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- Reaktionsdiffusionsgleichungen (RD-Gleichungen) beschreiben Vorgänge, bei denen eine lokale Wechselwirkung und zusätzlich eine Diffusion auftritt. Ein Beispiel aus der Chemie sind etwa Modelle für die Belousov-Zhabotinsky-Reaktion (BZ-Reaktion), bei der räumliche Muster entstehen, weil eine lokal oszillierende chemische Reaktion mit einem Diffusionsvorgang gekoppelt ist. Ein Beispiel aus der Biologie sind räumliche Ausbreitungsprozesse von Tieren und Pflanzen. Hierbei hat der Interaktionsterm oft die Form einer logistischen Kolmogorov-Gleichung. Bei RD-Gleichungen handelt es sich um partielle Differentialgleichungen zweiten Grades, die der Form nach Ratengleichungen sind (Herleitung siehe dort). Sie beschreiben also die zeitliche Änderung einer Größe X (z. B. Stoffmenge, Abundanz, Konzentration o. Ä.): .
* Die Funktionen der Zeit und des Ortes bilden die Größen ab, deren Dynamik beschrieben wird. Dabei können mehrere Stoffe, die miteinander wechselwirken, berücksichtigt werden, indem man eine Vektorform gibt und die Gleichung als Matrix-Gleichung auffasst.
* Die Funktion beschreibt den Reaktionsanteil. Ohne den Reaktionsanteil hätte die RD-Gleichung die Form der Wärmeleitungsgleichung.
* Der Term stammt aus dem 2. Fickschen Gesetz und beschreibt die Diffusion.
* ist der Diffusionskoeffizient. Liegt außerdem ein gerichteter Transportprozess vor (Konvektion), so muss die obige Reaktions-Diffusionsgleichung um einen Konvektionsterm erweitert werden, analog zur Konvektions-Diffusions-Gleichung. Reaktionsdiffusionsgleichungen finden in der Technischen Chemie und im Maschinenbau Anwendung. Dort werden verschiedene Systeme betrachtet, bei denen Reaktion, Diffusion und Konvektion zusammen auftreten (Makrokinetik). Beispiele sind die Auslegung von chemischen Reaktoren oder technische Verbrennungsvorgänge.In der Entwicklungsbiologie spielen Reaktionsdiffusionsgleichungen seit Alan Turing eine überragende Rolle bei der mathematischen Theorie der Morphogenese, siehe Turing-Mechanismus. Systeme mit einer aktivierenden und zwei inhibierenden Komponenten spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung der Strukturbildungsprozesse lokalisierter teilchenartiger Strukturen, sogenannter dissipativer Solitonen, die z. B. bei oszillierenden chemischen Reaktionen vom Typ der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion und Halbleiter-Gasentladungssystemen beobachtet werden. Auch Chemische Wellen und Ausbreitung von Nervenpulsen werden mit Reaktions-Diffusions-Gleichungen beschrieben. (de)
- Los sistemas de reacción-difusión son modelos matemáticos que describen cómo una o más sustancias distribuidas en el espacio cambian bajo la influencia de dos procesos: reacciones químicas locales en las que las sustancias se transforman las unas en las otras, y difusión, que provoca que las sustancias se expandan en el espacio. El resultado de este proceso es una configuración estable en la que la composición química es no uniforme en un dominio espacial. Los sistemas de reacción-difusión se aplican a la modelización de procesos tanto químicos como dinámicos de naturaleza no química. Encontramos ejemplos de tales aplicaciones en biología, geología, física y ecología. Matemáticamente, los sistemas de reacción-difusión tienen la forma de ecuaciones parabólicas en derivadas parciales y pueden representarse bajo la forma general: donde cada componente del vector q(x,t) representa la concentración de una sustancia, D es una matriz diagonal de coeficientes de difusión, Δ denota el operador laplaciano y R da cuenta de las reacciones locales. Las soluciones de las ecuaciones de reacción-difusión muestran un amplio rango de comportamientos, incluyendo la formación de y fenómenos de tipo onda, así como otros patrones auto-organizados como bandas, hexágonos o estructuras más complicadas como . (es)
- Un système de réaction-diffusion est un modèle mathématique qui décrit l'évolution des concentrations d'une ou plusieurs substances spatialement distribuées et soumises à deux processus : un processus de réactions chimiques locales, dans lequel les différentes substances se transforment, et un processus de diffusion qui provoque une répartition de ces substances dans l'espace. Cette description implique naturellement que de tels systèmes sont appliqués en chimie. Cependant, ils peuvent aussi décrire des phénomènes dynamiques de nature différente : la biologie, la physique, la géologie ou l'écologie sont des exemples de domaines où de tels systèmes apparaissent. Mathématiquement, les systèmes de réaction-diffusion sont représentés par des équations différentielles partielles paraboliques semi-linéaires qui prennent la forme générale de où chaque composante du vecteur représente la concentration d'une substance, est une matrice diagonale de coefficients de diffusion, désigne le Laplacien et représente toutes les réactions locales. Les solutions d'une équation de réaction-diffusion peuvent présenter des comportements très divers parmi lesquels la formation d'ondes progressives et de phénomènes ondulatoires ou encore de motifs entropiques (bandes, hexagones et d'autres motifs plus complexes tels que les solitons dissipatifs). (fr)
- Reaction–diffusion systems are mathematical models which correspond to several physical phenomena. The most common is the change in space and time of the concentration of one or more chemical substances: local chemical reactions in which the substances are transformed into each other, and diffusion which causes the substances to spread out over a surface in space. Reaction–diffusion systems are naturally applied in chemistry. However, the system can also describe dynamical processes of non-chemical nature. Examples are found in biology, geology and physics (neutron diffusion theory) and ecology. Mathematically, reaction–diffusion systems take the form of semi-linear parabolic partial differential equations. They can be represented in the general form where q(x, t) represents the unknown vector function, D is a diagonal matrix of diffusion coefficients, and R accounts for all local reactions. The solutions of reaction–diffusion equations display a wide range of behaviours, including the formation of travelling waves and wave-like phenomena as well as other self-organized patterns like stripes, hexagons or more intricate structure like dissipative solitons. Such patterns have been dubbed "Turing patterns". Each function, for which a reaction diffusion differential equation holds, represents in fact a concentration variable. (en)
- model reaksi-difusi adalah model matematika yang mendeskripsikan bagaimana konsentrasi dari satu atau lebih substansi terdistribusi dalam ruang berubah karena pengaruh dua proses: reaksi kimia lokal dimana substansi diubah menjadi yang lain, dan difusi yang menyebabkan substansi menyebar dalam ruang. Sebagaimana deskripsi ini mengimplikasikan, sistem reaksi-difusi secara alami diterapkan di kimia. Akan tetapi, persamaan reaksi-difusi dapat juga mendeskripsikan proses dinamis non-kimiawi. Contoh-contoh ditemukan di biologi, geologi dan fisika serta ekologi. Secara matematis, sistem reaksi-difusi memiliki bentuk semi-linier . Persamaan tersebut dapat direpresentasi dalam bentuk umum dimana masing-masing komponen vektor q(x,t) mewakili konsentrasi dari satu substansi adalah matriks diagonal dan R memperhitungkan seluruh reaksi lokal. Solusi persamaan reaksi-difusi menunjukkan jangkauan yang luas perilaku, mencangkup pembentukan dan fenomena seperti-gelombang sebagaimana yang lain seperti strip, heksagonal atau lebih banyak struktur ruwet seperti ...... (in)
- Il modello matematico di reazione-diffusione è l'equazione parabolica la cui omogenea associata è l'equazione della diffusione: il termine di sorgente viene chiamato "termine di reazione" poiché nell'applicazione più frequente, dove la funzione incognita è la concentrazione di un composto, è associato ad una reazione chimica in cui partecipa il composto. L'equazione viene utilizzata sia per descrivere la concentrazione di una reazione chimica, sia per caratterizzare la diffusione di materia nello spazio. Il modello generale consiste nell'equazione del calore (equazione di diffusione) con incognita la funzione in cui è presente un termine non omogeneo , ovvero: dove è il coefficiente di diffusione (diffusività di materia). Tale relazione è nota col nome di equazione di reazione-diffusione. A causa del termine non omogeneo di reazione , in generale l'equazione non soggiace ad un principio globale di conservazione della quantità di cui è la densità. (it)
- 反応拡散系（はんのうかくさんけい、英: reaction-diffusion system）とは、空間に分布された一種あるいは複数種の物質の濃度が、物質がお互いに変化し合うような局所的な化学反応と、空間全体に物質が広がる拡散の、二つのプロセスの影響によって変化する様子を数理モデル化したものである。 (ja)
- Реакционно-диффузная модель — этот тип модели сочетает пространственно распределённую химическую реакцию с диффузией химических реагентов через . Как правило, 2 или более реагентов диффундируют сквозь субстрат, реагируя друг с другом и порождая стабильные паттерны, которые, если говорить о живых системах, могут служить основой для биологического формообразования. В общем смысле соответствует понятию автоволнового процесса. В химии первой такого типа была обнаружена и исследована реакция Белоусова—Жаботинского, которая и дала толчок развитию автоволновых исследования в СССР. Известен своими исследованиями химических сред реакционно-диффузного типа К. И. Агладзе. В начале 21-го века было выявлено, что система свёртывания крови также относится к химическим средам реакционно-диффузного типа. (ru)
- O Modelo de Reação-Difusão é um modelo matemático teorético de como são formados e regulados padrões característicos durante o desenvolvimento de embriões animais. É conhecido também como Modelo Turing em referência ao cientista e matemático Alan Turing, que iniciou esta linha de pesquisa com seu último artigo publicado antes de sua morte. (pt)
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- 反応拡散系（はんのうかくさんけい、英: reaction-diffusion system）とは、空間に分布された一種あるいは複数種の物質の濃度が、物質がお互いに変化し合うような局所的な化学反応と、空間全体に物質が広がる拡散の、二つのプロセスの影響によって変化する様子を数理モデル化したものである。 (ja)
- O Modelo de Reação-Difusão é um modelo matemático teorético de como são formados e regulados padrões característicos durante o desenvolvimento de embriões animais. É conhecido também como Modelo Turing em referência ao cientista e matemático Alan Turing, que iniciou esta linha de pesquisa com seu último artigo publicado antes de sua morte. (pt)
- Reaktionsdiffusionsgleichungen (RD-Gleichungen) beschreiben Vorgänge, bei denen eine lokale Wechselwirkung und zusätzlich eine Diffusion auftritt. Ein Beispiel aus der Chemie sind etwa Modelle für die Belousov-Zhabotinsky-Reaktion (BZ-Reaktion), bei der räumliche Muster entstehen, weil eine lokal oszillierende chemische Reaktion mit einem Diffusionsvorgang gekoppelt ist. Ein Beispiel aus der Biologie sind räumliche Ausbreitungsprozesse von Tieren und Pflanzen. Hierbei hat der Interaktionsterm oft die Form einer logistischen Kolmogorov-Gleichung. (de)
- Los sistemas de reacción-difusión son modelos matemáticos que describen cómo una o más sustancias distribuidas en el espacio cambian bajo la influencia de dos procesos: reacciones químicas locales en las que las sustancias se transforman las unas en las otras, y difusión, que provoca que las sustancias se expandan en el espacio. El resultado de este proceso es una configuración estable en la que la composición química es no uniforme en un dominio espacial. (es)
- Un système de réaction-diffusion est un modèle mathématique qui décrit l'évolution des concentrations d'une ou plusieurs substances spatialement distribuées et soumises à deux processus : un processus de réactions chimiques locales, dans lequel les différentes substances se transforment, et un processus de diffusion qui provoque une répartition de ces substances dans l'espace. (fr)
- Reaction–diffusion systems are mathematical models which correspond to several physical phenomena. The most common is the change in space and time of the concentration of one or more chemical substances: local chemical reactions in which the substances are transformed into each other, and diffusion which causes the substances to spread out over a surface in space. (en)
- model reaksi-difusi adalah model matematika yang mendeskripsikan bagaimana konsentrasi dari satu atau lebih substansi terdistribusi dalam ruang berubah karena pengaruh dua proses: reaksi kimia lokal dimana substansi diubah menjadi yang lain, dan difusi yang menyebabkan substansi menyebar dalam ruang. (in)
- Il modello matematico di reazione-diffusione è l'equazione parabolica la cui omogenea associata è l'equazione della diffusione: il termine di sorgente viene chiamato "termine di reazione" poiché nell'applicazione più frequente, dove la funzione incognita è la concentrazione di un composto, è associato ad una reazione chimica in cui partecipa il composto. L'equazione viene utilizzata sia per descrivere la concentrazione di una reazione chimica, sia per caratterizzare la diffusione di materia nello spazio. (it)
- Реакционно-диффузная модель — этот тип модели сочетает пространственно распределённую химическую реакцию с диффузией химических реагентов через . Как правило, 2 или более реагентов диффундируют сквозь субстрат, реагируя друг с другом и порождая стабильные паттерны, которые, если говорить о живых системах, могут служить основой для биологического формообразования. В общем смысле соответствует понятию автоволнового процесса. В химии первой такого типа была обнаружена и исследована реакция Белоусова—Жаботинского, которая и дала толчок развитию автоволновых исследования в СССР. (ru)
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