In set theory, König's theorem states that if the axiom of choice holds, I is a set, and are cardinal numbers for every i in I, and for every i in I, then The sum here is the cardinality of the disjoint union of the sets mi, and the product is the cardinality of the Cartesian product. However, without the use of the axiom of choice, the sum and the product cannot be defined as cardinal numbers, and the meaning of the inequality sign would need to be clarified.
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| - Satz von König (Mengenlehre) (de)
- Teorema de König (teoría de conjuntos) (es)
- Théorème de König (théorie des ensembles) (fr)
- König's theorem (set theory) (en)
- ケーニヒの定理 (集合論) (ja)
- 쾨니그의 정리 (집합론) (ko)
- Stelling van König (verzamelingenleer) (nl)
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| - Der Satz von König ist ein Satz aus der Mengenlehre, der von dem ungarischen Mathematiker Julius König 1905 entdeckt wurde. Der Satz ist eine strikte Ungleichung zwischen zwei Kardinalzahlen. (de)
- En teoría de conjuntos, el teorema de König establece una desigualdad entre la suma y el producto de dos conjuntos de números cardinales, siempre que se cumpla el axioma de elección. Debe su nombre al matemático húngaro Gyula Kőnig. (es)
- Le théorème de Kőnig en théorie des ensembles est dû au mathématicien hongrois Julius Kőnig (1849-1913). (fr)
- In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van König een strikte ongelijkheid tussen twee kardinaalgetallen die respectievelijk de som en het product zijn van de termen van twee rijen kardinaalgetallen waarvan de een gedomineerd wordt door de ander. De stelling kan alleen bewezen worden onder aanname van het keuzeaxioma. (nl)
- 집합론에서 쾨니그의 정리(Kőnig의定理, 영어: Kőnig’s theorem)는 일련의 기수의 순부등식에서, 작은 쪽의 합을 취하고, 큰 쪽의 곱을 취해도 여전히 순부등식이 성립한다는 정리다. (ko)
- 集合論において、ケーニヒの定理（ケーニヒのていり）とは選択公理の下で成り立つ命題で、I が集合で、全ての I の要素 i について mi と ni はそれぞれ基数であり、であるなら となる。というものである。 ここでの 和 は集合mi達の直和の濃度で、 積 は直積の濃度である。しかしながら、選択公理を仮定しない場合は、この和と積は基数として定義できないので、その場合にこの定理を考慮するにはこの不等式の意味は明らかにされる必要がある。 (ja)
- In set theory, König's theorem states that if the axiom of choice holds, I is a set, and are cardinal numbers for every i in I, and for every i in I, then The sum here is the cardinality of the disjoint union of the sets mi, and the product is the cardinality of the Cartesian product. However, without the use of the axiom of choice, the sum and the product cannot be defined as cardinal numbers, and the meaning of the inequality sign would need to be clarified. (en)
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| - Der Satz von König ist ein Satz aus der Mengenlehre, der von dem ungarischen Mathematiker Julius König 1905 entdeckt wurde. Der Satz ist eine strikte Ungleichung zwischen zwei Kardinalzahlen. (de)
- In set theory, König's theorem states that if the axiom of choice holds, I is a set, and are cardinal numbers for every i in I, and for every i in I, then The sum here is the cardinality of the disjoint union of the sets mi, and the product is the cardinality of the Cartesian product. However, without the use of the axiom of choice, the sum and the product cannot be defined as cardinal numbers, and the meaning of the inequality sign would need to be clarified. König's theorem was introduced by König in the slightly weaker form that the sum of a strictly increasing sequence of nonzero cardinal numbers is less than their product. (en)
- En teoría de conjuntos, el teorema de König establece una desigualdad entre la suma y el producto de dos conjuntos de números cardinales, siempre que se cumpla el axioma de elección. Debe su nombre al matemático húngaro Gyula Kőnig. (es)
- Le théorème de Kőnig en théorie des ensembles est dû au mathématicien hongrois Julius Kőnig (1849-1913). (fr)
- In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van König een strikte ongelijkheid tussen twee kardinaalgetallen die respectievelijk de som en het product zijn van de termen van twee rijen kardinaalgetallen waarvan de een gedomineerd wordt door de ander. De stelling kan alleen bewezen worden onder aanname van het keuzeaxioma. (nl)
- 집합론에서 쾨니그의 정리(Kőnig의定理, 영어: Kőnig’s theorem)는 일련의 기수의 순부등식에서, 작은 쪽의 합을 취하고, 큰 쪽의 곱을 취해도 여전히 순부등식이 성립한다는 정리다. (ko)
- 集合論において、ケーニヒの定理（ケーニヒのていり）とは選択公理の下で成り立つ命題で、I が集合で、全ての I の要素 i について mi と ni はそれぞれ基数であり、であるなら となる。というものである。 ここでの 和 は集合mi達の直和の濃度で、 積 は直積の濃度である。しかしながら、選択公理を仮定しない場合は、この和と積は基数として定義できないので、その場合にこの定理を考慮するにはこの不等式の意味は明らかにされる必要がある。 (ja)
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