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In quantum mechanics, the angular momentum operator is one of several related operators analogous to classical angular momentum. The angular momentum operator plays a central role in the theory of atomic and molecular physics and other quantum problems involving rotational symmetry. Such an operator is applied to a mathematical representation of the physical state of a system and yields an angular momentum value if the state has a definite value for it. In both classical and quantum mechanical systems, angular momentum (together with linear momentum and energy) is one of the three fundamental properties of motion.

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  • مؤثر الزخم الزاوي في ميكانيكا الكم (بالإنجليزية: angular momentum operator) هو أحد عدة مؤثرات في ميكانيكا الكم مشابهة للزخم الزاوي في الميكانيكا الكلاسيكية. وقد ابتكر مؤثر الزخم الزاوي لتفسير أولا لتفسير خطوط طيف الهيدروجين، ثم عمم لتفسير خواص الذرات والجزيئات ومسائل أخرى في الفيزياء الذرية. كذلك يستخدامه في بعض حسابات ميكانيكا الكم الخاصة بمسائل مشابهة من ضمنها التناظر الدوراني. في كل من أنظمة ميكانيكا التقليدية وأنظمة ميكانيكا الكم فإن الزخم الزاوي (إلى جانب زخم الحركة الخطي وطاقة الحركة) هو واحد من ثلاثة خواص أساسية للحركة. تلك الثلاثة صفات تصف حركة جسم كالإلكترون يدور حول نواة الذرة أو أنظمة مشابهة أخرى. ويوجد في الطبيعة الذرية عدة مؤثرات للزخم الزاوي: الزخم الزاوي الكلي ويرمز له عادة J ، وزخم مداري (ويرمز له L), وزخم مغزلي (spin angular momentum ويرمز له S). وطبقا لنظرية نوثر يجب أن يكون الزخم الزاوي الكلي (لإلكترون في الغلاف الذري) دائما محفوظا. (قانون انحفاظ الزخم الزاوي). (ar)
  • In quantum mechanics, the angular momentum operator is one of several related operators analogous to classical angular momentum. The angular momentum operator plays a central role in the theory of atomic and molecular physics and other quantum problems involving rotational symmetry. Such an operator is applied to a mathematical representation of the physical state of a system and yields an angular momentum value if the state has a definite value for it. In both classical and quantum mechanical systems, angular momentum (together with linear momentum and energy) is one of the three fundamental properties of motion. There are several angular momentum operators: total angular momentum (usually denoted J), orbital angular momentum (usually denoted L), and spin angular momentum (spin for short, usually denoted S). The term angular momentum operator can (confusingly) refer to either the total or the orbital angular momentum. Total angular momentum is always conserved, see Noether's theorem. (en)
  • Der quantenmechanische Drehimpuls ist eine Observable in der Quantenmechanik. Sie ist vektorwertig, das heißt, es existieren drei Komponenten des Drehimpulses entsprechend der drei Raumrichtungen. Im Gegensatz zur klassischen Physik kann in der Quantenmechanik zwischen zwei Arten des Drehimpulses unterschieden werden: Bahndrehimpuls und Spin (Eigendrehimpuls). Während der Bahndrehimpuls das quantenmechanische Analogon zum klassischen Drehimpuls ist, besitzt der Spin keine Entsprechung in der klassischen Physik. Bahn- und Eigendrehimpuls entstammen von der physikalischen Sichtweise her unterschiedlichen Gegebenheiten und folgen leicht unterschiedlichen physikalischen Gesetzen, besitzen aber dieselbe mathematische Struktur. In der Quantenmechanik ist der Drehimpuls immer quantisiert, das heißt, ein physikalisches System kann nur diskrete Werte des Drehimpulses annehmen. Dies gilt sowohl für den Betrag als auch für die Komponenten. Diese Werte werden durch Quantenzahlen beschrieben und sind ganz- oder halbzahlige Vielfache des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums (die Wirkung und der Drehimpuls haben dieselbe Dimension). Eine Besonderheit des Drehimpulses ist, dass seine Komponenten inkommensurabel sind, also nicht gleichzeitig gemessen werden können. Es ist daher nicht möglich, dass gleichzeitig zwei Komponenten des Drehimpulses mit festen Quantenzahlen vorliegen. Hingegen sind der Betrag des Drehimpulses und eine beliebige Komponente gleichzeitig messbar. In der Quantenmechanik korrespondieren zu Observablen immer hermitesche Operatoren. Im Fall des Drehimpulses heißt dieser Operator Drehimpulsoperator. Aus der Definition und den Eigenschaften des Drehimpulsoperators folgen die Eigenschaften des quantenmechanischen Drehimpulses. (de)
  • En mécanique quantique le moment cinétique est défini comme un opérateur vectoriel (noté ) à trois composantes, correspondant chacune aux différentes dimensions de l'espace (opérateurs « scalaires »). Celles-ci obéissent entre elles à certaines relations de commutation. Ainsi, alors qu'en mécanique classique les trois composantes du moment cinétique peuvent être simultanément mesurées, ceci est impossible dans le cadre quantique. En fait, seuls peuvent être déterminés les états propres communs à l'opérateur donnant la somme des carrés des différentes composantes d'une part, et à une composante particulière donnée (par exemple ). Par ailleurs, la définition quantique du moment cinétique généralise la notion « ordinaire » de moment cinétique à des situations n'ayant pas d'équivalent classique. Ceci amène en fait à distinguer le moment cinétique défini par analogie classique, en fonction des diverses composantes des opérateurs position et impulsion d'une particule (notion de moment cinétique orbital, noté ), du moment cinétique intrinsèque, sans équivalent classique, ou spin (noté ). Par ailleurs, en mécanique quantique, les états propres communs à et à ont des valeurs propres « quantifiées ». Ceci résulte directement de la définition du moment cinétique à partir des relations de commutation entre ses composantes, et non pas de la situation particulière du système étudié, comme cela peut être le cas pour le hamiltonien du système. Pour les systèmes de plusieurs particules, ces différents moments cinétiques se combinent suivant des règles particulières. Enfin, et comme en mécanique classique, le moment cinétique quantique est étroitement lié aux rotations dans l'espace ordinaire (pour le moment cinétique orbital) ou dans un espace plus abstrait (pour le moment cinétique de spin). De fait, il est possible de montrer que les relations de commutation entre les différentes composantes du moment cinétique quantique résultent directement de celles entre les générateurs des rotations élémentaires dans les espaces considérés. Comme en mécanique classique, l'intérêt de l'usage du moment cinétique quantique vient des situations où il se « conserve », mais au sens quantique du terme, autrement dit où il commute (du moins pour certaines de ses composantes) avec le hamiltonien du système. Cette situation est elle-même liée à l'existence de certaines symétries dans le hamiltonien. Dans ce cas, les états propres du hamiltonien sont communs avec ceux des opérateurs et . En particulier, le moment cinétique quantique joue un rôle fondamental en physique atomique et moléculaire, dans la classification des termes électroniques. L'unité de cet observable est le J.s (joule seconde), comme pour le moment cinétique classique. (fr)
  • L'operatore momento angolare (detto anche momento angolare orbitale) è l'analogo quantistico del momento angolare della meccanica classica, ovvero il momento della quantità di moto. Esso è il generatore delle rotazioni nello spazio. (it)
  • 양자역학에서 각운동량 연산자(角運動量演算子, 영어: angular momentum operator)는 특정한 교환자 관계를 만족하는 세 개의 연산자 , , 이다. 두 종류의 각운동량 연산자가 있는데, 고전적인 각운동량을 양자화하여 얻는 각운동량 연산자를 궤도 각운동량(軌道角運動量, orbital angular momentum)이라고 하고, 고전적인 값과 관계없는 양자역학 고유의 각운동량 연산자를 스핀 각운동량(spin angular momentum)이라고 한다. (ko)
  • 量子力学における角運動量演算子はの1つで、古典的な角運動量に類似した性質をもつ。 角運動量演算子は、原子物理学や回転対称性を含む他の量子問題において中心的な役割を果たす。古典系と量子系のどちらにおいても角運動量は、線形運動量とエネルギーとともに運動の3つの基本的性質の1つである。 角運動量には、全角運動量J、軌道角運動量L、スピン角運動量(またはスピン)Sがある。紛らわしいが、「角運動量演算子」と言ったときは全角運動量や軌道角運動量のことを指す。全角運動量は常に保存されている。詳細はネーターの定理を参照。 (ja)
  • Na mecânica quântica, o operador de momento angular é um dos vários operadores relacionados análogo ao momento angular clássico. O operador de momento angular desempenha um papel central na teoria da física atômica e outros problemas quânticos envolvendo simetria rotacional. Nos sistemas mecânico clássico e quântico, o momento angular (juntamente com o momento linear e a energia) é uma das três propriedades fundamentais do movimento. (pt)
  • 在量子力學裏,角動量算符(英語:angular momentum operator)是一種算符,類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性(rotational symmetry)的理論裏,角動量算符佔有中心的角色。角動量,動量,與能量是物體運動的三個基本特性。 (zh)
  • Опера́тор моме́нту кі́лькості ру́ху або кутового моменту — це квантово-механічний аналог класичного поняття моменту кількості руху. (uk)
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  • Let be a state function for the system with eigenvalue for and eigenvalue for . From is obtained, Applying both sides of the above equation to , Since and are real observables, is not negative and . Thus has an upper and lower bound. Two of the commutation relations for the components of are, They can be combined to obtain two equations, which are written together using signs in the following, where one of the equations uses the signs and the other uses the signs. Applying both sides of the above to , The above shows that are two eigenfunctions of with respective eigenvalues , unless one of the functions is zero, in which case it is not an eigenfunction. For the functions that are not zero, Further eigenfunctions of and corresponding eigenvalues can be found by repeatedly applying as long as the magnitude of the resulting eigenvalue is . Since the eigenvalues of are bounded, let be the lowest eigenvalue and be the highest. Then and since there are no states where the eigenvalue of is or . By applying to the first equation, to the second, and using , it can be shown that and Subtracting the first equation from the second and rearranging, Since , the second factor is negative. Then the first factor must be zero and thus . The difference comes from successive application of or which lower or raise the eigenvalue of by so that, Let where Then using and the above, and and the allowable eigenvalues of are Expressing in terms of a quantum number , and substituting into from above, (en)
  • A key part of the traditional derivation above is that the wave function must be single-valued. This is now recognised by many as not being completely correct: a wave function is not observable and only the probability density is required to be single-valued. The possible double-valued half-integer wave functions have a single-valued probability density. This was recognised by Pauli in 1939 Double-valued wave functions have been found, such as and . These do not behave well under the ladder operators, but have been found to be useful in describing rigid quantum particles Ballentine gives an argument based solely on the operator formalism and which does not rely on the wave function being single-valued. The azimuthal angular momentum is defined as Define new operators Then But the two terms on the right are just the Hamiltonians for the quantum harmonic oscillator with unit mass and angular frequency and , , and all commute. For commuting Hermitian operators a complete set of basis vectors can be chosen that are eigenvectors for all four operators. For any of these eigenvectors with for some integers , we find As a difference of two integers, must be an integer, from which is also integral. A more complex version of this argument using the ladder operators of the quantum harmonic oscillator has been given by Buchdahl. (en)
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  • Proof of [L2, Lx] = 0, starting from the [L'ℓ, L'm] commutation relations (en)
  • Alternative derivation of the restriction to integer quantum numbers for and (en)
  • Derivation of the possible values and quantum numbers for and . (en)
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  • L'operatore momento angolare (detto anche momento angolare orbitale) è l'analogo quantistico del momento angolare della meccanica classica, ovvero il momento della quantità di moto. Esso è il generatore delle rotazioni nello spazio. (it)
  • 양자역학에서 각운동량 연산자(角運動量演算子, 영어: angular momentum operator)는 특정한 교환자 관계를 만족하는 세 개의 연산자 , , 이다. 두 종류의 각운동량 연산자가 있는데, 고전적인 각운동량을 양자화하여 얻는 각운동량 연산자를 궤도 각운동량(軌道角運動量, orbital angular momentum)이라고 하고, 고전적인 값과 관계없는 양자역학 고유의 각운동량 연산자를 스핀 각운동량(spin angular momentum)이라고 한다. (ko)
  • 量子力学における角運動量演算子はの1つで、古典的な角運動量に類似した性質をもつ。 角運動量演算子は、原子物理学や回転対称性を含む他の量子問題において中心的な役割を果たす。古典系と量子系のどちらにおいても角運動量は、線形運動量とエネルギーとともに運動の3つの基本的性質の1つである。 角運動量には、全角運動量J、軌道角運動量L、スピン角運動量(またはスピン)Sがある。紛らわしいが、「角運動量演算子」と言ったときは全角運動量や軌道角運動量のことを指す。全角運動量は常に保存されている。詳細はネーターの定理を参照。 (ja)
  • Na mecânica quântica, o operador de momento angular é um dos vários operadores relacionados análogo ao momento angular clássico. O operador de momento angular desempenha um papel central na teoria da física atômica e outros problemas quânticos envolvendo simetria rotacional. Nos sistemas mecânico clássico e quântico, o momento angular (juntamente com o momento linear e a energia) é uma das três propriedades fundamentais do movimento. (pt)
  • 在量子力學裏,角動量算符(英語:angular momentum operator)是一種算符,類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性(rotational symmetry)的理論裏,角動量算符佔有中心的角色。角動量,動量,與能量是物體運動的三個基本特性。 (zh)
  • Опера́тор моме́нту кі́лькості ру́ху або кутового моменту — це квантово-механічний аналог класичного поняття моменту кількості руху. (uk)
  • مؤثر الزخم الزاوي في ميكانيكا الكم (بالإنجليزية: angular momentum operator) هو أحد عدة مؤثرات في ميكانيكا الكم مشابهة للزخم الزاوي في الميكانيكا الكلاسيكية. وقد ابتكر مؤثر الزخم الزاوي لتفسير أولا لتفسير خطوط طيف الهيدروجين، ثم عمم لتفسير خواص الذرات والجزيئات ومسائل أخرى في الفيزياء الذرية. كذلك يستخدامه في بعض حسابات ميكانيكا الكم الخاصة بمسائل مشابهة من ضمنها التناظر الدوراني. (ar)
  • In quantum mechanics, the angular momentum operator is one of several related operators analogous to classical angular momentum. The angular momentum operator plays a central role in the theory of atomic and molecular physics and other quantum problems involving rotational symmetry. Such an operator is applied to a mathematical representation of the physical state of a system and yields an angular momentum value if the state has a definite value for it. In both classical and quantum mechanical systems, angular momentum (together with linear momentum and energy) is one of the three fundamental properties of motion. (en)
  • Der quantenmechanische Drehimpuls ist eine Observable in der Quantenmechanik. Sie ist vektorwertig, das heißt, es existieren drei Komponenten des Drehimpulses entsprechend der drei Raumrichtungen. Im Gegensatz zur klassischen Physik kann in der Quantenmechanik zwischen zwei Arten des Drehimpulses unterschieden werden: Bahndrehimpuls und Spin (Eigendrehimpuls). Während der Bahndrehimpuls das quantenmechanische Analogon zum klassischen Drehimpuls ist, besitzt der Spin keine Entsprechung in der klassischen Physik. Bahn- und Eigendrehimpuls entstammen von der physikalischen Sichtweise her unterschiedlichen Gegebenheiten und folgen leicht unterschiedlichen physikalischen Gesetzen, besitzen aber dieselbe mathematische Struktur. (de)
  • En mécanique quantique le moment cinétique est défini comme un opérateur vectoriel (noté ) à trois composantes, correspondant chacune aux différentes dimensions de l'espace (opérateurs « scalaires »). Celles-ci obéissent entre elles à certaines relations de commutation. Ainsi, alors qu'en mécanique classique les trois composantes du moment cinétique peuvent être simultanément mesurées, ceci est impossible dans le cadre quantique. En fait, seuls peuvent être déterminés les états propres communs à l'opérateur donnant la somme des carrés des différentes composantes d'une part, et à une composante particulière donnée (par exemple ). (fr)
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  • مؤثر الزخم الزاوي (ar)
  • Drehimpuls (Quantenmechanik) (de)
  • Angular momentum operator (en)
  • Moment cinétique (mécanique quantique) (fr)
  • Operatore momento angolare (it)
  • 角運動量演算子 (ja)
  • 각운동량 연산자 (ko)
  • Operador de momento angular (pt)
  • 角動量算符 (zh)
  • Оператор кутового моменту (uk)
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