the golden ratio can be much more easily verified to be inapproximable beyond exponent 2. This exponent is referred to as the irrationality measure. (en)
- Le théorème d'approximation de Dirichlet est le résultat d'approximation diophantienne simultanée de d réels suivant : Pour tout réel N ≥ 1, il existe un entier q tel que , dont le cas particulier N = Qd avec Q entier se démontre par le principe des tiroirs de Dirichlet, ou le résultat suivant (plus général) : Pour tout réel M > 1, il existe un entier q tel que , qui utilise un théorème de Minkowski ou de Blichfeldt. (fr)
- En teoría de números, el teorema de aproximación de Dirichlet o teorema de Dirichlet sobre aproximación diofántica, asegura que para cualquier número real α y cualquier entero positivo N, existen enteros p y q tales que 1 ≤ q ≤ N y Este es un resultado fundamental en aproximación diofántica, mostrando que cualquier número real tiene una sucesión de buenas aproximaciones por racionales: de hecho, una consecuencia inmediata es que, dado un número irracional α, la desigualdad se satisface para infinitos enteros p y q. (es)
- De benaderingsstelling van Dirichlet is een stelling uit de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, die handelt over de kwaliteit van diofantische benaderingen van reële getallen door rationale getallen. (nl)
- ディリクレのディオファントス近似定理（ディリクレのディオファントスきんじていり）は、ディリクレが証明した実数の有理数による近似についての定理で、単にディリクレの定理と呼ばれることもある。 ディリクレのディオファントス近似定理は次のような定理である。 任意の実数 と より大きい任意の自然数 に対し、分母が 以下の自然数 であるような の近似分数 で、 を満たすものが存在する。 この定理の証明は鳩の巣原理による。 場合によっては、この定理から直ちに導かれる次の結果を指すこともある。 任意の無理数 に対し、 を満たす無限に多くの有理数 が存在する。 この系は、トゥエ・ジーゲル・ロスの定理が、代数的数の有理数での近似の下界は 2 を超えて 2 + ε への改善はできないという意味で、最良であることを示している。 (ja)
- Twierdzenie Dirichleta o aproksymacji – jedno z podstawowych twierdzeń z dziedziny aproksymacji diofantycznej. Stwierdza ono, że dla dowolnej liczby niewymiernej α i dowolnej liczby naturalnej Q istnieją liczby całkowite i takie, że spełniona jest nierówność: Jeżeli przepisać tę nierówność w postaci: natychmiast można stąd wywnioskować, że nierówność spełniona jest dla nieskończenie wielu par liczb względnie pierwszych p i q. Elementarny dowód twierdzenia można przeprowadzić w oparciu o zasadę szufladkową. (pl)
- Теорема Дирихле о диофантовых приближениях гласит, что Она является следствием принципа Дирихле. Теорема была доказана Дирихле в 1842 году. (ru)
- 狄利克雷逼近定理（英語：Dirichlet's approximation theorem）是数论中关于丢番图逼近的一个定理。该定理可表述为：对于任意实数和 （），都存在整数和，满足以及 其中表示的整数部分。这是丢番图逼近的一个重要结果，表明任意实数都存在一系列良好的有理近似：事实上，该定理的一个直接结果是对于给定的无理数，存在无穷多个整数和满足不等式 狄利克雷逼近定理可由鸽笼原理证明。 (zh)
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