In algebra, a field k is perfect if any one of the following equivalent conditions holds:
* Every irreducible polynomial over k has distinct roots.
* Every irreducible polynomial over k is separable.
* Every finite extension of k is separable.
* Every algebraic extension of k is separable.
* Either k has characteristic 0, or, when k has characteristic p > 0, every element of k is a pth power.
* Either k has characteristic 0, or, when k has characteristic p > 0, the Frobenius endomorphism x ↦ xp is an automorphism of k.
* The separable closure of k is algebraically closed.
* Every reduced commutative k-algebra A is a separable algebra; i.e., is reduced for every field extension F/k. (see below)
| Attributes | Values |
|---|
| rdfs:label
| - Vollkommener Körper (de)
- Perfekta kampo (eo)
- Corps parfait (fr)
- 완전체 (ko)
- 完全体 (ja)
- Perfect field (en)
- Ciało doskonałe (pl)
- Corpo perfeito (pt)
- Совершенное поле (ru)
- Досконале поле (uk)
|
| rdfs:comment
| - En algebro, perfekta kampo estas kampo, kies Galoja teorio estas simpla. Galoja teorio estiĝas komplika, se la karakterizaĵo estas nenula kaj ekzistas neapartigeblaj etendoj; sed se la kampo estas perfekta, ĉiu ĝia algebra etendo estas aŭtomate apartigebla, kaj tiaj problemoj ne okazas. (eo)
- Perfekte Körper oder vollkommene Körper ist ein Begriff aus der Algebra, der in der Körpertheorie von Nutzen ist, weil die Galois-Theorie vollkommener Körper zahlreiche Komplikationen vermeidet, die bei allgemeineren Körpern auftreten können. (de)
- ( 이 문서는 수학 용어에 관한 것입니다. 일본 완구·애니메이션 《디지털 몬스터》의 설정에 대해서는 디지털 몬스터 문서를 참고하십시오.) 추상대수학에서 완전체(完全體, 영어: perfect field)는 그 갈루아 이론이 특별히 단순한 체이다. (ko)
- 代数学において、体 k は以下の同値な条件の1つが成り立つときに完全（英: perfect）と呼ばれる。
* k 上のすべての既約多項式は相異なる根をもつ。
* k 上のすべての既約多項式は分離的である。
* k のすべての有限次拡大は分離的である。
* k のすべての代数拡大は分離的である。
* k は標数 0 であるかまたは標数 p > 0 かつk のすべての元は p ベキである。
* k は標数 0 であるかまたは標数 p > 0 かつフロベニウス自己準同型 x→xp が k の同型写像。
* k の分離閉包は代数的閉体である。
* すべての被約可換 k-多元環 A は 分離多元環である、すなわち、 はすべての体の拡大 F/k に対して被約である。（下記参照） そうでなければ、k は不完全（英: imperfect）と呼ばれる。 とくに、標数 0 のすべての体とすべての有限体は完全である。 完全体は重要である、なぜならば完全体上のガロワ理論は単純になるからだ、というのも体拡大が分離的であるという一般的なガロワの仮定はこれらの体では自動的に満たされるからである（上の3つ目の条件を見よ）。 より一般的に、標数が素数 p の環はフロベニウス自己準同型が自己同型のときに完全と呼ばれる。（これは整域上で上の条件「k のすべての元は pベキである」と同値である。） (ja)
- Em álgebra abstrata, um corpo perfeito é um corpo em que todo polinômio é separável. (pt)
- In algebra, a field k is perfect if any one of the following equivalent conditions holds:
* Every irreducible polynomial over k has distinct roots.
* Every irreducible polynomial over k is separable.
* Every finite extension of k is separable.
* Every algebraic extension of k is separable.
* Either k has characteristic 0, or, when k has characteristic p > 0, every element of k is a pth power.
* Either k has characteristic 0, or, when k has characteristic p > 0, the Frobenius endomorphism x ↦ xp is an automorphism of k.
* The separable closure of k is algebraically closed.
* Every reduced commutative k-algebra A is a separable algebra; i.e., is reduced for every field extension F/k. (see below) (en)
- En mathématiques et plus particulièrement en algèbre dans le contexte de la théorie de Galois, un corps parfait est un corps commutatif dont toutes les extensions algébriques sont séparables. Les corps parfaits sont utiles pour la théorie de Galois, car les théorèmes fondateurs, comme le théorème de l'élément primitif ou le théorème fondamental de la théorie de Galois utilisent dans les hypothèses le fait que l'extension considérée est séparable. (fr)
- Ciało doskonałe – ciało które spełnia następujące równoważne warunki:
* każde rozszerzenie skończone jest rozdzielcze, tzn. każdy wielomian nierozkładalny nad ma różne pierwiastki;
* jest charakterystyki 0, bądź, jeżeli jest charakterystyki każdy element jest -tą potęgą;
* każdy element jest -tą potęgą, gdzie oznacza wykładnik charakterystyczny równy jeżeli ma charakterystykę 0 oraz równy gdy jest charakterystyki
* jest algebraicznie domknięte;
* każda k-algebra jest , tzn. jest zredukowany nad każdym rozszerzeniem ciała (pl)
- В общей алгебре, поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий: 1) Любой неприводимый многочлен над k имеет различные корни в алгебраическом замыкании k.2) Каждое конечное расширение k является сепарабельным.3) Каждое алгебраическое расширение k является сепарабельным.4) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и каждый элемент k является p-й степенью.5) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом.6) k совпадает со множеством неподвижных точек k-автоморфизмов алгебраического замыкания k. (ru)
- Досконале поле — поле F, будь-який многочлен над яким є . Інакше кажучи, будь-яке алгебричне розширення поля F — сепарабельне розширення. Всі інші поля називаються недосконалими. Всі поля характеристики 0 досконалі. Поле F скінченної характеристики p є досконалим тоді й лише тоді коли F = Fp, тобто піднесення до степеня p є автоморфізмом поля F. Скінченні поля і алгебраїчно замкнуті поля є досконалими. Будь-яке алгебричне розширення досконалого поля теж є досконалим полем. Для довільного поля F характеристики p > 0 з алгебраїчним замиканням поле (uk)
|
| dct:subject
| |
| Wikipage page ID
| |
| Wikipage revision ID
| |
| Link from a Wikipage to another Wikipage
| |
| Link from a Wikipage to an external page
| |
| sameAs
| |
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| id
| |
| title
| |
| has abstract
| - En algebro, perfekta kampo estas kampo, kies Galoja teorio estas simpla. Galoja teorio estiĝas komplika, se la karakterizaĵo estas nenula kaj ekzistas neapartigeblaj etendoj; sed se la kampo estas perfekta, ĉiu ĝia algebra etendo estas aŭtomate apartigebla, kaj tiaj problemoj ne okazas. (eo)
- Perfekte Körper oder vollkommene Körper ist ein Begriff aus der Algebra, der in der Körpertheorie von Nutzen ist, weil die Galois-Theorie vollkommener Körper zahlreiche Komplikationen vermeidet, die bei allgemeineren Körpern auftreten können. (de)
- En mathématiques et plus particulièrement en algèbre dans le contexte de la théorie de Galois, un corps parfait est un corps commutatif dont toutes les extensions algébriques sont séparables. Les corps parfaits sont utiles pour la théorie de Galois, car les théorèmes fondateurs, comme le théorème de l'élément primitif ou le théorème fondamental de la théorie de Galois utilisent dans les hypothèses le fait que l'extension considérée est séparable. Les corps parfaits sont relativement fréquents, en effet, tout corps de caractéristique nulle (comme ceux des nombres rationnels, des nombres réels ou des nombres complexes) est parfait. C'est aussi le cas des corps finis. (fr)
- In algebra, a field k is perfect if any one of the following equivalent conditions holds:
* Every irreducible polynomial over k has distinct roots.
* Every irreducible polynomial over k is separable.
* Every finite extension of k is separable.
* Every algebraic extension of k is separable.
* Either k has characteristic 0, or, when k has characteristic p > 0, every element of k is a pth power.
* Either k has characteristic 0, or, when k has characteristic p > 0, the Frobenius endomorphism x ↦ xp is an automorphism of k.
* The separable closure of k is algebraically closed.
* Every reduced commutative k-algebra A is a separable algebra; i.e., is reduced for every field extension F/k. (see below) Otherwise, k is called imperfect. In particular, all fields of characteristic zero and all finite fields are perfect. Perfect fields are significant because Galois theory over these fields becomes simpler, since the general Galois assumption of field extensions being separable is automatically satisfied over these fields (see third condition above). Another important property of perfect fields is that they admit Witt vectors. More generally, a ring of characteristic p (p a prime) is called perfect if the Frobenius endomorphism is an automorphism. (When restricted to integral domains, this is equivalent to the above condition "every element of k is a pth power".) (en)
- ( 이 문서는 수학 용어에 관한 것입니다. 일본 완구·애니메이션 《디지털 몬스터》의 설정에 대해서는 디지털 몬스터 문서를 참고하십시오.) 추상대수학에서 완전체(完全體, 영어: perfect field)는 그 갈루아 이론이 특별히 단순한 체이다. (ko)
- 代数学において、体 k は以下の同値な条件の1つが成り立つときに完全（英: perfect）と呼ばれる。
* k 上のすべての既約多項式は相異なる根をもつ。
* k 上のすべての既約多項式は分離的である。
* k のすべての有限次拡大は分離的である。
* k のすべての代数拡大は分離的である。
* k は標数 0 であるかまたは標数 p > 0 かつk のすべての元は p ベキである。
* k は標数 0 であるかまたは標数 p > 0 かつフロベニウス自己準同型 x→xp が k の同型写像。
* k の分離閉包は代数的閉体である。
* すべての被約可換 k-多元環 A は 分離多元環である、すなわち、 はすべての体の拡大 F/k に対して被約である。（下記参照） そうでなければ、k は不完全（英: imperfect）と呼ばれる。 とくに、標数 0 のすべての体とすべての有限体は完全である。 完全体は重要である、なぜならば完全体上のガロワ理論は単純になるからだ、というのも体拡大が分離的であるという一般的なガロワの仮定はこれらの体では自動的に満たされるからである（上の3つ目の条件を見よ）。 より一般的に、標数が素数 p の環はフロベニウス自己準同型が自己同型のときに完全と呼ばれる。（これは整域上で上の条件「k のすべての元は pベキである」と同値である。） (ja)
- Em álgebra abstrata, um corpo perfeito é um corpo em que todo polinômio é separável. (pt)
- В общей алгебре, поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий: 1) Любой неприводимый многочлен над k имеет различные корни в алгебраическом замыкании k.2) Каждое конечное расширение k является сепарабельным.3) Каждое алгебраическое расширение k является сепарабельным.4) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и каждый элемент k является p-й степенью.5) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом.6) k совпадает со множеством неподвижных точек k-автоморфизмов алгебраического замыкания k. В противном случае поле называется несовершенным. Совершенные поля полезны тем, что теория Галуа над ними становится значительно проще, так как условие сепарабельности расширений поля выполняется автоматически. Более общо, кольцо характеристики p называется совершенным, если эндоморфизм Фробениуса для него является автоморфизмом. (В случае целостных колец это эквивалентно условию "каждый элемент является p-й степенью). (ru)
- Ciało doskonałe – ciało które spełnia następujące równoważne warunki:
* każde rozszerzenie skończone jest rozdzielcze, tzn. każdy wielomian nierozkładalny nad ma różne pierwiastki;
* jest charakterystyki 0, bądź, jeżeli jest charakterystyki każdy element jest -tą potęgą;
* każdy element jest -tą potęgą, gdzie oznacza wykładnik charakterystyczny równy jeżeli ma charakterystykę 0 oraz równy gdy jest charakterystyki
* jest algebraicznie domknięte;
* każda k-algebra jest , tzn. jest zredukowany nad każdym rozszerzeniem ciała W szczególności doskonałymi są wszystkie ciała charakterystyki zero oraz ciała skończone. Ogólniej, pierścień charakterystyki (będącej liczbą pierwszą) nazywa się doskonałym, jeżeli endomorfizm Frobeniusa jest automorfizmem. (pl)
- Досконале поле — поле F, будь-який многочлен над яким є . Інакше кажучи, будь-яке алгебричне розширення поля F — сепарабельне розширення. Всі інші поля називаються недосконалими. Всі поля характеристики 0 досконалі. Поле F скінченної характеристики p є досконалим тоді й лише тоді коли F = Fp, тобто піднесення до степеня p є автоморфізмом поля F. Скінченні поля і алгебраїчно замкнуті поля є досконалими. Будь-яке алгебричне розширення досконалого поля теж є досконалим полем. Приклад недосконалого поля — поле Fq(X) раціональних функцій над полем Fq, де F q — поле з q=pn елементів. Досконале поле F збігається з полем інваріантів групи всіх F-автоморфізмів алгебраїчного замикання поля F. Для довільного поля F характеристики p > 0 з алгебраїчним замиканням поле є найменшим досконалим полем, що містить F. Воно називається досконалим замиканням поля F в . (uk)
|
| prov:wasDerivedFrom
| |
| page length (characters) of wiki page
| |
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)