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| - 집합론에서 순서수 정의 가능 집합(順序數定義可能集合, 영어: ordinal-definable set)은 유한 개의 순서수를 포함하는 1차 논리 공식으로 정의할 수 있는 집합이다. (ko)
- In mathematical set theory, a set S is said to be ordinal definable if, informally, it can be defined in terms of a finite number of ordinals by a first-order formula. Ordinal definable sets were introduced by . HOD has been found to be useful in that it is an inner model that can accommodate essentially all known large cardinals. This is in contrast with the situation for core models, as core models have not yet been constructed that can accommodate supercompact cardinals, for example. (en)
- 数学の集合論において、集合Sが順序数定義可能（じゅんじょすうていぎかのう、英: ordinal definable）であるとは、非形式的には、有限個の順序数によって一階述語論理式による定義を用いてされること。順序数定義可能集合はによって導入された。 この非形式な定義の短所は量化が一階述語論理の式全てにわたる必要があり、これは集合論の言語では形式化できないことである。しかしながら、その定義を形式的に記述する方法はある。そのアプローチでは集合をの要素として一階述語論理式 φ でα2...αn をパラメータとしてとることによって定義できるような有限個の順序数α1...αnがあるときに、順序数定義可能であると形式的に定義される。 ここで はフォン・ノイマン階層のα1番目のことである。言い換えると、Sは量化をに制限したときに式 φ(S, α2...αn) を成り立たせる一意的な対象ということである。 (ja)
- Na teoria matemática dos conjuntos, um conjunto S é dito ser ordinal definível se, informalmente, pode ser definido em termos de um número finito de números ordinais por uma fórmula de primeira ordem. Conjuntos ordinal definíveis foram introduzidos por . HOD tem se revelado útil na medida em que é um modelo interno, que pode acomodar, essencialmente, todos os grandes cardinais conhecidos. Isto está em contraste com a situação dos , como modelos núcleos ainda não foram construídos, que podem acomodar , por exemplo. (pt)
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| - In mathematical set theory, a set S is said to be ordinal definable if, informally, it can be defined in terms of a finite number of ordinals by a first-order formula. Ordinal definable sets were introduced by . A drawback to this informal definition is that it requires quantification over all first-order formulas, which cannot be formalized in the language of set theory. However there is a different way of stating the definition that can be so formalized. In this approach, a set S is formally defined to be ordinal definable if there is some collection of ordinals α1, ..., αn such that and can be defined as an element of by a first-order formula φ taking α2, ..., αn as parameters. Here denotes the set indexed by the ordinal α1 in the von Neumann hierarchy. In other words, S is the unique object such that φ(S, α2...αn) holds with its quantifiers ranging over . The class of all ordinal definable sets is denoted OD; it is not necessarily transitive, and need not be a model of ZFC because it might not satisfy the axiom of extensionality. A set is hereditarily ordinal definable if it is ordinal definable and all elements of its transitive closure are ordinal definable. The class of hereditarily ordinal definable sets is denoted by HOD, and is a transitive model of ZFC, with a definable well ordering. It is consistent with the axioms of set theory that all sets are ordinal definable, and so hereditarily ordinal definable. The assertion that this situation holds is referred to as V = OD or V = HOD. It follows from V = L, and is equivalent to the existence of a (definable) well-ordering of the universe. Note however that the formula expressing V = HOD need not hold true within HOD, as it is not absolute for models of set theory: within HOD, the interpretation of the formula for HOD may yield an even smaller inner model. HOD has been found to be useful in that it is an inner model that can accommodate essentially all known large cardinals. This is in contrast with the situation for core models, as core models have not yet been constructed that can accommodate supercompact cardinals, for example. (en)
- 数学の集合論において、集合Sが順序数定義可能（じゅんじょすうていぎかのう、英: ordinal definable）であるとは、非形式的には、有限個の順序数によって一階述語論理式による定義を用いてされること。順序数定義可能集合はによって導入された。 この非形式な定義の短所は量化が一階述語論理の式全てにわたる必要があり、これは集合論の言語では形式化できないことである。しかしながら、その定義を形式的に記述する方法はある。そのアプローチでは集合をの要素として一階述語論理式 φ でα2...αn をパラメータとしてとることによって定義できるような有限個の順序数α1...αnがあるときに、順序数定義可能であると形式的に定義される。 ここで はフォン・ノイマン階層のα1番目のことである。言い換えると、Sは量化をに制限したときに式 φ(S, α2...αn) を成り立たせる一意的な対象ということである。 順序数定義可能集合全てによるクラスを OD で表す;これは推移的クラスというわけではないし、一般には外延性公理を満たさないから普通はZFCのモデルともいえない。集合が遺伝的順序数定義可能であるとは、その集合が順序数定義可能であり、かつその推移閉包の全ての要素が順序数定義可能であることをいう。遺伝的順序数定義可能集合全てによるクラスを HOD で表す。これは定義可能な整列付けによりZFCの推移的モデルになる。全ての集合が順序数定義可能であるという主張(ないしは遺伝的順序数定義可能であるという主張)は集合論の公理と無矛盾である。この主張は V = OD や V = HOD として表される。これはと、ユニバースの(定義可能な) 整列づけの存在性が同値であることから導かれる。V = HOD を表す式は HOD の中で真である必要はないことには注意。HODの中では HOD 自体の解釈がさらに小さい内部モデルを考えられることから、この式はではない。 (ja)
- 집합론에서 순서수 정의 가능 집합(順序數定義可能集合, 영어: ordinal-definable set)은 유한 개의 순서수를 포함하는 1차 논리 공식으로 정의할 수 있는 집합이다. (ko)
- Na teoria matemática dos conjuntos, um conjunto S é dito ser ordinal definível se, informalmente, pode ser definido em termos de um número finito de números ordinais por uma fórmula de primeira ordem. Conjuntos ordinal definíveis foram introduzidos por . Uma desvantagem desta definição informal é que requer a quantificação sobre todas as fórmulas de primeira ordem, que não podem ser formalizadas na linguagem da teoria dos conjuntos. No entanto, há uma maneira diferente de definir, que pode ser assim formalizada. Nesta abordagem, um conjunto S é formalmente definido como sendo ordinal definível se existe algum conjunto de ordinais α1..., αn , tais que e pode ser definido como um elemento de por uma fórmula de primeira ordem φ tomando α2..., αn como parâmetros. Aqui denota o conjunto indexado por um ordinal α1 na hierarquia de conjuntos de von Neumann. Em outras palavras, S é o único objeto tal que φ(S, α2..., αn) vale com seus quantificadores variando sobre . A classe de todos os conjuntos ordinal definíveis é denotada por OD; não é necessariamente transitória, e não precisa ser um modelo de ZFC, porque ela pode não satisfazer o axioma da extensão. Um conjunto é hereditariamente ordinal definível se é ordinal definível e todos os elementos de seu fecho transitivo são ordinal definíveis. A classe de conjuntos hereditariamente ordinal definíveis é denotada por HOD, e é um modelo transitivo de ZFC, com uma relação bem ordenada definida. É consistente com os axiomas da teoria dos conjuntos que todos os conjuntos são ordinal definíveis, e assim hereditariamente ordinal definíveis. A afirmação de que essa situação perdura é referida como V = OD ou V = HOD. Segue-se que V = L, e é equivalente à existência de uma boa-ordenação (definível) do universo. No entanto, observe que a fórmula que expressa V = HOD não precisa ser verdadeira dentro de HOD, como não é para os modelos da teoria dos conjuntos: dentro de HOD, A interpretação da fórmula para HOD pode produzir um modelo interno ainda menor. HOD tem se revelado útil na medida em que é um modelo interno, que pode acomodar, essencialmente, todos os grandes cardinais conhecidos. Isto está em contraste com a situação dos , como modelos núcleos ainda não foram construídos, que podem acomodar , por exemplo. (pt)
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