| dbo:abstract
|
- Eine Hopf-Bifurkation oder Hopf-Andronov-Bifurkation ist ein Typ einer lokalen Bifurkation in nichtlinearen Systemen. Sie ist benannt nach dem deutsch-amerikanischen Mathematiker Eberhard Frederich Ferdinand Hopf bzw. nach Alexander Alexandrowitsch Andronow, der sie mit Witt und Chaikin in der Sowjetunion in den 1930er Jahren behandelte. Die Wurzeln der Theorie gehen aber auf Henri Poincaré Ende des 19. Jahrhunderts zurück. Bei einer Hopf-Bifurkation überquert an einem Gleichgewichtspunkt (Fixpunkt) des Systems ein Paar komplex konjugierter Eigenwerte der aus der Linearisierung des Systems resultierenden Jacobimatrix die imaginäre Achse der komplexen Ebene; am Bifurkationspunkt selbst sind die konjugierten Eigenwerte also rein imaginär. Die Hopf-Bifurkationen können nur in zwei- oder höherdimensionalen Systemen auftreten, da die Linearisierung des Systems mindestens zwei Eigenwerte ("ein Paar") besitzen muss. Die Normalform der Hopf-Bifurkation ist Dabei ist
* eine komplexe Größe
* t die Zeit
* i die imaginäre Einheit
* , und sind reelle Parameter
* ist ein Eigenwert. Hopf-Bifurkationen zeichnen sich dadurch aus, dass bei der Variation eines Parameters ein Grenzzyklus aus einem Gleichgewicht entsteht. Es werden zwei Fälle unterschieden, je nachdem, ob ein stabiler Grenzzyklus entsteht (superkritische Hopf-Bifurkation) oder ein instabiler Grenzzyklus (subkritische Hopf-Bifurkation, vgl. nebenstehende Abbildung):
* Im Fall der superkritischen Hopf-Bifurkation tritt für ein stabiler Fixpunkt auf, der beim Übergang zu in einen instabilen Fixpunkt bzw. einen stabilen Grenzzyklus übergeht.
* Im Fall der subkritischen Hopf-Bifurkation tritt bei ein instabiler Grenzzyklus bzw. ein stabiler Fixpunkt auf, der mit in einen instabilen Fixpunkt übergeht. Die Parameter und bestimmen im Wesentlichen die Stabilität des Systems nahe , wohingegen die Rotation der Trajektorien und damit auch die Windungsrichtung beeinflusst. Die Kodimension der Hopf-Bifurkation ist wie bei der Sattel-Knoten-Bifurkation, der Pitchfork-Bifurkation und der Transkritischen Bifurkation gleich eins; diese anderen Typen von Bifurkationen der Kodimension 1 zeichnen sich jedoch am Fixpunkt durch einen Eigenwert der Jacobimatrix aus. (de)
- In the mathematical theory of bifurcations, a Hopf bifurcation is a critical point where a system's stability switches and a periodic solution arises. More accurately, it is a local bifurcation in which a fixed point of a dynamical system loses stability, as a pair of complex conjugate eigenvalues—of the linearization around the fixed point—crosses the complex plane imaginary axis. Under reasonably generic assumptions about the dynamical system, a small-amplitude limit cycle branches from the fixed point. A Hopf bifurcation is also known as a Poincaré–Andronov–Hopf bifurcation, named after Henri Poincaré, Aleksandr Andronov and Eberhard Hopf. (en)
- Dans la théorie des bifurcations, une bifurcation de Hopf ou de Poincaré–Andronov–Hopf, des noms de Henri Poincaré, Eberhard Hopf, et Aleksandr Andronov, est une bifurcation locale dans laquelle un point fixe d'un système dynamique perd sa stabilité tandis qu'une paire de valeurs propres complexes conjuguées de la linéarisation autour du point fixe franchissent l'axe imaginaire du plan complexe. Pour un tour d'horizon plus général sur les bifurcations de Hopf et leurs applications notamment en physique et en électronique, voir. (fr)
- 力学系においてホップ分岐（ホップぶんき、英: Hopf bifurcation）とは、系の安定性の変化により周期解が生じる分岐の一種である。 より正確には、線形近似に対する複素共役な二つの固有値が複素平面の虚軸を横切る際に、ある力学系の固定点が安定性を失う局所的な分岐のことをいう。 ある程度一般的な力学系に対しては、固定点から小さい振幅のリミットサイクルが分岐する。 アンリ・ポアンカレ、およびの名にちなみ、ポアンカレ・アンドロノフ・ホップ分岐と呼ばれることもある。 (ja)
- In matematica, in particolare nello studio dei sistemi dinamici e nella teoria delle biforcazioni, si parla di biforcazione di Hopf quando, al variare di un certo parametro di controllo , un punto di equilibrio modifica la sua stabilità in corrispondenza della formazione di un ciclo limite (attrattivo o repulsivo). (it)
- De Hopf-bifurcatie of Andronov-Hopf-bifurcatie is onderdeel van de bifurcatietheorie. Ze beschrijft hoe in een systeem een stabiele stationaire oplossing (evenwichtspunt) overgaat in een stabiele oscillatie. De oplossing oscillatie ontstaat altijd rond het evenwichtspunt. Het evenwichtspunt zelf verdwijnt niet maar wordt wel instabiel. Het gedrag van de Hopf-bifurcatie wordt beschreven met de normaalvorm: Voor is de Hopf-bifurcatie superkritisch. Voor heeft het systeem dan één stabiel evenwichtspunt bij . Vanuit elke begintoestand zal het systeem naar dit evenwicht convergeren. Voor wordt dit evenwichtspunt onstabiel. Tegelijkertijd ontstaat er een stabiele periodische oplossing op een cirkel met straal . Nu zal het systeem vanuit elke begintoestand naar deze oplossing convergeren: het systeem oscilleert. Deze bifurcatie vindt weer plaats bij . Net als de hooivorkbifurcatie heeft ook de Hopf-bifurcatie een subkritische vorm voor . De stabiliteit is dan omgekeerd. Er ontstaat dus wel een periodieke oplossing, maar die is niet stabiel. Bij de (supercritische) Hopf-bifurcatie verandert dus een evenwichtspunt in een periodische oplossing. Dit betekent dat het systeem gaat oscilleren. De periodische oplossing noemt men een limietcykel. Voor de bifurcatie convergeert het systeem vanuit elke begintoestand naar het evenwichtspunt. Na de bifurcatie convergeert het (zowel van binnen- als van buiten de cirkel) naar de limietcyclus. Alleen vanuit het centrum zelf loopt geen oplossing naar de cyclus. Maar de kleinste verstoring is voldoende om het systeem te laten oscilleren. Een voorbeeld van een (superkritische) Hopf-bifurcatie is de opwindbare slingerklok. Als de veer ontspannen is hangt de slinger stil in het midden. Dit is ook mogelijk wanneer de veer is opgewonden, maar de kleinste verstoring is dan voldoende om de klok te laten tikken. (Vrijwel) alle oscillaties kunnen ontstaan door een Hopf-bifurcatie. Andere voorbeelden zijn: een kloppend hart en een draaikolk in een rivier. Bijzonder is onder andere dat in de buurt van de bifurcatie de amplitude van de oscillatie zeer klein wordt. (nl)
- В теории динамических систем, бифуркация Андронова — Хопфа — локальная бифуркация векторного поля на плоскости, в ходе которой особая точка-фокус теряет устойчивость при переходе пары её комплексно-сопряжённых собственных значений через мнимую ось. При этом либо из особой точки рождается небольшой устойчивый предельный цикл (мягкая потеря устойчивости), либо, наоборот, небольшой неустойчивый предельный цикл в момент бифуркации схлопывается в эту точку, и её после бифуркации имеет отделённый от нуля размер (жёсткая потеря устойчивости). Для того, чтобы эта бифуркация имела место, достаточно в дополнение к переходу собственных значений через мнимую ось наложить на систему некоторые условия типичности. Бифуркация Андронова — Хопфа и седлоузловая бифуркация — единственные локальные бифуркации векторных полей на плоскости, возникающие в типичных однопараметрических семействах. (ru)
- 在數學的分岔理論中，霍普夫分岔（Hopf bifurcation）是指系統的穩定性發生變化形成一個周期极限環的臨界點。準確來說，它是動力學系統局域的分岔，局部的一個穩定不動點失穩的過程，在線性穩定性分析中表現為該不動點附近的線性矩陣出現两個共軛複數特征值。在滿足一般合理的前提下，霍普夫分岔都會形成一個小輻的极限環。霍普夫分岔亦被稱為 "Poincaré–Andronov–Hopf bifurcation"。 (zh)
- Біфуркація Гопфа — біфуркація, внаслідок якої стаціонарна точка втрачає стійкість. У біфуркації Гопфа втрата стійкості дисипативною системою локальна, тому фазові траєкторії залишаються в околиці точки рівноваги, що означає виникнення в цій околиці граничного циклу. Як наслідок, у диспативній ситемі виникають автоколивання. На рисунку праворуч показано, як змінюється характер фазового портрету при біфуркації Гопфа. На перших двох діаграмах параметри дисипативної системи такі, що точка рівноваги стійка, фазові траєкторії збігаються до неї, але при цьому виконують дедалі більше обертань. Фізично це відповідає дедалі повільнішому згасанню коливань. При переході через точку біфуркації навколо точки рівноваги виникає граничний цикл. Фазові траєкторії збігаються до цього циклу як зовні, так і з середини. Така ситуація відповідає автоколиванням, що підтримуються однаковими й не згасають. Крім описаної біфуркації, яку називають надкритичною, існує ще підкритична біфуркація Гопфа. У цій біфуркації виникає нестійкий граничний цикл, перетворюється на і навколо нього виникає невеликий басейн притягання. Басейн притягання обмежено нестійким граничним циклом, від якого фазові траєкторії розбігаються всередину до вже стійкого фокуса й назовні — до інших атракторів. Цей вид біфуркацій названо на честь математика Ебергарда Гопфа. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Dans la théorie des bifurcations, une bifurcation de Hopf ou de Poincaré–Andronov–Hopf, des noms de Henri Poincaré, Eberhard Hopf, et Aleksandr Andronov, est une bifurcation locale dans laquelle un point fixe d'un système dynamique perd sa stabilité tandis qu'une paire de valeurs propres complexes conjuguées de la linéarisation autour du point fixe franchissent l'axe imaginaire du plan complexe. Pour un tour d'horizon plus général sur les bifurcations de Hopf et leurs applications notamment en physique et en électronique, voir. (fr)
- 力学系においてホップ分岐（ホップぶんき、英: Hopf bifurcation）とは、系の安定性の変化により周期解が生じる分岐の一種である。 より正確には、線形近似に対する複素共役な二つの固有値が複素平面の虚軸を横切る際に、ある力学系の固定点が安定性を失う局所的な分岐のことをいう。 ある程度一般的な力学系に対しては、固定点から小さい振幅のリミットサイクルが分岐する。 アンリ・ポアンカレ、およびの名にちなみ、ポアンカレ・アンドロノフ・ホップ分岐と呼ばれることもある。 (ja)
- In matematica, in particolare nello studio dei sistemi dinamici e nella teoria delle biforcazioni, si parla di biforcazione di Hopf quando, al variare di un certo parametro di controllo , un punto di equilibrio modifica la sua stabilità in corrispondenza della formazione di un ciclo limite (attrattivo o repulsivo). (it)
- 在數學的分岔理論中，霍普夫分岔（Hopf bifurcation）是指系統的穩定性發生變化形成一個周期极限環的臨界點。準確來說，它是動力學系統局域的分岔，局部的一個穩定不動點失穩的過程，在線性穩定性分析中表現為該不動點附近的線性矩陣出現两個共軛複數特征值。在滿足一般合理的前提下，霍普夫分岔都會形成一個小輻的极限環。霍普夫分岔亦被稱為 "Poincaré–Andronov–Hopf bifurcation"。 (zh)
- Eine Hopf-Bifurkation oder Hopf-Andronov-Bifurkation ist ein Typ einer lokalen Bifurkation in nichtlinearen Systemen. Sie ist benannt nach dem deutsch-amerikanischen Mathematiker Eberhard Frederich Ferdinand Hopf bzw. nach Alexander Alexandrowitsch Andronow, der sie mit Witt und Chaikin in der Sowjetunion in den 1930er Jahren behandelte. Die Wurzeln der Theorie gehen aber auf Henri Poincaré Ende des 19. Jahrhunderts zurück. Die Normalform der Hopf-Bifurkation ist Dabei ist
* eine komplexe Größe
* t die Zeit
* i die imaginäre Einheit
* , und sind reelle Parameter
* ist ein Eigenwert. (de)
- In the mathematical theory of bifurcations, a Hopf bifurcation is a critical point where a system's stability switches and a periodic solution arises. More accurately, it is a local bifurcation in which a fixed point of a dynamical system loses stability, as a pair of complex conjugate eigenvalues—of the linearization around the fixed point—crosses the complex plane imaginary axis. Under reasonably generic assumptions about the dynamical system, a small-amplitude limit cycle branches from the fixed point. (en)
- De Hopf-bifurcatie of Andronov-Hopf-bifurcatie is onderdeel van de bifurcatietheorie. Ze beschrijft hoe in een systeem een stabiele stationaire oplossing (evenwichtspunt) overgaat in een stabiele oscillatie. De oplossing oscillatie ontstaat altijd rond het evenwichtspunt. Het evenwichtspunt zelf verdwijnt niet maar wordt wel instabiel. Het gedrag van de Hopf-bifurcatie wordt beschreven met de normaalvorm: Net als de hooivorkbifurcatie heeft ook de Hopf-bifurcatie een subkritische vorm voor . De stabiliteit is dan omgekeerd. Er ontstaat dus wel een periodieke oplossing, maar die is niet stabiel. (nl)
- В теории динамических систем, бифуркация Андронова — Хопфа — локальная бифуркация векторного поля на плоскости, в ходе которой особая точка-фокус теряет устойчивость при переходе пары её комплексно-сопряжённых собственных значений через мнимую ось. При этом либо из особой точки рождается небольшой устойчивый предельный цикл (мягкая потеря устойчивости), либо, наоборот, небольшой неустойчивый предельный цикл в момент бифуркации схлопывается в эту точку, и её после бифуркации имеет отделённый от нуля размер (жёсткая потеря устойчивости). (ru)
- Біфуркація Гопфа — біфуркація, внаслідок якої стаціонарна точка втрачає стійкість. У біфуркації Гопфа втрата стійкості дисипативною системою локальна, тому фазові траєкторії залишаються в околиці точки рівноваги, що означає виникнення в цій околиці граничного циклу. Як наслідок, у диспативній ситемі виникають автоколивання. Цей вид біфуркацій названо на честь математика Ебергарда Гопфа. (uk)
|
