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- Als leere Wahrheit (englisch vacuous truth) bezeichnet man in der mathematischen Logik und der Logik eine Aussage , die wahr ist, weil das Antezedens nicht erfüllt werden kann. (de)
- En mathématiques et en logique, une vérité creuse[réf. nécessaire] est un énoncé conditionnel ou universel qui est vrai parce que l'antécédent ne peut être satisfait. Par exemple, l'énoncé « tous les téléphones portables dans la pièce sont éteints » est vrai lorsqu'aucun téléphone portable ne se trouve dans la pièce. Dans ce cas, l'énoncé « tous les téléphones cellulaires dans la pièce sont allumés » est également vrai, tout comme la conjonction des deux : « tous les téléphones cellulaires dans la pièce sont allumés et éteints », qui serait autrement incohérente. En mathématiques pures, les énoncés constituant une vérité creuse ne présentent généralement pas d'intérêt en soi, mais ils apparaissent fréquemment comme le cas de base des preuves par induction mathématique. On dit qu'un énoncé est une vérité creuse s'il peut s'écrire comme une assertion de la forme où l'antécédent est faux. Les vérités creuses peuvent être réduites aux énoncés logiques suivants :
* , avec .
* , où l'ensemble est vide. (fr)
- En matemática y lógica, una verdad vacua o verdad vacía es una declaración que afirma que todos los miembros del conjunto vacío poseen cierta propiedad. Por ejemplo, la declaración «todos los teléfonos celulares en la habitación están apagados» será cierta siempre que no haya ningún teléfono celular en la habitación. En este caso, la declaración «todos los teléfonos celulares en la habitación están encendidos» también sería vacuamente verdadera, tanto como la conjunción de las dos: «todos los teléfonos celulares en la habitación están encendidos y apagados». Más formalmente, un uso relativamente bien definido se refiere a una declaración condicional con un antecedente falso. Un ejemplo de tal declaración es «si Uluru está en Francia, entonces la Torre Eiffel está en Bolivia». Tales declaraciones están consideradas vacuas porque el hecho de que el antecedente sea falso impide utilizar la declaración para inferir cualquier cosa sobre el valor de verdad del consecuente. Son ciertos debido a que un condicional material está definido para ser verdadero cuando el antecedente es falso (sin tener en cuenta si la conclusión es verdadera). En matemática pura, las declaraciones vacuamente verdaderas no son generalmente de interés por sí solas, pero frecuentemente surgen como el caso de base de pruebas por inducción matemática. Esta idea es relevante, así como en cualquier otro campo que use lógica clásica. Fuera de la matemática, las declaraciones que pueden ser caracterizadas informalmente como vacuamente verdaderas pueden ser confusas. Tales declaraciones hacen aserciones razonables sobre objetos que no existen realmente. Por ejemplo, un niño podría decir a su padre o madre «Comí todas las verduras de mi plato», cuando para empezar no había ninguna verdura en el plato del niño. (es)
- In mathematics and logic, a vacuous truth is a conditional or universal statement (a universal statement that can be converted to a conditional statement) that is true because the antecedent cannot be satisfied. For example, the statement "she does not own a cell phone" will imply that the statement "all of her cell phones are turned off" will be assigned a truth value. Also, the statement "all of her cell phones are turned on" would also be vacuously true, as would the conjunction of the two: "all of her cell phones are turned on and turned off", which would otherwise be incoherent and false. For that reason, it is sometimes said that a statement is vacuously true because it is meaningless. More formally, a relatively well-defined usage refers to a conditional statement (or a universal conditional statement) with a false antecedent. One example of such a statement is "if Tokyo is in France, then the Eiffel Tower is in Bolivia". Such statements are considered vacuous truths, because the fact that the antecedent is false prevents using the statement to infer anything about the truth value of the consequent. In essence, a conditional statement, that is based on the material conditional, is true when the antecedent ("Tokyo is in France" in the example) is false regardless of whether the conclusion or consequent ("the Eiffel Tower is in Bolivia" in the example) is true or false because the material conditional is defined in that way. Examples common to everyday speech include conditional phrases used as idioms of improbability like "when hell freezes over..." and "when pigs can fly...", indicating that not before the given (impossible) condition is met will the speaker accept some respective (typically false or absurd) proposition. In pure mathematics, vacuously true statements are not generally of interest by themselves, but they frequently arise as the base case of proofs by mathematical induction. This notion has relevance in pure mathematics, as well as in any other field that uses classical logic. Outside of mathematics, statements which can be characterized informally as vacuously true can be misleading. Such statements make reasonable assertions about qualified objects which do not actually exist. For example, a child might truthfully tell their parent "I ate every vegetable on my plate", when there were no vegetables on the child's plate to begin with. In this case, the parent can believe that the child has actually eaten some vegetables, even though that is not true. In addition, a vacuous truth is often used colloquially with absurd statements, either to confidently assert something (e.g. "the dog was red, or I'm a monkey's uncle" to strongly claim that the dog was red), or to express doubt, sarcasm, disbelief, incredulity or indignation (e.g. "yes, and I'm the King of England" to disagree a previously made statement). (en)
- A verdade por vacuidade é uma afirmação que diz que todos os elementos de um conjunto vazio têm uma certa propriedade. Por exemplo, na sentença “todos os telefones na sala estão desligados” pode ser verdade pois não existem telefones na sala e a sentença “todos os telefones na sala estão ligados” poderia também ser verdade, e por vacuidade, poderia ser verdade a conjunção das duas sentenças: “todos os telefones na sala estão ligados e desligados”. Mais formalmente, um uso relativamente bem definido refere-se a uma sentença condicional com um falso numa implicação. Um exemplo desse tipo de sentença é “se Ayers Rock está na França, então a Torre Eiffel está na Bolívia”. Tais sentenças são consideradas verdadeiras por vacuidade pois o fato do antecedente ser falso evita o uso de uma sentença para inferir algo sobre o valor-verdade do consequente. Eles são verdade pois uma condicional material está definida para ser verdade quando o antecedente é falso (independentemente se a conclusão é verdadeira ou não). Na matemática pura, sentenças verdadeiras por vacuidade não são de interesse quando sozinhas, mas elas frequentemente surgem como o caso base de provas de indução matemática. Essa noção tem tanta relevância quanto qualquer outra área que utiliza a lógica clássica. Fora da matemática, sentenças que podem ser informalmente caracterizadas como verdadeiras por vacuidade, podem ser enganosas. Tais sentenças fazem afirmações sobre objetos que na verdade não existem. Por exemplo, uma criança pode dizer para seus pais “Eu comi todos os vegetais do meu prato”, mesmo que não existam vegetais no seu prato. (Mais precisamente, porém estranho: “Eu não deixei nenhum vegetal no meu prato (ou seja, “restos), contra a afirmação implícita (“Eu comi X”) de um evento que não existe. (pt)
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- Als leere Wahrheit (englisch vacuous truth) bezeichnet man in der mathematischen Logik und der Logik eine Aussage , die wahr ist, weil das Antezedens nicht erfüllt werden kann. (de)
- En matemática y lógica, una verdad vacua o verdad vacía es una declaración que afirma que todos los miembros del conjunto vacío poseen cierta propiedad. Por ejemplo, la declaración «todos los teléfonos celulares en la habitación están apagados» será cierta siempre que no haya ningún teléfono celular en la habitación. En este caso, la declaración «todos los teléfonos celulares en la habitación están encendidos» también sería vacuamente verdadera, tanto como la conjunción de las dos: «todos los teléfonos celulares en la habitación están encendidos y apagados». (es)
- En mathématiques et en logique, une vérité creuse[réf. nécessaire] est un énoncé conditionnel ou universel qui est vrai parce que l'antécédent ne peut être satisfait. Par exemple, l'énoncé « tous les téléphones portables dans la pièce sont éteints » est vrai lorsqu'aucun téléphone portable ne se trouve dans la pièce. Dans ce cas, l'énoncé « tous les téléphones cellulaires dans la pièce sont allumés » est également vrai, tout comme la conjonction des deux : « tous les téléphones cellulaires dans la pièce sont allumés et éteints », qui serait autrement incohérente. (fr)
- In mathematics and logic, a vacuous truth is a conditional or universal statement (a universal statement that can be converted to a conditional statement) that is true because the antecedent cannot be satisfied. For example, the statement "she does not own a cell phone" will imply that the statement "all of her cell phones are turned off" will be assigned a truth value. Also, the statement "all of her cell phones are turned on" would also be vacuously true, as would the conjunction of the two: "all of her cell phones are turned on and turned off", which would otherwise be incoherent and false. For that reason, it is sometimes said that a statement is vacuously true because it is meaningless. (en)
- A verdade por vacuidade é uma afirmação que diz que todos os elementos de um conjunto vazio têm uma certa propriedade. Por exemplo, na sentença “todos os telefones na sala estão desligados” pode ser verdade pois não existem telefones na sala e a sentença “todos os telefones na sala estão ligados” poderia também ser verdade, e por vacuidade, poderia ser verdade a conjunção das duas sentenças: “todos os telefones na sala estão ligados e desligados”. (pt)
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