| dbo:abstract
|
- في الرياضيات وبالتحديد في نظرية التمثيل،نظرية الأعداد الجبرية أو النظرية الجبرية للأعداد (بالإنجليزية: Algebraic number theory) هي أحد الفروع الرئيسية لنظرية الأعداد عندما تقوم بدراسة البنى الجبرية المرتبطة بالأعداد الصحيحة الجبرية. يتم هذا غالبا عن طريق اعتبار حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية O في حقل الأعداد الجبرية K/Q، وبدراسة خصائصها الجبرية كالتعميل وتصرف المثاليين وامتدادات الحقول. أي أنه محدود للأعداد المنطقة الكسرية Q. وبدراسة خواص هذه حقل الحلقات والحقول. ضمن هذه الشروط، لا تكون هناك حاجة للتمسك بالخواص المألوفة للأعداد الصحيحة (مثل: المبرهنة الأساسية في الحسابيات). تستخدم عدة تقنيات من: نظرية غالوا group cohomology والدوال اللامية. (ar)
- La teoria dels nombres algebraics és una branca de la teoria de nombres en què el concepte de nombre s'estén al de nombres algebraics, que són les arrels dels polinomis no nuls amb coeficients racionals. El procediment consisteix a considerar un anell d'enters algebraics O en un cos de nombres algebraics K/Q, i estudiar les seves propietats algebraiques, com la factorització, el comportament dels ideals i les extensions de cossos. Amb aquesta estructura, pot succeir que les propietats familiars dels enters, com la factorització única, no siguin certes. L'avantatge de les eines desenvolupades originàriament (la teoria de Galois, la , les representacions de grups i les ) és que permet tractar amb nous fenòmens i, tot i així, recuperar part del comportament usual dels enters. (ca)
- Die algebraische Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie, die wiederum ein Teilgebiet der Mathematik ist. Die algebraische Zahlentheorie geht über die ganzen bzw. rationalen Zahlen hinaus und betrachtet algebraische Zahlkörper, das sind endliche Erweiterungen der rationalen Zahlen. Elemente von Zahlkörpern sind Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. Diese Zahlkörper enthalten den ganzen Zahlen analoge Teilmengen, die Ganzheitsringe. Ganzheitsringe sind Dedekindringe und verhalten sich in vieler Hinsicht wie der Ring der ganzen Zahlen, aber manche Eigenschaften nehmen eine etwas andere Form an. Beispielsweise gibt es im Allgemeinen keine eindeutige Zerlegung in Primzahlen mehr, sondern nur noch in Primideale. Die algebraische Zahlentheorie beschäftigt sich weiterhin mit dem Studium algebraischer Funktionenkörper über endlichen Körpern, deren Theorie weitgehend analog zur Theorie der Zahlkörper verläuft. Algebraische Zahl- und Funktionenkörper werden unter dem Namen „globale Körper“ zusammengefasst. Oftmals stellt es sich als fruchtbar heraus, Fragen „lokal“, also für jede Primstelle einzeln zu betrachten (Lokal-Global-Prinzip). Dieser Vorgang führt im Fall der ganzen Zahlen zu den p-adischen Zahlen, allgemeiner zu lokalen Körpern. (de)
- Algebraic number theory is a branch of number theory that uses the techniques of abstract algebra to study the integers, rational numbers, and their generalizations. Number-theoretic questions are expressed in terms of properties of algebraic objects such as algebraic number fields and their rings of integers, finite fields, and function fields. These properties, such as whether a ring admits unique factorization, the behavior of ideals, and the Galois groups of fields, can resolve questions of primary importance in number theory, like the existence of solutions to Diophantine equations. (en)
- Η Αλγεβρική θεωρία αριθμών αποτελεί ένα σημαντικό τομέα της θεωρίας αριθμών που μελετάει αλγεβρικές δομές, οι οποίες σχετίζονται με αλγεβρικούς ακέραιους αριθμούς. Αυτό επιτυγχάνεται θεωρώντας έναν δακτύλιο αλγεβρικών ακεραίων O πάνω σε ένα αλγεβρικό αριθμητικό σώμα K/Q και μελετώντας αλγεβρικές ιδιότητες όπως παραγοντοποίηση, την συμπεριφορά ιδεωδών και την επέκταση σωμάτων. Σε αυτές τις περιπτώσεις, ορισμένες ιδιότητες και χαρακτηριστικά των ακεραίων - όπως η - δεν ισχύουν απαραίτητα. Η εφαρμογή διάφορων θεωριών και μαθηματικών εργαλείων όπως θεωρία Γκαλουά, , και επιτρέπουν την αντιμετώπιση νέων προβλημάτων, φαινομένων και εν μέρει την αποκατάσταση της συμπεριφοράς των ακεραίων αριθμών. (el)
- Zenbaki aljebraikoen teoria zenbakien teoriaren adar bat da, non zenbaki kontzeptua zenbaki aljebraikoetara zabaltzen den; hau da, koefiziente arrazionalak dituzten polinomioen erroak dira. Zenbaki aljebraikoen eremua zenbaki arrazionalaren eremuaren luzapen finitua (aljebraikoa) da. Zenbaki aljebraikoen eremu bateko zenbaki osoen eraztuna eremu horretako zenbaki osoen multzoa da; hau da, koefiziente osoak dituzten polinomioen erroak diren elementuek osatzen duten eremuaren azpimultzoa. Zenbaki aljebraikoen eremua zenbaki arrazionalen analogo gisa ikus eta trata daiteke, eta bere zenbaki osoen eraztuna, osoen analogo gisa. Baina analogia ez da perfektua, arrazionalen eta zenbaki osoen propietate ezagun batzuek ez dira mantentzen, adibidez, faktorizazio bakarra. (Idealen teoriak, neurri batean, faktorizazio berezirik eza osatzen du). Zenbaki aljebraikoen eremuei, baita funtzio eremuei ere, eremu global deitzen zaie. Teoriaren zati handi bat bi objektu motetarako garatu daiteke, paraleloki. Lokalizazioa eremu global batetik tokiko eremu batera igarotzean datza; funtzio-eremuen kasuan, prozedura hori aztergai dugun gainazaleko edo anizkoitzetako puntu jakin bat aztertzean datza, eta haien inguruko funtzioek, nola jokatzen duten aztertzean. (eu)
- La teoría de números algebraicos o teoría algebraica de números es una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos, los cuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales. Un campo de números algebraico es una extensión finita (algebraica) del campo de los números racionales. El anillo de enteros de un campo de números algebraico es el conjunto de los enteros en dicho campo, es decir, el subconjunto del campo que consta de los elementos que son raíces de polinomios con coeficientes enteros. Se puede ver, y tratar, a un campo de números algebraico como un análogo de los racionales, y a su anillo de enteros como un análogo de los enteros. Ahora bien, la analogía no es perfecta: algunas de las propiedades familiares de los racionales y los enteros no se conservan, por ejemplo, la factorización única. (La teoría de ideales suple en parte la falta de factorización única.) Los campos de números algebraicos, así como los campos de funciones, son llamados . Gran parte de la teoría se puede desarrollar de manera paralela para ambos tipos de objetos. La localización consiste en el pasaje de un campo global a un campo local: en el caso de los campos de funciones, este procedimiento consiste simplemente en dirigir la mirada a un punto en particular de la superficie o variedad estudiada, y concentrarse en cómo las funciones se comportan en su vecindad inmediata. (es)
- Teori bilangan aljabar adalah cabang dari teori bilangan yang menggunakan teknik aljabar abstrak untuk mempelajari bilangan bulat, bilangan rasional, dan generalisasinya. Soal-soal berteori bilangan dinyatakan dalam properti objek aljabar seperti dan , , dan Fungsi aljabar. Properti ini, seperti apakah gelanggang mengakui faktorisasi unik, perilaku ideal, dan dari bidang, dapat menyelesaikan pertanyaan yang sangat penting dalam teori bilangan, seperti keberadaan solusi untuk . (in)
- En mathématiques, la théorie algébrique des nombres est la branche de la théorie des nombres utilisant des outils issus de l'algèbre. Son origine est l'étude des nombres entiers et particulièrement les équations diophantiennes. Pour en résoudre certaines, il est utile de considérer d'autres entiers, dits algébriques. Un exemple est donné par le théorème des deux carrés de Fermat utilisant les entiers de Gauss. Ces ensembles sont équipés de deux lois — une addition et une multiplication — qui vérifient les mêmes propriétés élémentaires que les entiers relatifs : on parle d'anneaux. En particulier, certains d'entre eux disposent d'une division euclidienne. Les résultats classiques de l'arithmétique des entiers naturels s'appliquent encore : lemme d'Euclide, identité de Bézout ou encore théorème fondamental de l'arithmétique. Une structure est particulièrement utilisée, celle de l'anneau quotient ℤ/nℤ composée de congruences sur les entiers. Elle est à l'origine d'une branche de la théorie algébrique des nombres : l'arithmétique modulaire. Tous les ensembles de cette nature n'admettent pas une division euclidienne. Il existe parfois plusieurs décompositions en facteurs premiers. Cette spécificité amène à étudier de manière générale les propriétés de ces structures. Si l'ensemble choisi n'est pas trop vaste, c'est-à-dire qu'il existe un entier n tel que tout élément de l'ensemble est racine d'un polynôme dont le degré ne dépasse pas n, il existe une famille de propriétés toujours vérifiées. De telles structures sont appelées anneaux de Dedekind.[pas clair] L'étude de ces structures est appelée « théorie algébrique classique des nombres ». Une autre structure est utile, elle correspond au plus petit ensemble contenant celui des entiers algébriques considérés tel que tous les éléments non nuls admettent un inverse pour la multiplication. La structure porte le nom de corps commutatif, il s'obtient par une démarche de la même nature que celle qui permet de construire les nombres rationnels, on parle de corps des fractions. Ces ensembles dont les éléments sont appelés nombres algébriques sont l'objet d'une théorie dite de Galois. Des théories mathématiques avancées – comme la cohomologie galoisienne, la théorie des corps de classes, la théorie des représentations d'un groupe fini et les fonctions L – permettent d'étudier les propriétés fines de ces classes de nombres. De nombreuses questions en théorie des nombres sont étudiées modulo p pour tous les nombres premiers p (voir les corps finis). Ce procédé est appelé localisation et conduit à la construction des nombres p-adiques ; l'étude des corps locaux emploie les mêmes techniques que celle décrite précédemment des corps de nombres. Elle est même en fait beaucoup plus simple, et les résultats sur les corps de nombres sont souvent déduits de ceux sur les corps locaux : c'est le principe local-global. (fr)
- La teoria algebrica dei numeri è una branca della teoria dei numeri che usa le tecniche dell'algebra astratta per studiare gli interi, i razionali e le loro generalizzazioni. In questo modo, i problemi teorici sui numeri possono essere espressi in termini di proprietà di oggetti algebrici come i campi algebrici di numeri e i loro anelli di interi, i campi finiti, e il campo delle funzioni. Queste proprietà, come se un anello ammetta fattorizzazione unica, il comportamento degli ideali e i gruppi di Galois dei campi, possono risolvere problemi di primaria importanza nella teoria dei numeri, come l'esistenza di soluzioni delle equazioni diofantee. (it)
- 대수적 (정)수론(代數的(整)數論, 영어: algebraic number theory)은 수론의 한 분야로, 대수적 수(유리 계수 다항식의 근)의 성질을 다룬다. 유리수체의 유한 확대를 대수적 수체라고 하는데, 마치 유리수에 정수가 들어있는 것과 사실상 마찬가지로, 대수적 수체에는 대수적 정수가 들어있다. 단, 정수에서 성립하는 유일 인수 분해와 같은 성질들이 대수적 정수에 대해서도 언제나 성립하는 것은 아니다. (ko)
- 代数的整数論（だいすうてきせいすうろん、英: algebraic number theory）は数論の一分野であり、抽象代数学の手法を用いて、整数や有理数、およびそれらの一般化を研究する。数論的な問題は、代数体やその整数環、有限体、関数体のような代数的対象の性質のことばで記述される。これらの性質は、例えば環において一意分解が成り立つかとか、イデアルの性質、体のガロワ群などであるが、ディオファントス方程式の解の存在のような、数論において極めて重要な問題を解決することができる。 (ja)
- In de wiskunde is de algebraïsche getaltheorie een belangrijke tak van de getaltheorie, die algebraïsche structuren bestudeert, die in verband staan met de algebraïsche gehele getallen. Over het algemeen beschouwt men in de algebraïsche getaltheorie ringen van algebraïsche gehele getallen in een algebraïsch getallenlichaam (dat wil zeggen een eindige uitbreiding van de rationale getallen ), en door de eigenschappen van deze ringen en velden (bijvoorbeeld factorisatie, idealen, velduitbreidingen) te bestuderen. In deze context hoeven de bekende eigenschappen van gehele getallen (bijvoorbeeld unieke factorisatie) niet meer op de gaan. De verdienste van de gebruikte theorieën - Galoistheorie, , groepsrepresentatie en L-functies - is dat gebruik ervan het mogelijk maakt voor deze nieuwe klasse van gehele getallen de orde gedeeltelijk te herstellen. (nl)
- Teoria algébrica dos números é um ramo da teoria dos números em que o conceito de número é expandido para o de número algébrico, que são raízes de polinômios com coeficientes racionais. Um corpo de números algébricos é uma extensão de corpo finita (e por isso algébrica) dos números racionais. Estes domínios contêm elementos análogos aos inteiros, os chamados . Nesta conformação, as propriedades familiares aos inteiros (e.g. fatoração única) não necessitam valer. A virtude da maquinaria empregada — teoria de Galois, , teoria dos corpos de classes, representação de grupo e — é que ela permite recobrar parcialmente tal ordem para essa nova classe de números. Muitas questões em teoria de números são melhor atacadas estudando-as modulo p para todos os primos p (veja-se: corpos finitos). Isto é chamado localização e leva à construção dos números p-ádicos. Este campo de estudo é chamado e emerge da teoria algébrica de números. (pt)
- Algebraiczna teoria liczb – gałąź matematyki zajmująca się badaniem uogólnień pojęcia liczb wymiernych – liczbami algebraicznymi i ciałami liczbowymi. (pl)
- Algebraisk talteori är en gren inom talteorin där talområdet utvidgas till att också omfatta algebraiska tal, vilka är nollställen till polynom med koefficienter som är heltal. Denna mängd innehåller element som är analoga med heltal och som kallas algebraiska heltal. För dessa behöver inte välbekanta egenskaper, som till exempel unik faktorisering, längre gälla. De verktyg som används - galoisteori, , , och L-funktioner - ger dessa talområden en partiell ordningsstruktur. Ett stort antal teoretiska frågeställningar behandlas genom att studera heltalen modulo p för alla primtal p i ändliga kroppar. Detta kallas och leder fram till konstruktionen av p-adiska tal. Denna typ av studier, som uppstått ur algebraisk talteori, kallas . (sv)
- Алгебраическая теория чисел — раздел теории чисел, основная задача которого — изучение свойств целых элементов числовых полей. В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть единственности разложения на простые множители. Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению диофантовых уравнений и в том числе попыткам доказать великую теорему Ферма. Куммеру принадлежит равенство , где — корни степени из единицы. Таким образом Куммер определил новые целые числа вида . Позднее Лиувилль показал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени , то к нему нельзя подойти ближе чем на , приближаясь дробями вида , где и — целые взаимно простые числа. После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими. Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как , теорию Галуа, теорию полей классов, дзета- и L-функции Дирихле, и многое другое. Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p-адических чисел). (ru)
- Алгебраїчна теорія чисел — це розділ теорії чисел, який використовує методи абстрактної алгебри для вивчення цілих й раціональних чисел та їх узагальнень.Теоретико-числові питання виражаються в термінах властивостей алгебраїчних об'єктів, таких як алгебраїчні числові поля та кільця цілих чисел, скінченні поля та . Ці властивості, такі як єдиність факторизації кільця, поведінка ідеалів, групи Галуа полів, дають можливість розв'язати найважливі питання в теорії чисел, наприклад, існування розв'язків діофантових рівнянь. (uk)
- 在數學中，代數數論是數論的一支，其中我們將「數」的概念延伸，以解決具體的數論問題。我們在代數數論中考慮代數數，這類數是有理係數多項式的根。與此相關的概念是數域，這是有理數域的有限擴張。在此框架下能推廣整數為代數整數，並研究一個數域裡的代數整數。 代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理），這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙，然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數整數的性質——包括伽羅瓦理論、伽羅瓦上同調、類域論、表示理論與L-函數的相關理論等等。 數論中的許多問題可藉由「模 p」（其中 p 為素數）來研究。這套技術導向p進數的建構，而p進數是局部域的例子；局部域的研究運用了一些研究數域時的相同方法，但是通常更容易處理。一般數域上的陳述常與各個局部域上的相應陳述有關，例如哈瑟原理：「一個有理係數二次方程在有理數域上有解，若且唯若它在實數上及在每個素數 p 之 p進數域上有解」。這類結果往往被稱作局部-整體原理，其中「局部」意指局部域，而「整體」意指數域。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- La teoria dels nombres algebraics és una branca de la teoria de nombres en què el concepte de nombre s'estén al de nombres algebraics, que són les arrels dels polinomis no nuls amb coeficients racionals. El procediment consisteix a considerar un anell d'enters algebraics O en un cos de nombres algebraics K/Q, i estudiar les seves propietats algebraiques, com la factorització, el comportament dels ideals i les extensions de cossos. Amb aquesta estructura, pot succeir que les propietats familiars dels enters, com la factorització única, no siguin certes. L'avantatge de les eines desenvolupades originàriament (la teoria de Galois, la , les representacions de grups i les ) és que permet tractar amb nous fenòmens i, tot i així, recuperar part del comportament usual dels enters. (ca)
- Algebraic number theory is a branch of number theory that uses the techniques of abstract algebra to study the integers, rational numbers, and their generalizations. Number-theoretic questions are expressed in terms of properties of algebraic objects such as algebraic number fields and their rings of integers, finite fields, and function fields. These properties, such as whether a ring admits unique factorization, the behavior of ideals, and the Galois groups of fields, can resolve questions of primary importance in number theory, like the existence of solutions to Diophantine equations. (en)
- Η Αλγεβρική θεωρία αριθμών αποτελεί ένα σημαντικό τομέα της θεωρίας αριθμών που μελετάει αλγεβρικές δομές, οι οποίες σχετίζονται με αλγεβρικούς ακέραιους αριθμούς. Αυτό επιτυγχάνεται θεωρώντας έναν δακτύλιο αλγεβρικών ακεραίων O πάνω σε ένα αλγεβρικό αριθμητικό σώμα K/Q και μελετώντας αλγεβρικές ιδιότητες όπως παραγοντοποίηση, την συμπεριφορά ιδεωδών και την επέκταση σωμάτων. Σε αυτές τις περιπτώσεις, ορισμένες ιδιότητες και χαρακτηριστικά των ακεραίων - όπως η - δεν ισχύουν απαραίτητα. Η εφαρμογή διάφορων θεωριών και μαθηματικών εργαλείων όπως θεωρία Γκαλουά, , και επιτρέπουν την αντιμετώπιση νέων προβλημάτων, φαινομένων και εν μέρει την αποκατάσταση της συμπεριφοράς των ακεραίων αριθμών. (el)
- Teori bilangan aljabar adalah cabang dari teori bilangan yang menggunakan teknik aljabar abstrak untuk mempelajari bilangan bulat, bilangan rasional, dan generalisasinya. Soal-soal berteori bilangan dinyatakan dalam properti objek aljabar seperti dan , , dan Fungsi aljabar. Properti ini, seperti apakah gelanggang mengakui faktorisasi unik, perilaku ideal, dan dari bidang, dapat menyelesaikan pertanyaan yang sangat penting dalam teori bilangan, seperti keberadaan solusi untuk . (in)
- La teoria algebrica dei numeri è una branca della teoria dei numeri che usa le tecniche dell'algebra astratta per studiare gli interi, i razionali e le loro generalizzazioni. In questo modo, i problemi teorici sui numeri possono essere espressi in termini di proprietà di oggetti algebrici come i campi algebrici di numeri e i loro anelli di interi, i campi finiti, e il campo delle funzioni. Queste proprietà, come se un anello ammetta fattorizzazione unica, il comportamento degli ideali e i gruppi di Galois dei campi, possono risolvere problemi di primaria importanza nella teoria dei numeri, come l'esistenza di soluzioni delle equazioni diofantee. (it)
- 대수적 (정)수론(代數的(整)數論, 영어: algebraic number theory)은 수론의 한 분야로, 대수적 수(유리 계수 다항식의 근)의 성질을 다룬다. 유리수체의 유한 확대를 대수적 수체라고 하는데, 마치 유리수에 정수가 들어있는 것과 사실상 마찬가지로, 대수적 수체에는 대수적 정수가 들어있다. 단, 정수에서 성립하는 유일 인수 분해와 같은 성질들이 대수적 정수에 대해서도 언제나 성립하는 것은 아니다. (ko)
- 代数的整数論（だいすうてきせいすうろん、英: algebraic number theory）は数論の一分野であり、抽象代数学の手法を用いて、整数や有理数、およびそれらの一般化を研究する。数論的な問題は、代数体やその整数環、有限体、関数体のような代数的対象の性質のことばで記述される。これらの性質は、例えば環において一意分解が成り立つかとか、イデアルの性質、体のガロワ群などであるが、ディオファントス方程式の解の存在のような、数論において極めて重要な問題を解決することができる。 (ja)
- Algebraiczna teoria liczb – gałąź matematyki zajmująca się badaniem uogólnień pojęcia liczb wymiernych – liczbami algebraicznymi i ciałami liczbowymi. (pl)
- Алгебраїчна теорія чисел — це розділ теорії чисел, який використовує методи абстрактної алгебри для вивчення цілих й раціональних чисел та їх узагальнень.Теоретико-числові питання виражаються в термінах властивостей алгебраїчних об'єктів, таких як алгебраїчні числові поля та кільця цілих чисел, скінченні поля та . Ці властивості, такі як єдиність факторизації кільця, поведінка ідеалів, групи Галуа полів, дають можливість розв'язати найважливі питання в теорії чисел, наприклад, існування розв'язків діофантових рівнянь. (uk)
- 在數學中，代數數論是數論的一支，其中我們將「數」的概念延伸，以解決具體的數論問題。我們在代數數論中考慮代數數，這類數是有理係數多項式的根。與此相關的概念是數域，這是有理數域的有限擴張。在此框架下能推廣整數為代數整數，並研究一個數域裡的代數整數。 代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理），這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙，然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數整數的性質——包括伽羅瓦理論、伽羅瓦上同調、類域論、表示理論與L-函數的相關理論等等。 數論中的許多問題可藉由「模 p」（其中 p 為素數）來研究。這套技術導向p進數的建構，而p進數是局部域的例子；局部域的研究運用了一些研究數域時的相同方法，但是通常更容易處理。一般數域上的陳述常與各個局部域上的相應陳述有關，例如哈瑟原理：「一個有理係數二次方程在有理數域上有解，若且唯若它在實數上及在每個素數 p 之 p進數域上有解」。這類結果往往被稱作局部-整體原理，其中「局部」意指局部域，而「整體」意指數域。 (zh)
- في الرياضيات وبالتحديد في نظرية التمثيل،نظرية الأعداد الجبرية أو النظرية الجبرية للأعداد (بالإنجليزية: Algebraic number theory) هي أحد الفروع الرئيسية لنظرية الأعداد عندما تقوم بدراسة البنى الجبرية المرتبطة بالأعداد الصحيحة الجبرية. يتم هذا غالبا عن طريق اعتبار حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية O في حقل الأعداد الجبرية K/Q، وبدراسة خصائصها الجبرية كالتعميل وتصرف المثاليين وامتدادات الحقول. (ar)
- Die algebraische Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie, die wiederum ein Teilgebiet der Mathematik ist. Die algebraische Zahlentheorie geht über die ganzen bzw. rationalen Zahlen hinaus und betrachtet algebraische Zahlkörper, das sind endliche Erweiterungen der rationalen Zahlen. Elemente von Zahlkörpern sind Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. Diese Zahlkörper enthalten den ganzen Zahlen analoge Teilmengen, die Ganzheitsringe. Ganzheitsringe sind Dedekindringe und verhalten sich in vieler Hinsicht wie der Ring der ganzen Zahlen, aber manche Eigenschaften nehmen eine etwas andere Form an. Beispielsweise gibt es im Allgemeinen keine eindeutige Zerlegung in Primzahlen mehr, sondern nur noch in Primideale. (de)
- La teoría de números algebraicos o teoría algebraica de números es una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos, los cuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales. Un campo de números algebraico es una extensión finita (algebraica) del campo de los números racionales. El anillo de enteros de un campo de números algebraico es el conjunto de los enteros en dicho campo, es decir, el subconjunto del campo que consta de los elementos que son raíces de polinomios con coeficientes enteros. (es)
- Zenbaki aljebraikoen teoria zenbakien teoriaren adar bat da, non zenbaki kontzeptua zenbaki aljebraikoetara zabaltzen den; hau da, koefiziente arrazionalak dituzten polinomioen erroak dira. Zenbaki aljebraikoen eremua zenbaki arrazionalaren eremuaren luzapen finitua (aljebraikoa) da. Zenbaki aljebraikoen eremu bateko zenbaki osoen eraztuna eremu horretako zenbaki osoen multzoa da; hau da, koefiziente osoak dituzten polinomioen erroak diren elementuek osatzen duten eremuaren azpimultzoa. (eu)
- En mathématiques, la théorie algébrique des nombres est la branche de la théorie des nombres utilisant des outils issus de l'algèbre. Son origine est l'étude des nombres entiers et particulièrement les équations diophantiennes. Pour en résoudre certaines, il est utile de considérer d'autres entiers, dits algébriques. Un exemple est donné par le théorème des deux carrés de Fermat utilisant les entiers de Gauss. (fr)
- In de wiskunde is de algebraïsche getaltheorie een belangrijke tak van de getaltheorie, die algebraïsche structuren bestudeert, die in verband staan met de algebraïsche gehele getallen. Over het algemeen beschouwt men in de algebraïsche getaltheorie ringen van algebraïsche gehele getallen in een algebraïsch getallenlichaam (dat wil zeggen een eindige uitbreiding van de rationale getallen ), en door de eigenschappen van deze ringen en velden (bijvoorbeeld factorisatie, idealen, velduitbreidingen) te bestuderen. In deze context hoeven de bekende eigenschappen van gehele getallen (bijvoorbeeld unieke factorisatie) niet meer op de gaan. De verdienste van de gebruikte theorieën - Galoistheorie, , groepsrepresentatie en L-functies - is dat gebruik ervan het mogelijk maakt voor deze nieuwe klas (nl)
- Algebraisk talteori är en gren inom talteorin där talområdet utvidgas till att också omfatta algebraiska tal, vilka är nollställen till polynom med koefficienter som är heltal. Denna mängd innehåller element som är analoga med heltal och som kallas algebraiska heltal. För dessa behöver inte välbekanta egenskaper, som till exempel unik faktorisering, längre gälla. De verktyg som används - galoisteori, , , och L-funktioner - ger dessa talområden en partiell ordningsstruktur. (sv)
- Алгебраическая теория чисел — раздел теории чисел, основная задача которого — изучение свойств целых элементов числовых полей. В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть единственности разложения на простые множители. (ru)
- Teoria algébrica dos números é um ramo da teoria dos números em que o conceito de número é expandido para o de número algébrico, que são raízes de polinômios com coeficientes racionais. Um corpo de números algébricos é uma extensão de corpo finita (e por isso algébrica) dos números racionais. Estes domínios contêm elementos análogos aos inteiros, os chamados . Nesta conformação, as propriedades familiares aos inteiros (e.g. fatoração única) não necessitam valer. A virtude da maquinaria empregada — teoria de Galois, , teoria dos corpos de classes, representação de grupo e — é que ela permite recobrar parcialmente tal ordem para essa nova classe de números. (pt)
|
