In mathematics, specifically in group theory, an elementary abelian group (or elementary abelian p-group) is an abelian group in which every nontrivial element has order p. The number p must be prime, and the elementary abelian groups are a particular kind of p-group. The case where p = 2, i.e., an elementary abelian 2-group, is sometimes called a Boolean group. In general, a (possibly infinite) elementary abelian p-group is a direct sum of cyclic groups of order p. (Note that in the finite case the direct product and direct sum coincide, but this is not so in the infinite case.)
| Attributes | Values |
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| rdf:type
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| rdfs:label
| - زمرة أبيلية ابتدائية (ar)
- Elementar abelsche Gruppe (de)
- Elementary abelian group (en)
- Gruppo abeliano elementare (it)
- 基本アーベル群 (ja)
- Примарная абелева группа (ru)
- Примарна абелева група (uk)
- 初等阿貝爾群 (zh)
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| rdfs:comment
| - في نظرية الزمر، زمرة أبيلية ابتدائية هي زمرة أبيلية منتهية. (ar)
- In algebra, e più precisamente in teoria dei gruppi, un gruppo abeliano si dice elementare quando è un gruppo finito e tutti i suoi elementi hanno lo stesso ordine p (ad eccezione, ovviamente, dell'unità). Ne discende che p è un numero primo. La definizione equivale a dire che il gruppo è isomorfo alla somma diretta di un certo numero di gruppi ciclici di ordine p. (it)
- 群論における基本アーベル群（きほんアーベルぐん、英: elementary abelian group; 初等アーベル群）または基本アーベル p-群 (elementary abelian p-group) は任意の非自明な元が位数 p であるような群（とくに有限群）を言う。この p は素数でなければならず、任意の基本アーベル群は特別な p-群となる。p = 2 の場合、すなわち基本アーベル 2-群のことをブール群 (Boolean group) と呼ぶ場合がある。 任意の基本アーベル p-群は p-元体上の有限次元ベクトル空間の構造を持ち、逆にそのようなベクトル空間は基本アーベル群となる。有限生成アーベル群の構造定理により、あるいは任意のベクトル空間が基底を持つという事実から、任意の有限基本アーベル群は (Z/pZ)n（n はこの群の階数と呼ばれる非負整数）の形になることがわかる。ここに、Z/pZ は位数 p の巡回群（あるいは p を法とする整数の加法群）であり、上付き添字の n は n-重直積を表す。一般に（有限とは限らない）基本アーベル p-群は位数 p の巡回群の適当な個数の直和となる（因子が有限個の場合には直積と直和は同じものであるが、無限の場合にはそうでないことに注意） 以下有限群の場合について述べる。 (ja)
- -примарна (або -праймерна) абелева група (де — фіксоване просте число) — абелева група , така, що порядок будь-якого елемента з є степенем . (uk)
- -примарная абелева группа (где — фиксированное простое число) — абелева группа , такая что порядок любого элемента из является степенью . (ru)
- 在群論中，初等阿貝爾群是有限阿貝爾群，這里的所有非平凡元素都有 p 階而 p 是素數。 通過有限生成阿貝爾群的分類，所有初等阿貝爾群必定有如下形式 (Z/pZ)n 對于非負整數 n。這里的 Z/pZ 指示 p 階的循環群(或等價的整數模以 p)，而冪符號表示意味著 n 元笛卡爾積。 (zh)
- In mathematics, specifically in group theory, an elementary abelian group (or elementary abelian p-group) is an abelian group in which every nontrivial element has order p. The number p must be prime, and the elementary abelian groups are a particular kind of p-group. The case where p = 2, i.e., an elementary abelian 2-group, is sometimes called a Boolean group. In general, a (possibly infinite) elementary abelian p-group is a direct sum of cyclic groups of order p. (Note that in the finite case the direct product and direct sum coincide, but this is not so in the infinite case.) (en)
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| reason
| - do not assume finite unless stated (en)
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| has abstract
| - في نظرية الزمر، زمرة أبيلية ابتدائية هي زمرة أبيلية منتهية. (ar)
- In mathematics, specifically in group theory, an elementary abelian group (or elementary abelian p-group) is an abelian group in which every nontrivial element has order p. The number p must be prime, and the elementary abelian groups are a particular kind of p-group. The case where p = 2, i.e., an elementary abelian 2-group, is sometimes called a Boolean group. Every elementary abelian p-group is a vector space over the prime field with p elements, and conversely every such vector space is an elementary abelian group.By the classification of finitely generated abelian groups, or by the fact that every vector space has a basis, every finite elementary abelian group must be of the form (Z/pZ)n for n a non-negative integer (sometimes called the group's rank). Here, Z/pZ denotes the cyclic group of order p (or equivalently the integers mod p), and the superscript notation means the n-fold direct product of groups. In general, a (possibly infinite) elementary abelian p-group is a direct sum of cyclic groups of order p. (Note that in the finite case the direct product and direct sum coincide, but this is not so in the infinite case.) Presently, in the rest of this article, these groups are assumed finite. (en)
- In algebra, e più precisamente in teoria dei gruppi, un gruppo abeliano si dice elementare quando è un gruppo finito e tutti i suoi elementi hanno lo stesso ordine p (ad eccezione, ovviamente, dell'unità). Ne discende che p è un numero primo. La definizione equivale a dire che il gruppo è isomorfo alla somma diretta di un certo numero di gruppi ciclici di ordine p. (it)
- 群論における基本アーベル群（きほんアーベルぐん、英: elementary abelian group; 初等アーベル群）または基本アーベル p-群 (elementary abelian p-group) は任意の非自明な元が位数 p であるような群（とくに有限群）を言う。この p は素数でなければならず、任意の基本アーベル群は特別な p-群となる。p = 2 の場合、すなわち基本アーベル 2-群のことをブール群 (Boolean group) と呼ぶ場合がある。 任意の基本アーベル p-群は p-元体上の有限次元ベクトル空間の構造を持ち、逆にそのようなベクトル空間は基本アーベル群となる。有限生成アーベル群の構造定理により、あるいは任意のベクトル空間が基底を持つという事実から、任意の有限基本アーベル群は (Z/pZ)n（n はこの群の階数と呼ばれる非負整数）の形になることがわかる。ここに、Z/pZ は位数 p の巡回群（あるいは p を法とする整数の加法群）であり、上付き添字の n は n-重直積を表す。一般に（有限とは限らない）基本アーベル p-群は位数 p の巡回群の適当な個数の直和となる（因子が有限個の場合には直積と直和は同じものであるが、無限の場合にはそうでないことに注意） 以下有限群の場合について述べる。 (ja)
- -примарна (або -праймерна) абелева група (де — фіксоване просте число) — абелева група , така, що порядок будь-якого елемента з є степенем . (uk)
- -примарная абелева группа (где — фиксированное простое число) — абелева группа , такая что порядок любого элемента из является степенью . (ru)
- 在群論中，初等阿貝爾群是有限阿貝爾群，這里的所有非平凡元素都有 p 階而 p 是素數。 通過有限生成阿貝爾群的分類，所有初等阿貝爾群必定有如下形式 (Z/pZ)n 對于非負整數 n。這里的 Z/pZ 指示 p 階的循環群(或等價的整數模以 p)，而冪符號表示意味著 n 元笛卡爾積。 (zh)
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