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- في الرياضيات، الانعدام أو التلاشي أو التّدَهْوُرُ أو الحَالَةُ المُنعدِمةُ (بالإنجليزية: Degeneracy) هو تغير مفهوم أو خاصيَّة من حالة إلى حالةٍ نهائيةٍ تكون في الغالبِ أبْسَطُ من حالتها الأصليةِ. كما يستخدم مصطلح التدهور في دراسة مسائل القيمة الذاتية ، حيث القيمة الذاتية المتدهورة هي التي لها أكثر من شعاع ذاتي. (ar)
- En matematiko, degenera okazo estas limiganta okazo en kiu klaso de objekto ŝanĝiĝas respektive al la normala klaso. La klaso en degenera okazo estas kutime pli simpla ol la normala.
* Punkto estas degenera cirklo, tiu kun radiuso 0. La cirklo estas degenera elipso, tiu kun discentreco 0.
* Rekto estas degenera parabolo se la (parabolo (matematiko), parabolo) rezidas sur .
* Hiperbolo (matematiko) povas degeneri enen du liniojn krucanta je punkto, tra familio de hiperboloj havantaj ĉi tiujn liniojn kiel komunaj asimptotoj.
* Aro enhavanta solan punkton estas degenera .
* Degenera ajgeno estas tiu kiu havas pli ol unu lineare sendependan ajgenvektoron.
* Degenera triangulo estas tiu ĉe kiu ĉiuj tri verticoj kuŝas en unu rekto. (eo)
- In mathematics, a degenerate case is a limiting case of a class of objects which appears to be qualitatively different from (and usually simpler than) the rest of the class, and the term degeneracy is the condition of being a degenerate case. The definitions of many classes of composite or structured objects often implicitly include inequalities. For example, the angles and the side lengths of a triangle are supposed to be positive. The limiting cases, where one or several of these inequalities become equalities, are degeneracies. In the case of triangles, one has a degenerate triangle if at least one side length or angle is zero. Equivalently, it becomes a "line segment". Often, the degenerate cases are the exceptional cases where changes to the usual dimension or the cardinality of the object (or of some part of it) occur. For example, a triangle is an object of dimension two, and a degenerate triangle is contained in a line, which makes its dimension one. This is similar to the case of a circle, whose dimension shrinks from two to zero as it degenerates into a point. As another example, the solution set of a system of equations that depends on parameters generally has a fixed cardinality and dimension, but cardinality and/or dimension may be different for some exceptional values, called degenerate cases. In such a degenerate case, the solution set is said to be degenerate. For some classes of composite objects, the degenerate cases depend on the properties that are specifically studied. In particular, the class of objects may often be defined or characterized by systems of equations. In most scenarios, a given class of objects may be defined by several different systems of equations, and these different systems of equations may lead to different degenerate cases, while characterizing the same non-degenerate cases. This may be the reason for which there is no general definition of degeneracy, despite the fact that the concept is widely used and defined (if needed) in each specific situation. A degenerate case thus has special features which makes it non-generic or special cases. However, not all non-generic or special cases are degenerate. For example, right triangles, isosceles triangles and equilateral triangles are non-generic and non-degenerate. In fact, degenerate cases often correspond to singularities, either in the object or in some configuration space. For example, a conic section is degenerate if and only if it has singular points (e.g., point, line, intersecting lines). (en)
- En matemáticas, un caso degenerado es un caso límite en el cual una clase de objeto cambia su naturaleza para aproximarse mucho a un objeto de otra clase, normalmente, más simple. Un caso degenerado, por tanto, tiene unas características especiales, que se apartan de las propiedades genéricas de la categoría más amplia y que, bajo una pequeña perturbación, podrían perderse.
* Un punto es un círculo degenerado, en el que el radio tiende a cero.
* Un círculo es la forma degenerada de una elipse en la que la excentricidad tiende a cero.
* Una recta es una forma degenerada de una parábola, si la parábola está contenida en un plano tangente.
* Un segmento es una forma degenerada de un rectángulo si este tiene uno de los lados de longitud cero.
* Una hipérbola puede degenerar en dos rectas secantes en un punto, a través de una familia de hipérbolas que tienen rectas en común, las asíntotas.
* Un conjunto que contiene un punto síngular es un continuo degenerado. Por ejemplo {(x,y)/ xy = 1}.
* Una variable aleatoria que puede tomar un solo valor tiene una distribución degenerada.
* Una esfera es un toro canónico degenerado, donde el eje de revolución pasa por el centro del círculo generador y no fuera de él.
* Un triángulo degenerado tiene sus vértices colineales o coincidentes.
* Una recta es una forma degenerada de una elipse, cuando sus focos se alejan sin límite del centro.
* Análogamente los ceros de un polinomio se llaman degenerados si ellos coinciden, mientras generalmente que los ceros de un polinomio de grado n son diferentes.
* Un valor propio degenerado(cuando el polinomio característico tiene una raíz múltiple) es aquel que tiene más que un vector linealmente independiente.
* En mecánica cuántica cualquier caso de multiplicidad de los valores propios de los operadores hamiltonianos ocasiona niveles degenerados de energía. Normalmente, cualquier degeneración indica alguna yacente simetría en el sistema. (es)
- Dalam matematika, kasus degenerat adalah kasus ekstrem dari sebuah objek, sehingga objek pada kasus tersebut secara kualitatif terlihat berbeda (dan umumnya lebih sederhana) dari bentuk objek itu pada umumnya. Pendefinisian suatu objek atau gabungan beberapa objek seringkali secara implisit melibatkan suatu pertidaksamaan. Sebagai contoh, sudut dan panjang sisi dari sebuah segitiga seharusnya bernilai positif (atau lebih tepatnya, non-negatif). Kasus degenerat adalah kasus ketika pertidaksamaan melibatkan objek tersebut menjadi bentuk persamaan. Dalam kasus segitiga, kita dapat mendefinisikan segitiga degenerat sebagai segitiga dengan setidaknya satu sisi atau satu sudut bernilai sama dengan nol (setara dengan menyebut segitiga itu sebagai "segmen garis"). Sering kali, kasus degenerat adalah kasus khusus ketika dimensi atau kardinalitas dari suatu objek (atau bagian dari objek tersebut) berubah. Contohnya, segitiga adalah objek dimensi dua, sedangkan segitiga degenerat terletak pada suatu garis; yang menjadikannya dimensi satu. Ini mirip dengan kasus lingkaran, yang dimensinya mengecil dari dua menjadi satu ketika lingkaran menjadi bentuk degenerat: sebuah titik. Contoh lain adalah himpunan solusi dari sebuah sistem persamaan yang bergantung pada parameter, umumnya memiliki kardinalitas dan dimensi yang tetap; namun untuk beberapa nilai yang khusus, kardinalitas dan dimensi dari sistem dapat berubah. Pada kasus tersebut, himpunan solusinya dikatakan degenerat. (in)
- En mathématiques, un cas dégénéré peut consister en un objet dont la définition fait apparaître des éléments redondants ou superflus, se ramenant parfois à une définition plus simple. Il peut aussi être vu comme un cas particulier d'une construction générale, ne satisfaisant pas une certaine propriété générique, notamment si ces cas sont rares dans un sens topologique ou en théorie de la mesure. La dégénérescence se traduit souvent par l'apparition de valeurs nulles ou infinies dans les représentations analytique des objets traités, ce qui peut conduire à des situations d'indétermination (par exemple, le cercle est une ellipse dégénérée pour laquelle il est impossible de déterminer la direction de son grand axe). (fr)
- In geometria, il caso degenere è un caso limite in cui una caratteristica di un oggetto viene estremizzata fino a farlo coincidere ad un elemento di un'altra classe. Esemplificazioni possono esserne:
* Il triangolo degenere, con due angoli retti e terzo vertice all'infinito
* Nell'ellisse il cerchio come ellisse con due fuochi coincidenti, o eccentricità=0
* Il punto come cerchio con raggio=0
* Una forma bilineare definita su uno spazio di dimensione finita è degenere se la matrice che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice. (it)
- 数学において退化（たいか）しているという言葉は、ある種類の対象の性質が変わり、他の（ふつうはより単純な）種類の対象になっている場合に用いられる。
* 点は退化した円周、すなわち半径が0の円周とみなすことができる。正円は退化した楕円、すなわち離心率が0の楕円とみなすことができる。
* 線分は接平面の上に存在する退化した放物線とみなすことができる。
* 線分は長さ0の辺を持つ退化した長方形とみなすこともできる。
* 双曲線は、共通の漸近線を持つ双曲線の族を通じて、1点で交わる2つの直線に退化することができる。
* 1点からなる集合は連続体の退化したものとみなすことができる。
* ひとつの値だけをとることのできる確率変数は退化分布に従う。
* 行列の階数が列の数よりも少ない時を指す。行列Mが退化していない時、任意の列ベクトルVに対しW=VM，WN=Vを満たす行列Nが存在する。
* 退化形式 (ja)
- Een meetkundige figuur, zoals een driehoek, kegelsnede of ruimtefiguur, noemt men ontaard, als de figuur als "grensgeval" andere eigenschappen heeft dan de typische, gebruikelijke verschijning van de figuur. De ontaarde figuur behoort dan meestal tot een eenvoudiger soort figuren. (nl)
- Degeneration är i matematik egenskapen hos ett matematiskt objekt, att vara en förenkling av ett mer komplext objekt. (sv)
- Вырожденными называют математические объекты, обладающие принципиально более простой структурой и смыслом по сравнению с остальными объектами в своём классе, то есть такие, которые, даже будучи взятыми вместе, не дают полного представления о всём классе. Предельно простые объекты называют тривиальными. (ru)
- Em matemática, um caso degenerado é um caso limite no qual uma classe de objeto altera sua natureza para aproximar-se muito a um objeto de outra classe, normalmente, mais simples. Um caso degenerado, portanto, tem características especiais, que se afastam das propriedades genéricas da categoria mais ampla e que, sob uma pequena perturbação, poderiam ser perdidas.
* Um ponto é um círculo degenerado, no qual o raio tende a zero.
* Um círculo é forma degenerada de uma elipse na qual a excentricidade tende a zero.
* Uma reta é uma forma degenerada de uma parábola, se a parábola está contida em um plano tangente.
* Um segmento é uma forma degenerada de um retângulo se este tem um dos lados de comprimento zero.
* Uma hipérbole pode degenerar em duas retas secantes em um ponto, através de uma família de hipérboles que tem retas em comum, as assíntotas.
* Um conjunto que contém um ponto singular é um continuo degenerado. Por exemplo {(x,y)/ xy = 1}.
* Uma variável aleatória que pode tomar um só valor tem uma distribuição degenerada.
* Uma esfera é um toro canônico degenerado, onde o eixo de revolução passa pelo centro do círculo gerador e não fora dele.
* Um triângulo degenerado tem seus vértices colineares.
* Uma reta é uma forma degenerada de uma elipse , quando seus focos se afastam sem limite do centro.
* Analogamente os zeros de um polinômio se chamam degenerados se eles coincidem, embora geralmente os zeros de um polinômio de grau n sejam diferentes.
* Um valor próprio degenerado (quando o polinômio característico tem uma raiz múltipla) é aquela que tem mais que um vetor linearmente independente.
* Em mecânica quântica qualquer caso de multiplicidade dos valores próprios dos operadores hamiltonianos ocasiona níveis degenerados de energia. Normalmente, qualquer degeneração indica alguma simetria declinante no sistema. (pt)
- 在數學中，退化（Degeneracy）是指在一個限制的情況下，一個集合中的對象改變其性質並且屬於另一個集合，通常是變成比較簡單的集合，例如，一個三角形是一個平面集合的一個對象，但是若改變其性質將單一內角改為180度使其邊皆重合，則它就屬於線段集合的一個對象，且線段這個集合比平面還要簡單，因為它少一個維度，我們就會稱此多邊形退化了。 因此，退化的情況下，具有原來的性質 下面列出一些退化的例子:
* 點是退化的圓，因為一個圓若半徑為0就會成一個點
* 圓是退化的橢圓，因為它的離心率是0
* 線是退化的拋物線，因為拋物線在切空間中呈一直線
* 線段是退化的矩形，因為它有一邊長度為0
* 退化多邊形是多邊形退化的結果
* 實數和虚數可以視為複數的退化，因為实数就是虛數部為0的複數，虚数则是实部为零的复数。 (zh)
- Виродженими називають математичні об'єкти, які володіють принципово більш простою структурою і змістом у порівнянні з іншими об'єктами в своєму класі, тобто такі, які, навіть будучи взятими разом, не дають повного уявлення про весь клас. Гранично прості об'єкти називають тривіальними. (uk)
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- في الرياضيات، الانعدام أو التلاشي أو التّدَهْوُرُ أو الحَالَةُ المُنعدِمةُ (بالإنجليزية: Degeneracy) هو تغير مفهوم أو خاصيَّة من حالة إلى حالةٍ نهائيةٍ تكون في الغالبِ أبْسَطُ من حالتها الأصليةِ. كما يستخدم مصطلح التدهور في دراسة مسائل القيمة الذاتية ، حيث القيمة الذاتية المتدهورة هي التي لها أكثر من شعاع ذاتي. (ar)
- En matematiko, degenera okazo estas limiganta okazo en kiu klaso de objekto ŝanĝiĝas respektive al la normala klaso. La klaso en degenera okazo estas kutime pli simpla ol la normala.
* Punkto estas degenera cirklo, tiu kun radiuso 0. La cirklo estas degenera elipso, tiu kun discentreco 0.
* Rekto estas degenera parabolo se la (parabolo (matematiko), parabolo) rezidas sur .
* Hiperbolo (matematiko) povas degeneri enen du liniojn krucanta je punkto, tra familio de hiperboloj havantaj ĉi tiujn liniojn kiel komunaj asimptotoj.
* Aro enhavanta solan punkton estas degenera .
* Degenera ajgeno estas tiu kiu havas pli ol unu lineare sendependan ajgenvektoron.
* Degenera triangulo estas tiu ĉe kiu ĉiuj tri verticoj kuŝas en unu rekto. (eo)
- In geometria, il caso degenere è un caso limite in cui una caratteristica di un oggetto viene estremizzata fino a farlo coincidere ad un elemento di un'altra classe. Esemplificazioni possono esserne:
* Il triangolo degenere, con due angoli retti e terzo vertice all'infinito
* Nell'ellisse il cerchio come ellisse con due fuochi coincidenti, o eccentricità=0
* Il punto come cerchio con raggio=0
* Una forma bilineare definita su uno spazio di dimensione finita è degenere se la matrice che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice. (it)
- 数学において退化（たいか）しているという言葉は、ある種類の対象の性質が変わり、他の（ふつうはより単純な）種類の対象になっている場合に用いられる。
* 点は退化した円周、すなわち半径が0の円周とみなすことができる。正円は退化した楕円、すなわち離心率が0の楕円とみなすことができる。
* 線分は接平面の上に存在する退化した放物線とみなすことができる。
* 線分は長さ0の辺を持つ退化した長方形とみなすこともできる。
* 双曲線は、共通の漸近線を持つ双曲線の族を通じて、1点で交わる2つの直線に退化することができる。
* 1点からなる集合は連続体の退化したものとみなすことができる。
* ひとつの値だけをとることのできる確率変数は退化分布に従う。
* 行列の階数が列の数よりも少ない時を指す。行列Mが退化していない時、任意の列ベクトルVに対しW=VM，WN=Vを満たす行列Nが存在する。
* 退化形式 (ja)
- Een meetkundige figuur, zoals een driehoek, kegelsnede of ruimtefiguur, noemt men ontaard, als de figuur als "grensgeval" andere eigenschappen heeft dan de typische, gebruikelijke verschijning van de figuur. De ontaarde figuur behoort dan meestal tot een eenvoudiger soort figuren. (nl)
- Degeneration är i matematik egenskapen hos ett matematiskt objekt, att vara en förenkling av ett mer komplext objekt. (sv)
- Вырожденными называют математические объекты, обладающие принципиально более простой структурой и смыслом по сравнению с остальными объектами в своём классе, то есть такие, которые, даже будучи взятыми вместе, не дают полного представления о всём классе. Предельно простые объекты называют тривиальными. (ru)
- 在數學中，退化（Degeneracy）是指在一個限制的情況下，一個集合中的對象改變其性質並且屬於另一個集合，通常是變成比較簡單的集合，例如，一個三角形是一個平面集合的一個對象，但是若改變其性質將單一內角改為180度使其邊皆重合，則它就屬於線段集合的一個對象，且線段這個集合比平面還要簡單，因為它少一個維度，我們就會稱此多邊形退化了。 因此，退化的情況下，具有原來的性質 下面列出一些退化的例子:
* 點是退化的圓，因為一個圓若半徑為0就會成一個點
* 圓是退化的橢圓，因為它的離心率是0
* 線是退化的拋物線，因為拋物線在切空間中呈一直線
* 線段是退化的矩形，因為它有一邊長度為0
* 退化多邊形是多邊形退化的結果
* 實數和虚數可以視為複數的退化，因為实数就是虛數部為0的複數，虚数则是实部为零的复数。 (zh)
- Виродженими називають математичні об'єкти, які володіють принципово більш простою структурою і змістом у порівнянні з іншими об'єктами в своєму класі, тобто такі, які, навіть будучи взятими разом, не дають повного уявлення про весь клас. Гранично прості об'єкти називають тривіальними. (uk)
- In mathematics, a degenerate case is a limiting case of a class of objects which appears to be qualitatively different from (and usually simpler than) the rest of the class, and the term degeneracy is the condition of being a degenerate case. (en)
- En matemáticas, un caso degenerado es un caso límite en el cual una clase de objeto cambia su naturaleza para aproximarse mucho a un objeto de otra clase, normalmente, más simple. Un caso degenerado, por tanto, tiene unas características especiales, que se apartan de las propiedades genéricas de la categoría más amplia y que, bajo una pequeña perturbación, podrían perderse. (es)
- En mathématiques, un cas dégénéré peut consister en un objet dont la définition fait apparaître des éléments redondants ou superflus, se ramenant parfois à une définition plus simple. Il peut aussi être vu comme un cas particulier d'une construction générale, ne satisfaisant pas une certaine propriété générique, notamment si ces cas sont rares dans un sens topologique ou en théorie de la mesure. (fr)
- Dalam matematika, kasus degenerat adalah kasus ekstrem dari sebuah objek, sehingga objek pada kasus tersebut secara kualitatif terlihat berbeda (dan umumnya lebih sederhana) dari bentuk objek itu pada umumnya. (in)
- Em matemática, um caso degenerado é um caso limite no qual uma classe de objeto altera sua natureza para aproximar-se muito a um objeto de outra classe, normalmente, mais simples. Um caso degenerado, portanto, tem características especiais, que se afastam das propriedades genéricas da categoria mais ampla e que, sob uma pequena perturbação, poderiam ser perdidas. (pt)
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