For a surface in three dimension the focal surface, surface of centers or evolute is formed by taking the centers of the , which are the tangential spheres whose radii are the reciprocals of one of the principal curvatures at the point of tangency. Equivalently it is the surface formed by the centers of the circles which osculate the curvature lines. If is a point of the given surface, the unit normal and the principal curvatures at , then and are the corresponding two points of the focal surface.
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| - Brennfläche (Geometrie) (de)
- Focal surface (en)
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| - In der Geometrie ist eine Brennfläche eine einer gegebenen Fläche zugeordnete Fläche. Sie besteht
* aus der Gesamtheit der Mittelpunkte der die Krümmungslinien oskulierenden Kreise. Da es in der Regel auf einer Fläche zwei Scharen von Krümmungslinien gibt, zerfällt die Brennfläche in der Regel auch in zwei Teile. Der Begriff der Brennfläche ist eine Übertragung des Begriffs der Evolute einer ebenen Kurve auf Flächen. Ähnlich wie bei einer Evolute wird eine Brennfläche von den Flächennormalen berührt. und Es treten wichtige Spezialfälle auf: (de)
- For a surface in three dimension the focal surface, surface of centers or evolute is formed by taking the centers of the , which are the tangential spheres whose radii are the reciprocals of one of the principal curvatures at the point of tangency. Equivalently it is the surface formed by the centers of the circles which osculate the curvature lines. If is a point of the given surface, the unit normal and the principal curvatures at , then and are the corresponding two points of the focal surface. (en)
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| - In der Geometrie ist eine Brennfläche eine einer gegebenen Fläche zugeordnete Fläche. Sie besteht
* aus der Gesamtheit der Mittelpunkte der die Krümmungslinien oskulierenden Kreise. Da es in der Regel auf einer Fläche zwei Scharen von Krümmungslinien gibt, zerfällt die Brennfläche in der Regel auch in zwei Teile. Der Begriff der Brennfläche ist eine Übertragung des Begriffs der Evolute einer ebenen Kurve auf Flächen. Ähnlich wie bei einer Evolute wird eine Brennfläche von den Flächennormalen berührt. Ist ein Punkt der gegebenen Fläche, die Einheitsnormale und sind die Hauptkrümmungen in , so sind und die zugehörigen Punkte der beiden Brennflächen.Ist eine Hauptkrümmung , so liegt der zugehörige Kreismittelpunkt im und die Brennfläche hat einen Pol (siehe zweites Bild: Affensattel). Ist die gaußsche Krümmung negativ, so liegen die Brennflächen auf verschiedenen Seiten der Fläche, wie im Beispiel des hyperbolischen Paraboloids (siehe Bild). Es treten wichtige Spezialfälle auf: 1.
* Ist die Fläche eine Kugel, artet die Brennfläche in den Mittelpunkt der Kugel aus. 2.
* Ist die Fläche eine Rotationsfläche, artet die eine Brennfläche in die Rotationsachse aus. 3.
* Beim Torus besteht die Brennfläche aus dem Leitkreis und der Torusachse. 4.
* Bei einer Dupinschen Zyklide besteht die Brennfläche aus zwei Fokalkegelschnitten. Die Dupinschen Zykliden sind die einzigen Flächen, deren Brennflächen in zwei Kurven ausarten. 5.
* Bei einer Kanalfläche artet eine Brennfläche in eine Kurve (Leitkurve) aus. 6.
* Zwei konfokale ungleichartige Quadriken (z. B. ein Ellipsoid und ein einschaliges Hyperboloid) lassen sich als Brennflächen einer Fläche auffassen. (de)
- For a surface in three dimension the focal surface, surface of centers or evolute is formed by taking the centers of the , which are the tangential spheres whose radii are the reciprocals of one of the principal curvatures at the point of tangency. Equivalently it is the surface formed by the centers of the circles which osculate the curvature lines. As the principal curvatures are the eigenvalues of the second fundamental form, there are two at each point, and these give rise to two points of the focal surface on each normal direction to the surface. Away from umbilical points, these two points of the focal surface are distinct; at umbilical points the two sheets come together. When the surface has a ridge the focal surface has a cuspidal edge, three such edges pass through an elliptical umbilic and only one through a hyperbolic umbilic. At points where the Gaussian curvature is zero, one sheet of the focal surface will have a point at infinity corresponding to the zero principal curvature. If is a point of the given surface, the unit normal and the principal curvatures at , then and are the corresponding two points of the focal surface. (en)
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