In algebra, the content of a polynomial with integer coefficients (or, more generally, with coefficients in a unique factorization domain) is the greatest common divisor of its coefficients. The primitive part of such a polynomial is the quotient of the polynomial by its content. Thus a polynomial is the product of its primitive part and its content, and this factorization is unique up to the multiplication of the content by a unit of the ring of the coefficients (and the multiplication of the primitive part by the inverse of the unit).
| Attributes | Values |
|---|
| rdf:type
| |
| rdfs:label
| - Obsah a primitivní část polynomu (cs)
- Inhalt (Polynom) (de)
- 多項式の内容と原始多項式 (ja)
- Primitive part and content (en)
- Примитивный многочлен (алгебра) (ru)
|
| rdfs:comment
| - В алгебре примитивный многочлен — это всякий многочлен , где — ассоциативно-коммутативноекольцо, с однозначным разложением на множители, коэффициенты которого не имеют нетривиальных общихделителей. Любой многочлен можно записать в виде , где — примитивный многочлен, a — наибольший общий делитель коэффициентов многочлена .Элемент , определён с точностью до умножения на обратимые элементы из R, он называется содержанием многочлена . (ru)
- Obsah polynomu a primitivní část polynomu jsou v oboru dvě úzce související charakteristiky polynomu. Především se uvažují u polynomů s koeficienty z celých čísel, pro která platí základní věta aritmetiky, ale stejná definice je užívána a platí obecněji pro polynomy s koeficienty z libovolného gaussovského oboru integrity. Obsah polynomu je největší společný dělitel všech jeho koeficientů (je tedy určen jednoznačně až na vynásobení jednotkou), primitivní část polynomu vznikne vydělením polynomu jeho obsahem. Je-li obsahem polynomu jednotka, je polynom nazýván primitivní polynom. (cs)
- Als Inhalt (engl. content) eines Polynoms über einem Ring bezeichnet man den größten gemeinsamen Teiler (in ) der Koeffizienten des Polynoms. Die Abhängigkeit vom Ring ist dabei essentiell. Eine Anwendung hat dieser Begriff im Satz von Gauß. Dieser stellt den Inhalt eines Produktes von zwei Polynomen in Bezug zum Inhalt seiner Faktoren. Dieses Resultat ist theoretisch sehr interessant, da man damit nachweisen kann, dass Polynomringe in endlich vielen Variablen über faktoriellen Ringen, insbesondere über Körpern, faktoriell sind. Praktisch kann man den Satz auch nutzen, um Einschränkungen von rationalen Nullstellen eines Polynoms mit ganzen Koeffizienten zu erhalten. Insbesondere lassen sich die Kandidaten für rationale Nullstellen auf endlich viele reduzieren, dies kann bei der Faktorisie (de)
- In algebra, the content of a polynomial with integer coefficients (or, more generally, with coefficients in a unique factorization domain) is the greatest common divisor of its coefficients. The primitive part of such a polynomial is the quotient of the polynomial by its content. Thus a polynomial is the product of its primitive part and its content, and this factorization is unique up to the multiplication of the content by a unit of the ring of the coefficients (and the multiplication of the primitive part by the inverse of the unit). (en)
- 代数学における多項式の内容（ないよう、英: content; 容量）は、与えられた多項式のすべての係数の最大公約数を言い、内容が 1 に等しい多項式は原始多項式（げんしたこうしき、英: primitive polynomial）であるという。この場合の多項式は、整係数（あるいはより一般にUFDなど、最大公約数の定義できる整域（GCD整域））で考えるものとする。 任意の多項式は、その内容と原始多項式の積として（係数環の単元を掛ける違いを除いて）一意に表される（内容–原始成分分解）。このとき、原始多項式となる因子を、この多項式の原始成分 (primitive part) と呼ぶ。すなわち、多項式をその内容で割ったものがその多項式の原始成分であり、原始多項式の原始成分はもとの原始多項式そのものである。 は、(同じUFDを係数環とする)原始多項式の積がふたたび原始多項式となることを述べるものである。これはしたがって、多項式の積の内容および積の原始成分は、それぞれ内容の積および原始成分の積に等しいことを意味する。 係数の最大公約数を計算することは多項式の因数分解の計算よりも極めて計算量が低いから、多項式の因数分解を行うためのアルゴリズムでは一般には真っ先に内容–原始成分分解を行うべきである（これにより、多項式の因数分解問題は、内容および原始成分の分解問題に分割して帰着される）。 (ja)
|
| rdfs:seeAlso
| |
| dcterms:subject
| |
| Wikipage page ID
| |
| Wikipage revision ID
| |
| Link from a Wikipage to another Wikipage
| |
| Link from a Wikipage to an external page
| |
| sameAs
| |
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| has abstract
| - Obsah polynomu a primitivní část polynomu jsou v oboru dvě úzce související charakteristiky polynomu. Především se uvažují u polynomů s koeficienty z celých čísel, pro která platí základní věta aritmetiky, ale stejná definice je užívána a platí obecněji pro polynomy s koeficienty z libovolného gaussovského oboru integrity. Obsah polynomu je největší společný dělitel všech jeho koeficientů (je tedy určen jednoznačně až na vynásobení jednotkou), primitivní část polynomu vznikne vydělením polynomu jeho obsahem. Je-li obsahem polynomu jednotka, je polynom nazýván primitivní polynom. říká, že součin primitivních polynomů je opět primitivním polynomem. (cs)
- Als Inhalt (engl. content) eines Polynoms über einem Ring bezeichnet man den größten gemeinsamen Teiler (in ) der Koeffizienten des Polynoms. Die Abhängigkeit vom Ring ist dabei essentiell. Eine Anwendung hat dieser Begriff im Satz von Gauß. Dieser stellt den Inhalt eines Produktes von zwei Polynomen in Bezug zum Inhalt seiner Faktoren. Dieses Resultat ist theoretisch sehr interessant, da man damit nachweisen kann, dass Polynomringe in endlich vielen Variablen über faktoriellen Ringen, insbesondere über Körpern, faktoriell sind. Praktisch kann man den Satz auch nutzen, um Einschränkungen von rationalen Nullstellen eines Polynoms mit ganzen Koeffizienten zu erhalten. Insbesondere lassen sich die Kandidaten für rationale Nullstellen auf endlich viele reduzieren, dies kann bei der Faktorisierung von Polynomen nützlich sein. (de)
- In algebra, the content of a polynomial with integer coefficients (or, more generally, with coefficients in a unique factorization domain) is the greatest common divisor of its coefficients. The primitive part of such a polynomial is the quotient of the polynomial by its content. Thus a polynomial is the product of its primitive part and its content, and this factorization is unique up to the multiplication of the content by a unit of the ring of the coefficients (and the multiplication of the primitive part by the inverse of the unit). A polynomial is primitive if its content equals 1. Thus the primitive part of a polynomial is a primitive polynomial. Gauss's lemma for polynomials states that the product of primitive polynomials (with coefficients in the same unique factorization domain) also is primitive. This implies that the content and the primitive part of the product of two polynomials are, respectively, the product of the contents and the product of the primitive parts. As the computation of greatest common divisors is generally much easier than polynomial factorization, the first step of a polynomial factorization algorithm is generally the computation of its primitive part–content factorization (see Factorization of polynomials § Primitive part–content factorization). Then the factorization problem is reduced to factorize separately the content and the primitive part. Content and primitive part may be generalized to polynomials over the rational numbers, and, more generally, to polynomials over the field of fractions of a unique factorization domain. This makes essentially equivalent the problems of computing greatest common divisors and factorization of polynomials over the integers and of polynomials over the rational numbers. (en)
- 代数学における多項式の内容（ないよう、英: content; 容量）は、与えられた多項式のすべての係数の最大公約数を言い、内容が 1 に等しい多項式は原始多項式（げんしたこうしき、英: primitive polynomial）であるという。この場合の多項式は、整係数（あるいはより一般にUFDなど、最大公約数の定義できる整域（GCD整域））で考えるものとする。 任意の多項式は、その内容と原始多項式の積として（係数環の単元を掛ける違いを除いて）一意に表される（内容–原始成分分解）。このとき、原始多項式となる因子を、この多項式の原始成分 (primitive part) と呼ぶ。すなわち、多項式をその内容で割ったものがその多項式の原始成分であり、原始多項式の原始成分はもとの原始多項式そのものである。 は、(同じUFDを係数環とする)原始多項式の積がふたたび原始多項式となることを述べるものである。これはしたがって、多項式の積の内容および積の原始成分は、それぞれ内容の積および原始成分の積に等しいことを意味する。 係数の最大公約数を計算することは多項式の因数分解の計算よりも極めて計算量が低いから、多項式の因数分解を行うためのアルゴリズムでは一般には真っ先に内容–原始成分分解を行うべきである（これにより、多項式の因数分解問題は、内容および原始成分の分解問題に分割して帰着される）。 内容および原始多項式の概念は、有理係数（あるいはより一般にGCD整域の商体）の場合に一般化することができる。これにより、有理係数多項式の因数分解問題が整係数多項式の因数分解と整数の最大公約数の計算を行うことに本質的に同値であると知ることができる。 (ja)
- В алгебре примитивный многочлен — это всякий многочлен , где — ассоциативно-коммутативноекольцо, с однозначным разложением на множители, коэффициенты которого не имеют нетривиальных общихделителей. Любой многочлен можно записать в виде , где — примитивный многочлен, a — наибольший общий делитель коэффициентов многочлена .Элемент , определён с точностью до умножения на обратимые элементы из R, он называется содержанием многочлена . (ru)
|
| prov:wasDerivedFrom
| |
| page length (characters) of wiki page
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is Link from a Wikipage to another Wikipage
of | |
| is Wikipage redirect
of | |
| is Wikipage disambiguates
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)