In mathematics, the category Ord has preordered sets as objects and order-preserving functions as morphisms. This is a category because the composition of two order-preserving functions is order preserving and the identity map is order preserving. The monomorphisms in Ord are the injective order-preserving functions. The empty set (considered as a preordered set) is the initial object of Ord, and the terminal objects are precisely the singleton preordered sets. There are thus no zero objects in Ord. The categorical product in Ord is given by the product order on the cartesian product.
| Attributes | Values |
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| - Categoría de conjuntos preordenados (es)
- Category of preordered sets (en)
- 前順序集合の圏 (ja)
- 预序范畴 (zh)
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| rdfs:comment
| - 数学の一分野、圏論における前順序集合の圏（ぜんじゅんじょしゅうごうのけん、英: category of preordered sets）Ord は、すべてのを対象とし、単調写像を射とする圏である。二つの単調写像の合成はふたたび単調であり、また恒等写像は単調であるから、これは確かに圏を成していることがわかる。 (ja)
- 在数学领域，预序范畴（记为Ord）指以全体预序集为对象、其上的全体单调函数为态射的范畴。由于任意单调函数的复合还是单调函数，故其满足构成范畴的前提条件。 Ord的单态射为单射单调函数。 Ord的始对象是空集（空集为预序集），终对象为任意单元素预序集。Ord无零对象。 Ord上的积为笛卡儿积和其上的所构成的预序集。 存在从Ord到Set上的遗忘函子。把预序集映射为该集合，把单调函数映射为函数。该遗忘函子为一忠实函子，故Ord为具体范畴。 (zh)
- In mathematics, the category Ord has preordered sets as objects and order-preserving functions as morphisms. This is a category because the composition of two order-preserving functions is order preserving and the identity map is order preserving. The monomorphisms in Ord are the injective order-preserving functions. The empty set (considered as a preordered set) is the initial object of Ord, and the terminal objects are precisely the singleton preordered sets. There are thus no zero objects in Ord. The categorical product in Ord is given by the product order on the cartesian product. (en)
- La categoría Ord tiene conjuntos preordenados como objetos y funciones crecientes como morfismos. Esto es una categoría porque la composición de dos funciones crecientes es asimismo creciente. Los monomorfismos en Ord son las funciones crecientes inyectivas. El conjunto vacío (considerado como un conjunto ordenado) es el objeto inicial de Ord; cualquier singleton es un objeto terminal. El producto en Ord viene dado por el orden producto en el producto cartesiano. El coproducto es dado por la unión disjunta de conjuntos preordenados.
* Datos: Q5051853 (es)
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| - In mathematics, the category Ord has preordered sets as objects and order-preserving functions as morphisms. This is a category because the composition of two order-preserving functions is order preserving and the identity map is order preserving. The monomorphisms in Ord are the injective order-preserving functions. The empty set (considered as a preordered set) is the initial object of Ord, and the terminal objects are precisely the singleton preordered sets. There are thus no zero objects in Ord. The categorical product in Ord is given by the product order on the cartesian product. We have a forgetful functor Ord → Set that assigns to each preordered set the underlying set, and to each order-preserving function the underlying function. This functor is faithful, and therefore Ord is a concrete category. This functor has a left adjoint (sending every set to that set equipped with the equality relation) and a right adjoint (sending every set to that set equipped with the total relation). (en)
- La categoría Ord tiene conjuntos preordenados como objetos y funciones crecientes como morfismos. Esto es una categoría porque la composición de dos funciones crecientes es asimismo creciente. Los monomorfismos en Ord son las funciones crecientes inyectivas. El conjunto vacío (considerado como un conjunto ordenado) es el objeto inicial de Ord; cualquier singleton es un objeto terminal. El producto en Ord viene dado por el orden producto en el producto cartesiano. El coproducto es dado por la unión disjunta de conjuntos preordenados. Tenemos un funtor de "olvido": Ord --> Set que asigna a cada conjunto preordenado el conjunto subyacente, y a cada función creciente la función subyacente. Este funtor es fiel, y por lo tanto Ord es una categoría concreta.
* Datos: Q5051853 (es)
- 数学の一分野、圏論における前順序集合の圏（ぜんじゅんじょしゅうごうのけん、英: category of preordered sets）Ord は、すべてのを対象とし、単調写像を射とする圏である。二つの単調写像の合成はふたたび単調であり、また恒等写像は単調であるから、これは確かに圏を成していることがわかる。 (ja)
- 在数学领域，预序范畴（记为Ord）指以全体预序集为对象、其上的全体单调函数为态射的范畴。由于任意单调函数的复合还是单调函数，故其满足构成范畴的前提条件。 Ord的单态射为单射单调函数。 Ord的始对象是空集（空集为预序集），终对象为任意单元素预序集。Ord无零对象。 Ord上的积为笛卡儿积和其上的所构成的预序集。 存在从Ord到Set上的遗忘函子。把预序集映射为该集合，把单调函数映射为函数。该遗忘函子为一忠实函子，故Ord为具体范畴。 (zh)
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