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- Die Mainardi-Codazzi-Gleichungen, benannt nach den italienischen Mathematikern Gaspare Mainardi und Delfino Codazzi, sind Formeln der klassischen Differentialgeometrie, die sich auf Flächen im dreidimensionalen Raum beziehen. Sie beschreiben einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten , , der zweiten Fundamentalform, deren partiellen Ableitungen nach den zur Beschreibung der Fläche verwendeten Parametern und sowie den Christoffelsymbolen . Diese Gleichungen sind auch notwendige Integrabilitätsbedingungen für die Gauß-Weingarten-Gleichungen. (de)
- In Riemannian geometry and pseudo-Riemannian geometry, the Gauss–Codazzi equations (also called the Gauss–Codazzi–Weingarten-Mainardi equations or Gauss–Peterson–Codazzi Formulas) are fundamental formulas which link together the induced metric and second fundamental form of a submanifold of (or immersion into) a Riemannian or pseudo-Riemannian manifold. The equations were originally discovered in the context of surfaces in three-dimensional Euclidean space. In this context, the first equation, often called the Gauss equation (after its discoverer Carl Friedrich Gauss), says that the Gauss curvature of the surface, at any given point, is dictated by the derivatives of the Gauss map at that point, as encoded by the second fundamental form. The second equation, called the Codazzi equation or Codazzi-Mainardi equation, states that the covariant derivative of the second fundamental form is fully symmetric. It is named for Gaspare Mainardi (1856) and Delfino Codazzi (1868–1869), who independently derived the result, although it was discovered earlier by Karl Mikhailovich Peterson. (en)
- En géométrie riemannienne, les équations de Gauss-Codazzi-Mainardi sont des équations fondamentales dans le cadre de la théorie des hypersurfaces plongées dans un espace euclidien, et plus généralement des sous-variétés d'une variété riemannienne. Il existe aussi des applications au cas des hypersurfaces plongées dans une variété pseudo-riemannienne. Dans la géométrie des surfaces classique, les équations de Gauss-Codazzi-Mainardi sont constituées d'une paire d'équations. La première équation, parfois appelée équation de Gauss relie la courbure intrinsèque (ou courbure de Gauss) de la surface aux dérivées de l'application de Gauss, via la seconde forme fondamentale. Cette équation est la base même du theorema egregium de Gauss. La seconde équation, parfois appelée équation de Codazzi-Mainardi, est une condition structurelle sur les dérivées secondes de l'application de Gauss. Cette équation fait intervenir la courbure extrinsèque (ou courbure moyenne) de la surface. Ces équations montrent que les composantes de la seconde forme fondamentale et ses dérivées classifient entièrement la surface à une transformation euclidienne près, ce qui revient à un des théorèmes de Pierre-Ossian Bonnet. (fr)
- As equações de Gauss–Codazzi–Mainardi são equações fundamentais da teoria das hipersuperfícies incorporadas em um espaço euclidiano e, geralmente, de subvariedades da variedade de Riemann. Elas também têm aplicações para sistemas de hipersuperfícies incorporadas nas variedades pseudo-riemannianas (geometria de Riemann). Na geometria diferencial clássica de superfícies, as equações de Gauss-Codazzi-Mainardi consistem em um par de equações relacionadas. A primeira equação, às vezes chamada de equação de Gauss, relaciona a curvatura intrínseca (ou curvatura de Gauss ) da superfície às derivadas do mapa de Gauss, por meio da segunda forma fundamental . Esta equação é a base do teorema egrégio de Gauss . A segunda equação, às vezes chamada de equação de Codazzi – Mainardi, é uma condição estrutural nas segundas derivadas do mapa de Gauss. Foi nomeado para Gaspare Mainardi (1856) e Delfino Codazzi (1868-1869), que derivaram independentemente o resultado, embora tenha sido descoberto anteriormente por Karl Mikhailovich Peterson. Ele incorpora a curvatura extrínseca (ou curvatura média ) da superfície. As equações mostram que os componentes da segunda forma fundamental e seus derivados ao longo da superfície classificam completamente a superfície até uma transformação euclidiana, um teorema do Pierre Ossain Bonnet. (pt)
- Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам. (ru)
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- Die Mainardi-Codazzi-Gleichungen, benannt nach den italienischen Mathematikern Gaspare Mainardi und Delfino Codazzi, sind Formeln der klassischen Differentialgeometrie, die sich auf Flächen im dreidimensionalen Raum beziehen. Sie beschreiben einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten , , der zweiten Fundamentalform, deren partiellen Ableitungen nach den zur Beschreibung der Fläche verwendeten Parametern und sowie den Christoffelsymbolen . Diese Gleichungen sind auch notwendige Integrabilitätsbedingungen für die Gauß-Weingarten-Gleichungen. (de)
- Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам. (ru)
- In Riemannian geometry and pseudo-Riemannian geometry, the Gauss–Codazzi equations (also called the Gauss–Codazzi–Weingarten-Mainardi equations or Gauss–Peterson–Codazzi Formulas) are fundamental formulas which link together the induced metric and second fundamental form of a submanifold of (or immersion into) a Riemannian or pseudo-Riemannian manifold. (en)
- En géométrie riemannienne, les équations de Gauss-Codazzi-Mainardi sont des équations fondamentales dans le cadre de la théorie des hypersurfaces plongées dans un espace euclidien, et plus généralement des sous-variétés d'une variété riemannienne. Il existe aussi des applications au cas des hypersurfaces plongées dans une variété pseudo-riemannienne. (fr)
- As equações de Gauss–Codazzi–Mainardi são equações fundamentais da teoria das hipersuperfícies incorporadas em um espaço euclidiano e, geralmente, de subvariedades da variedade de Riemann. Elas também têm aplicações para sistemas de hipersuperfícies incorporadas nas variedades pseudo-riemannianas (geometria de Riemann). (pt)
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