| dbo:abstract
|
- In mathematics, Degen's eight-square identity establishes that the product of two numbers, each of which is a sum of eight squares, is itself the sum of eight squares.Namely: First discovered by Carl Ferdinand Degen around 1818, the identity was independently rediscovered by John Thomas Graves (1843) and Arthur Cayley (1845). The latter two derived it while working on an extension of quaternions called octonions. In algebraic terms the identity means that the norm of product of two octonions equals the product of their norms: . Similar statements are true for quaternions (Euler's four-square identity), complex numbers (the Brahmagupta–Fibonacci two-square identity) and real numbers. In 1898 Adolf Hurwitz proved that there is no similar bilinear identity for 16 squares (sedenions) or any other number of squares except for 1,2,4, and 8. However, in the 1960s, H. Zassenhaus, W. Eichhorn, and A. Pfister (independently) showed there can be a non-bilinear identity for 16 squares. Note that each quadrant reduces to a version of Euler's four-square identity: and similarly for the other three quadrants. Comment: The proof of the eight-square identity is by algebraic evaluation. The eight-square identity can be written in the form of a product of two inner products of 8-dimensional vectors, yielding again an inner product of 8-dimensional vectors: (a·a)(b·b) = (a×b)·(a×b). This defines the octonion multiplication rule a×b, which reflects Degen's 8-square identity and the mathematics of octonions. By , a different sort of eight-square identity can be given where the , introduced below, are non-bilinear and merely rational functions of the . Thus, where, and, with, Incidentally, the obey the identity, (en)
- En mathématiques, et plus précisément en algèbre, l’identité des huit carrés de Degen montre que le produit de deux nombres, dont chacun est une somme de huit carrés, est lui-même une somme de huit carrés. (fr)
- In matematica, l'identità degli otto quadrati di Degen stabilisce che il prodotto di due numeri esprimibili come somma di otto quadrati è esso stesso somma di otto quadrati: Scoperta per la prima volta da intorno al 1818, l'identità è stata riscoperta indipendentemente da John Thomas Graves (1843) e Arthur Cayley (1845). Cayley la ottenne studiando un'estensione dei quaternioni chiamata ottonioni. In termini algebrici questa identità implica che la norma del prodotto di due ottonioni è uguale al prodotto delle loro norme: . Affermazioni analoghe si possono fare per i quaternioni (identità dei quattro quadrati di Eulero), i numeri complessi (l'identità di Brahmagupta, con due quadrati) e i numeri reali. Tuttavia, nel 1898 Adolf Hurwitz dimostrò che non può esistere un'identità analoga con 16 quadrati (sedenioni) o per nessun altro numero di quadrati eccetto 1, 2, 4 ed 8. (it)
- 데겐의 여덟 제곱수 항등식(Degen's eight-square identity, -數 恒等式)은 덴마크 수학자 (Ferdinand Degen)의 이름이 붙은 항등식이다. 이하와 같은 구조를 갖고 있다: 이 항등식은 네 제곱수의 경우에 관찰할 수 있는 오일러의 네 제곱수 항등식, 즉, 을 일반화한 결과이다. 증명 자체는 단순한 식의 전개를 통해 할 수 있다. 이 항등식은 처음으로 1818년 무렵 데겐에 의해 발견되었으나, 이후 1843년 (John Thomas Graves)와 1845년 아서 케일리에 의해 팔원수 체계가 구성되면서 독립적으로 재발견되었다. 이 항등식은 팔원수 a, b의 노름에 대해 가 성립함을 의미하기 때문이다. 이보다 더 많은 수, 예컨대 16개의 수에 대해 유사한 항등식이 더 이상 성립하지 않는다는 것은 1898년 아돌프 후르비츠에 의해 증명되었다. (ko)
- In de wiskunde zegt de acht-kwadratenidentiteit van Degen dat het product van twee getallen, die elk op zich een som van acht kwadraten zijn, zelf ook weer een som van acht kwadraten is. Meer specifiek: Deze identiteit werd rond 1818 als eerste ontdekt door de Deense wiskundige Carl Ferdinand Degen. De identiteit werd onafhankelijk herontdekt door John Thomas Graves (1843) en Arthur Cayley (1845 ). De laatste twee leidden deze identiteit af, terwijl zij werkten aan de uitbreiding van de quaternionen, de octonionen. In algebraïsche termen betekent de identiteit dat de norm van het product van twee octonionen gelijk is aan het product van hun normen . Vergelijkbare uitspraken zijn waar voor quaternionen (vier-kwadratenidentiteit van Euler), complexe getallen (de Brahmagupta-Fibonacci-twee kwadratenidentiteit) en de reële getallen. In 1898 bewees Adolf Hurwitz dat er geen vergelijkbare bilineaire identiteit voor 16 kwadraten (sedenionen) of een ander aantal kwadraten bestaat, behalve voor 1, 2, 4 en 8 kwadraten. In de jaren 1960 toonden H. Zassenhaus, W. Eichhorn en A. Pfister (zelfstandig) echter aan dat er een niet-bilineaire identiteit voor 16 kwadraten kan bestaan. (nl)
- Тождество восьми квадратов — следующее тождество, выражающее произведение сумм восьми квадратов в виде суммы восьми квадратов: (ru)
- Тотожність восьми квадратів — алгебраїчна тотожність, що стверджує: добуток суми вісьми квадратів на іншу суму вісьми квадратів також буде сумою вісьми квадратів: Відкрита Ferdinand Degen {dansk} в 1818 році, була незалежно перевідкрита Джоном Грейвзом (1843) та Артуром Келі (1845). Останні двоє відкрили її під час праці над розширенням кватерніонів до октоніонів.В нормованій алгебрі з діленням, це означає,добуток модулів двох октоніонів дорівнює модулю їх добутку. . В 1898 році Адольф Гурвіц довів, що подібні тотожності можливі тільки для 1,2,4 та 8 квадратів. Див. Теорема Гурвіца про композитні алгебри. Кожен квадрант тотожностівосьми квадратів є тотожністю чотирьох квадратів: та, і т.д. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- En mathématiques, et plus précisément en algèbre, l’identité des huit carrés de Degen montre que le produit de deux nombres, dont chacun est une somme de huit carrés, est lui-même une somme de huit carrés. (fr)
- 데겐의 여덟 제곱수 항등식(Degen's eight-square identity, -數 恒等式)은 덴마크 수학자 (Ferdinand Degen)의 이름이 붙은 항등식이다. 이하와 같은 구조를 갖고 있다: 이 항등식은 네 제곱수의 경우에 관찰할 수 있는 오일러의 네 제곱수 항등식, 즉, 을 일반화한 결과이다. 증명 자체는 단순한 식의 전개를 통해 할 수 있다. 이 항등식은 처음으로 1818년 무렵 데겐에 의해 발견되었으나, 이후 1843년 (John Thomas Graves)와 1845년 아서 케일리에 의해 팔원수 체계가 구성되면서 독립적으로 재발견되었다. 이 항등식은 팔원수 a, b의 노름에 대해 가 성립함을 의미하기 때문이다. 이보다 더 많은 수, 예컨대 16개의 수에 대해 유사한 항등식이 더 이상 성립하지 않는다는 것은 1898년 아돌프 후르비츠에 의해 증명되었다. (ko)
- Тождество восьми квадратов — следующее тождество, выражающее произведение сумм восьми квадратов в виде суммы восьми квадратов: (ru)
- In mathematics, Degen's eight-square identity establishes that the product of two numbers, each of which is a sum of eight squares, is itself the sum of eight squares.Namely: First discovered by Carl Ferdinand Degen around 1818, the identity was independently rediscovered by John Thomas Graves (1843) and Arthur Cayley (1845). The latter two derived it while working on an extension of quaternions called octonions. In algebraic terms the identity means that the norm of product of two octonions equals the product of their norms: . Similar statements are true for quaternions (Euler's four-square identity), complex numbers (the Brahmagupta–Fibonacci two-square identity) and real numbers. In 1898 Adolf Hurwitz proved that there is no similar bilinear identity for 16 squares (sedenions) or any ot (en)
- In matematica, l'identità degli otto quadrati di Degen stabilisce che il prodotto di due numeri esprimibili come somma di otto quadrati è esso stesso somma di otto quadrati: Scoperta per la prima volta da intorno al 1818, l'identità è stata riscoperta indipendentemente da John Thomas Graves (1843) e Arthur Cayley (1845). Cayley la ottenne studiando un'estensione dei quaternioni chiamata ottonioni. In termini algebrici questa identità implica che la norma del prodotto di due ottonioni è uguale al prodotto delle loro norme: . Affermazioni analoghe si possono fare per i quaternioni (identità dei quattro quadrati di Eulero), i numeri complessi (l'identità di Brahmagupta, con due quadrati) e i numeri reali. Tuttavia, nel 1898 Adolf Hurwitz dimostrò che non può esistere un'identità analoga con (it)
- In de wiskunde zegt de acht-kwadratenidentiteit van Degen dat het product van twee getallen, die elk op zich een som van acht kwadraten zijn, zelf ook weer een som van acht kwadraten is. Meer specifiek: . (nl)
- Тотожність восьми квадратів — алгебраїчна тотожність, що стверджує: добуток суми вісьми квадратів на іншу суму вісьми квадратів також буде сумою вісьми квадратів: Відкрита Ferdinand Degen {dansk} в 1818 році, була незалежно перевідкрита Джоном Грейвзом (1843) та Артуром Келі (1845). Останні двоє відкрили її під час праці над розширенням кватерніонів до октоніонів.В нормованій алгебрі з діленням, це означає,добуток модулів двох октоніонів дорівнює модулю їх добутку. . Кожен квадрант тотожностівосьми квадратів є тотожністю чотирьох квадратів: та, і т.д. (uk)
|
