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- Der einer einer besagt, dass es eine Basis des -Vektorraums gibt, die sich als Bahn eines geeigneten Elementes unter der Operation der Galois-Gruppe ergibt. Ein solches Element heißt erzeugendes oder freies Element der Galois-Erweiterung , seine Bahn eine Normalbasis von . In der Sprache der Darstellungstheorie endlicher Gruppen formuliert liefert der Satz von der Existenz einer Normalbasis die Erkenntnis, dass die natürliche Darstellung , die durch die Operation von auf gegeben ist, äquivalent (isomorph) zur regulären Darstellung von ist, mit anderen Worten: und sind als -Linksmoduln isomorph. So liefert Zyklizität von diejenige von , also ein Element , dessen Bahn eine -Basis ist. Für zyklische Erweiterungen erscheint dieser Satz als eine Anwendung der Klassifikation endlich erzeugter Torsionsmoduln über Hauptidealringen (Elementarteilersatz). ist also insbesondere für endliche Körper und zyklische Kummer-Erweiterungen fruchtbar. Zugleich wird deutlich, dass weitere Existenzsätze – nämlich der Satz von der Existenz einer Primitivwurzel modulo einer Primzahl und allgemeiner der Satz über die Zyklizität endlicher Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers – folgen: Im einen Fall geht es um den Nachweis, dass ein Torsionsmodul über den ganzen Zahlen (nämlich eine endliche abelsche Gruppe) zyklisch ist, im anderen Falle um den Nachweis, dass ein Torsionsmodul über zyklisch ist. Kriterium für Zyklizität ist, dass Annullator und charakteristischer Divisor übereinstimmen. Für unendliche Körper gab Emil Artin einen , der auf der Betrachtung der Determinante eines Matrizenpolynoms beruht: Setzt man für die Unbestimmte ein primitives Element der Galoiserweiterung ein, so geht die zugehörige Matrix über in die Permutationsmatrix, mit welcher die Inversion die Elemente von permutiert. Da das Polynom folglich nicht identisch verschwindet, muss es auch über dem unendlichen Grundkörper Stellen geben, an denen es nicht verschwindet, so dass die zugehörige Matrix regulär ist. Für den Existenzbeweis im zyklischen Falle spielt der Unabhängigkeitssatz von Dedekind eine Schlüsselrolle, dessen Aussage deshalb im Rahmen der zum Beweis für den zyklischen Fall spezifiziert wird. Zugleich vermag der Unabhängigkeitssatz für Elemente ein Matrixkriterium dafür zu liefern, wann ihre Bahnen Normalbasen sind: Dies wird im beleuchtet und später im Existenzbeweis genutzt. Es ist jedoch auch möglich, den Satz über die Existenz einer Normalbasis auf die Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Krull-Remak-Schmidt zurückzuführen. Diese Beweisführung beruht ebenfalls auf dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind und lässt die Mächtigkeit des Grundkörpers unberücksichtigt. Mit Hilfe einer Normalbasis lässt sich – Zwischenkörpern der Galois-Erweiterung – leicht beschreiben. Im Zuge der Untersuchungen zur Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung und der Kreisteilungskörper geschah dies schon in der klassischen algebraischen Zahlentheorie, wie im Zahlbericht David Hilberts (1897) nachzulesen ist: In diesen Zusammenhang gehören die Lagrangesche Resolvente und die , die den mathematischen Hintergrund bei der Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks darstellen. Die Existenz einer Normalbasis erlaubt für die Kryptographie auf elliptischen Kurven eine nützliche Anwendung, um den Rechenaufwand zu optimieren. (de)
- In mathematics, specifically the algebraic theory of fields, a normal basis is a special kind of basis for Galois extensions of finite degree, characterised as forming a single orbit for the Galois group. The normal basis theorem states that any finite Galois extension of fields has a normal basis. In algebraic number theory, the study of the more refined question of the existence of a normal integral basis is part of Galois module theory. (en)
- En mathématiques, le théorème de la base normale s'inscrit dans la théorie de Galois. Il garantit que si L / K est une extension finie galoisienne de corps commutatifs, de groupe de Galois G, alors il existe un élément x de L dont l'orbite Gx est une base du K-espace vectoriel L. Autrement dit : la représentation naturelle de G sur L est équivalente à la représentation régulière. (fr)
- 数学の体論における正規基底（せいききてい、英: normal basis）とは、有限次ガロア拡大に対するある特別な種類の基底で、ガロア群に対する単一の軌道を形成するものとして特徴づけられる。正規基底定理（normal basis theorem）では、任意の体の有限ガロア拡大には正規基底が存在することが述べられている。代数的数論においては、正規整基底の存在に関するより精練された問題の研究が、ガロア加群の理論の一部分を占めている。 有限体の場合、このことは基底の各元が他のどの元ともp-乗フロベニウス写像(Frobenius endomorphism)を繰り返し作用させることで結びつけられることを意味する。ここで p は考えている体の標数である。pm 個の元を持つ体を GF(pm) とし、その元 β は m 個の元 が線型独立となるものとすれば、この集合は GF(p) 上で GF(pm) の正規基底を成す。 (ja)
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- In mathematics, specifically the algebraic theory of fields, a normal basis is a special kind of basis for Galois extensions of finite degree, characterised as forming a single orbit for the Galois group. The normal basis theorem states that any finite Galois extension of fields has a normal basis. In algebraic number theory, the study of the more refined question of the existence of a normal integral basis is part of Galois module theory. (en)
- En mathématiques, le théorème de la base normale s'inscrit dans la théorie de Galois. Il garantit que si L / K est une extension finie galoisienne de corps commutatifs, de groupe de Galois G, alors il existe un élément x de L dont l'orbite Gx est une base du K-espace vectoriel L. Autrement dit : la représentation naturelle de G sur L est équivalente à la représentation régulière. (fr)
- 数学の体論における正規基底（せいききてい、英: normal basis）とは、有限次ガロア拡大に対するある特別な種類の基底で、ガロア群に対する単一の軌道を形成するものとして特徴づけられる。正規基底定理（normal basis theorem）では、任意の体の有限ガロア拡大には正規基底が存在することが述べられている。代数的数論においては、正規整基底の存在に関するより精練された問題の研究が、ガロア加群の理論の一部分を占めている。 有限体の場合、このことは基底の各元が他のどの元ともp-乗フロベニウス写像(Frobenius endomorphism)を繰り返し作用させることで結びつけられることを意味する。ここで p は考えている体の標数である。pm 個の元を持つ体を GF(pm) とし、その元 β は m 個の元 が線型独立となるものとすれば、この集合は GF(p) 上で GF(pm) の正規基底を成す。 (ja)
- Der einer einer besagt, dass es eine Basis des -Vektorraums gibt, die sich als Bahn eines geeigneten Elementes unter der Operation der Galois-Gruppe ergibt. Ein solches Element heißt erzeugendes oder freies Element der Galois-Erweiterung , seine Bahn eine Normalbasis von . Es ist jedoch auch möglich, den Satz über die Existenz einer Normalbasis auf die Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Krull-Remak-Schmidt zurückzuführen. Diese Beweisführung beruht ebenfalls auf dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind und lässt die Mächtigkeit des Grundkörpers unberücksichtigt. (de)
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