| dbo:abstract
|
- En matemàtiques, l'expressió 1 − 2 + 3 − 4 + ... és una sèrie matemàtica infinita, els termes de la qual són els nombres enters positius que alternen els seus signes. Utilitzant la notació matemàtica per a sumatoris, la suma dels m primers termes de la sèrie s'expressa com a: És una sèrie divergent, en el sentit que la successió de les sumes parcials (1, −1, 2, −2, ...) no té cap límit finit. En forma equivalent es diu que 1 − 2 + 3 − 4 + ... no té cap suma. Malgrat tot, a mitjans del segle xviii, Leonhard Euler planteja la relació següent qualificant-la de paradoxal: No serà fins molt de temps després que s'aconsegueix donar una explicació rigorosa d'aquesta equació. Fins al començament de la dècada del 1890, Ernesto Cesàro i Émile Borel, entre d'altres, investigaren mètodes ben definits per a trobar sumes generalitzades de les sèries divergents, incloses noves interpretacions dels intents realitzats per Leonhard Euler. Molts d'aquests mètodes anomenats de sumació assignen a (1 − 2 + 3 − 4 + ...) una "suma" de ¼. El mètode de suma de Cesàro és un dels pocs mètodes que no suma la sèrie 1 − 2 + 3 − 4 + ..., i per això aquesta sèrie és un exemple d'un cas en què s'ha d'utilitzar un mètode més robust com ara el mètode de sumació d'Abel. La sèrie 1 − 2 + 3 − 4 + ... es troba relacionada amb la sèrie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + ... Euler analitzà aquestes dues sèries com a casos especials de (1 − 2n + 3n − 4n + ...) per a valors de n arbitraris, una línia d'investigació que estén la seva contribució al problema de Basilea i condueix a les equacions funcionals del que es coneix actualment com a funció eta de Dirichlet i la funció zeta de Riemann. (ca)
- في الرياضيات، تشير صيغة 1 − 2 + 3 − 4 + ··· إلى متسلسة غير منتهية والتي تكون حدودها أعداد صحيحة موجبة ذات إشارة متناوبة. وباستخدام صيغة مجموع سيغما، يكون مجموع الحدود m الأولى من هذه المتسلسة معطى بالعلاقة: هذه المتسلسلة هي متسلسلة متباعدة، لأن المجاميع الجزئية لهذه المتسلسلة (1، -1، 2، -2...) لا تؤول إلى قيمة محدودة. على الرغم من ذلك فإن أويلر كتب في القرن الثامن عشر مفارقة تنص بأن المجموع الكلي لهذه المتسلسة هو 1/4 بالشكل: وظلت تلك المفارقة بدون إثبات لمدة طويلة. ومنذ عام 1890، قام إرنست سيزارو وإيميل بوريل وآخرون بدراسة طرق محددة لتعيين مجاميع عامة للمتسلسلات المتباعدة تتضمن تفسيرات جديدة لمحاولة أويلر. الكثير من تلك الطرق تحقق أن مجموع متسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... هو القيمة 1⁄4. كانت طريقة «مجموع سيزارو» من الطرق القلائل التي لم تعطي مجموعا لمتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ...، ولذلك تعد هذه المتسلسلة مثالا على المتسلسلات التي تحتاج إلى طريقة أقوى مثل مجموع آبل. متسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... مرتبطة ب متسلسلة غراندي 1 − 1 + 1 − 1 + .... تعامل أويلر مع هاتين المتسلسلتين كحالة خاصة من ( 1 − 2n + 3n − 4n + ...) لقيم اختيارية للمتغير n، وهناك أبحاث لتعميم عمله على معضلة بازل تؤدي إلى معادلة دالية لما يُعرف بـ دالة إيتا لدركليه و دالة زيتا لريمان. (ar)
- In mathematics, 1 − 2 + 3 − 4 + ··· is an infinite series whose terms are the successive positive integers, given alternating signs. Using sigma summation notation the sum of the first m terms of the series can be expressed as The infinite series diverges, meaning that its sequence of partial sums, (1, −1, 2, −2, ...), does not tend towards any finite limit. Nonetheless, in the mid-18th century, Leonhard Euler wrote what he admitted to be a paradoxical equation: A rigorous explanation of this equation would not arrive until much later. Starting in 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel and others investigated well-defined methods to assign generalized sums to divergent series—including new interpretations of Euler's attempts. Many of these summability methods easily assign to 1 − 2 + 3 − 4 + ... a "value" of 1/4. Cesàro summation is one of the few methods that do not sum 1 − 2 + 3 − 4 + ..., so the series is an example where a slightly stronger method, such as Abel summation, is required. The series 1 − 2 + 3 − 4 + ... is closely related to Grandi's series 1 − 1 + 1 − 1 + .... Euler treated these two as special cases of the more general sequence 1 − 2n + 3n − 4n + ..., where n = 1 and n = 0 respectively. This line of research extended his work on the Basel problem and leading towards the functional equations of what are now known as the Dirichlet eta function and the Riemann zeta function. (en)
- En matematikoj, la esprimo 1 − 2 + 3 − 4 + · · · estas senfina serio kies terminoj estas la pozitivaj entjeraj numeroj, tio estas naturaj numeroj, kiu ĝi alternas siajn signojn. Uzante matematikan notacion por sumatorias, la sumo de la unua m terminoj de la serio esprimas sin kiel: Estas diverĝa serio, en la senso ke la gamo de ĝiaj partaj sumoj (1, −1, 2, −2, …) ne inklinas neniun limon finito. En ekvivalenta formo oni diras ke 1 − 2 + 3 − 4 + · · · ne posedas sumon. Tamen, meze de la 18a jarcento, Leonhard Eŭlero malkovras la sekvan rilaton kvalifikante ĝin de paradoksa: Ne estos ĝis multa tempo poste kiu oni sukcesas sin doni kun strikta ekspliko de la rilato. Al komencoj de la jardeko de 1890, Ernesto Cesàro kaj Émile Borel inter aliaj, ili enketis metodojn bone difinitaj por trovi sumojn ĝeneraligitajn de la diverĝaj serioj – inkludante novajn interpretojn de la provoj realigitaj de Eŭlero. Multaj de ĉi tiuj metodoj nomitaj sumacion atribuas al (1 − 2 + 3 − 4 + · · ·) "sumo" de 1⁄4. La metodo de sumo de Cesàro estas unu el la malmultaj metodoj kiujn ne adicias la serio 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, tial ĉi tiu serio estas ekzemplo de kazo kie oni devas uzi pli fortikan metodon kiel ekzemple la metodo de sumo de abel. La serio 1 − 2 + 3 − 4 + · · · situas rilatigita kun la serio de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Eŭlero analizis ĉi tiujn du seriojn kiel specialajn kazojn de (1 − 2n + 3n − 4n + · · ·) por arbitraj valoroj de n, linio de esploro kiu etendas sian kontribuon al la problemo de Basilea kaj stiras al la funkciaj ekvacioj de kion ni konas hodiaŭ kiel la funkcio eta de Dirichlet kaj la funkcio zo de Riemann. (eo)
- Eulers alternierende Reihen sind ein mathematisches Paradoxon. Sie befassen sich mit divergenten Reihen, die scheinbar konvergent sind. Des Weiteren stellte Leonhard Euler dabei eine Beziehung zwischen den alternierenden Reihen potenzierter natürlicher Zahlen und denen der potenzierten Reziproken natürlicher Zahlen auf. Eine Erklärung des Paradoxons liegt in der Umordnung von Reihen. (de)
- En matemáticas, la expresión 1 − 2 + 3 − 4 + · · · es una serie infinita cuyos términos son los números enteros, alternando signos. Utilizando la notación matemática para sumatorias, la suma de los primeros m términos de la serie se expresa como: Es una serie divergente, en el sentido de que la sucesión de sus sumas parciales (1, −1, 2, −2, …) no tiende a ningún límite finito. De forma equivalente se dice que 1 − 2 + 3 − 4 + · · · no posee suma. Sin embargo, a mediados del siglo XVIII, Leonhard Euler «demostró» la siguiente relación, calificándola de paradójica: No sería hasta mucho tiempo después que se lograría dar con una explicación rigurosa de dicha relación. Hacia comienzos de la década de 1890, Ernesto Cesàro y Émile Borel entre otros, investigaron métodos bien definidos para encontrar sumas generalizadas de las series divergentes – incluyendo nuevas interpretaciones de los intentos realizados por Euler. Muchos de estos métodos denominados de sumación le asignan a 1 − 2 + 3 − 4 + · · · una «suma» de 1⁄4. El método de suma de Cesàro es uno de los pocos métodos que no suma la serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, por lo que esta serie es un ejemplo de un caso donde debe utilizarse un método más robusto como por ejemplo el método de suma de Abel. La serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · se encuentra relacionada con la serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Euler analizó estas dos series como casos especiales de (1 − 2n + 3n − 4n + · · ·) para valores de n arbitrarios, una línea de investigación que extiende su contribución al problema de Basilea y conduce a las ecuaciones funcionales de lo que conocemos hoy como la función eta de Dirichlet y la función zeta de Riemann. (es)
- Dalam matematika, 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ adalah deret tak hingga yang suku-sukunya berupa bilangan bulat positif berurutan makin besar serta bernilai positif dan negatif secara selang-seling. Dengan notasi jumlah sigma, jumlah suku pertama m dapat dijabarkan menjadi Deret tak hingga bersifat menyebar (divergen), artinya barisan jumlah parsialnya, (1, −1, 2, −2, ...), cenderung tidak punya terhingga apapun. Namun pada abad ke-18, Leonhard Euler menulis sesuatu yang ia akui sebagai suatu : Penjelasan yang lebih mengenai persamaan ini baru muncul kemudian. Sejak 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel, dan ilmuwan lainnya mencari metode yang untuk menerapkan penjumlahan umum pada deret divergen—termasuk penafsiran baru mengenai metode-metode Euler. Banyak metode keterjumlahan (summability) yang dengan mudahnya menerapkan "jumlah" 1⁄4 pada 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯. adalah satu dari sedikit sekali metode yang tidak menjumlahkan 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, dan deret tersebut menjadi contoh perlunya suatu metode yang agak lebih kuat seperti penjumlahan Abel. Deret 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ sangat terkait dengan deret Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯. Euler menyebut keduanya sebagai kasus istimewa 1 − 2n + 3n − 4n + ... untuk masing-masing n = 1 dan n = 0, yaitu rangkaian penelitian yang memperluas hasil penelitiannya tentang dan mengarah pada yang kita kenal sebagai dan fungsi zeta Riemann. (in)
- En mathématiques, la série alternée des entiers est la série associée à la suite des nombres entiers (strictement positifs), affectés de signes alternés. Les termes de cette série peuvent donc s'écrire sous la forme : Cette série est divergente, c'est-à-dire que la suite des sommes partielles qui forme la suite est une suite divergente et n'admet donc pas de limite finie. Cependant, au cours du XVIIIe siècle, Leonhard Euler écrivit l'identité suivante, qu'il qualifia de paradoxale : Aucune justification rigoureuse de cette identité n'était alors disponible. En 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel et d'autres recherchèrent des méthodes générales pour sommer des séries divergentes, c'est-à-dire donner une valeur à leur somme. Dans le cas de la série 1 – 2 + 3 – 4 + …, nombre de ces méthodes aboutissent bien à la valeur 1⁄4, par exemple la sommation d'Abel, mais d'autres non, comme le lemme de Cesàro, qui échoue à déterminer une somme. Cette série et la série de Grandi sont liées et Euler les considérait comme des cas particuliers des séries de puissances alternées (1 − 2n + 3n − 4n + …, pour n entier positif quelconque). Cette étude prenait racine dans le problème de Bâle, pour en venir à considérer les équations fonctionnelles des fonctions êta de Dirichlet et zêta de Riemann. (fr)
- In matematica, 1 − 2 + 3 − 4 + ... è la serie infinita i cui termini sono la successione dei numeri interi a segno alternato. Usando la notazione di sommatoria, la somma dei primi termini della serie può essere espressa nel seguente modo: Le somme parziali di questa serie infinita (1, −1, 2, −2, ...), non tendono verso un limite, né finito, né infinito. In questo caso si può dire che 1 − 2 + 3 − 4 + ... è una serie indeterminata (o irregolare). Nella metà del XVIII secolo, Leonhard Euler enunciò quella che lui definiva un'equazione paradossale: Una corretta spiegazione di questa equazione arrivò solo molto più tardi. Nel 1890, Ernesto Cesaro, Émile Borel e altri matematici definirono i metodi per estendere il concetto di sommabilità secondo un punto di vista che rendeva possibile attribuire un limite anche a serie fino ad allora intrattabili. Questi nuovi metodi davano nuove interpretazioni all'equazione di Eulero. Molti di questi metodi sono riferiti alle somme parziali di 1 − 2 + 3 − 4 + ..., a cui assegnano il valore di 1⁄4. Nella somma di Cesaro, invece, i termini della successione non sono sommabili; questo è un esempio di successione per cui si rendono necessari metodi di sommabilità leggermente più forti, come ad esempio quelli della . La serie 1 − 2 + 3 − 4 + … è strettamente legata alla serie 1 − 1 + 1 − 1 + …, nota più comunemente come serie di Grandi. Eulero considerò queste due successioni come casi particolari della serie 1n − 2n + 3n − 4n + …, per valori arbitrari di n. Queste idee estesero il suo studio del problema di Basilea indirizzarono la ricerca sulle equazioni funzionali delle funzioni che ora sono note come funzione eta di Dirichlet e funzione zeta di Riemann. (it)
- 1−2+3−4+…는 다음과 같은 식으로 표현되는 무한급수이다. 위 급수는 발산한다. 즉, 위 급수의 부분합 수열 {1, -1, 2, -2, ...}이 극한값을 가지지 않는다는 뜻이다. 실제로 이 수열이 진동하며 발산한다는 것을 쉽게 이해할 수 있다. (ko)
- 1−2+3−4+… は無限級数の一つで、項番号と同じ自然数が各項に現れる交項級数として以下の式で表される。 その部分和は 1, −1, 2, −2, 3, −3, … と一定の値に近づくことはないので、この級数は発散するというのが一般的な解釈である。しかし計算方法によってはこの級数が収束すると考えることもでき、その場合の収束値は 1/4 である。これは18世紀にレオンハルト・オイラーによって発見された。その後エミール・ボレルらによって厳密な研究が行われ、その他の部分和が収束しない級数（1−1+1−1+… など）の収束値についても考察がなされた。 (ja)
- In de wiskunde is 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ de reeks waarvan de termen de opeenvolgende positieve gehele getallen zijn met alternerend teken. De partiële som van de eerste m termen kan compact worden uitgedrukt als De reeks divergeert, wat betekent dat de rij van de partiële sommen, (1, −1, 2, −2, …), niet convergeert naar een eindige . Niettemin schreef Leonhard Euler in het midden van de 18e eeuw de volgende vergelijking op, waarvan hij toegaf dat het een was: Een uitleg van deze vergelijking zou pas veel later komen. Vanaf 1890 zochten Ernesto Cesàro, Émile Borel en anderen naar goed gedefinieerde methoden om gegeneraliseerde sommen toe te wijzen aan divergente reeksen — met inbegrip van nieuwe interpretaties van Eulers pogingen. Veel van deze methoden komen uiteindelijk op eenvoudige wijze uit op 14 als 'som' van 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯. De is een van de weinige methoden die voor 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ niet op 14 uitkomt, en de reeks is dus een voorbeeld van een reeks waar een iets sterkere methode, zoals de Abel-sommatie, is vereist. De reeks 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ is nauw verwant aan de Grandi-reeksen 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯. Euler behandelde deze twee als speciale gevallen van 1 − 2n + 3n − 4n + ⋯ voor willekeurige n, een onderzoek dat voortborduurde op zijn werkzaamheden aan het Bazel-probleem en dat leidde naar de functionaalvergelijkingen voor wat men nu kent als de Dirichlet-èta-functie en de Riemann-zèta-functie. (nl)
- Знакочередующийся ряд натуральных чисел — знакочередующийся ряд, слагаемые которого по модулю представляют собой последовательные натуральные числа и имеют чередующийся знак: 1 − 2 + 3 − 4 + …. Частичная сумма с номером m этого ряда описывается выражением: . Такой числовой ряд расходится, то есть частичные суммы ряда не стремятся ни к какому конечному пределу. Тем не менее, в середине XVIII века Леонард Эйлер предложил выражение, которое он охарактеризовал как «парадоксальное»: Математический аппарат, позволяющий интерпретировать это выражение, был разработан гораздо позже. Начиная с 1890 года Чезаро, Борель и другие математики строго сформулировали методы получения обобщённых сумм расходящихся рядов, а также дополнили идеи Эйлера новыми интерпретациями. Многие из этих методов для суммы ряда дают результат, равный 1⁄4. Суммирование по Чезаро является одним из немногих методов, который не позволяет определить сумму 1 − 2 + 3 − 4 + ... Таким образом, чтобы получить конечную сумму обобщенным методом суммирования для этого ряда, требуется иной подход, например применение . Знакочередующийся натуральный ряд тесно связан с рядом Гранди (1 − 1 + 1 − 1 + …). Эйлер трактовал эти ряды как два частных случая ряда 1 − 2n + 3n − 4n + …, который он изучал для произвольного n, работая над Базельской проблемой, и получил функциональные уравнения для функций, известных ныне как эта-функция Дирихле и дзета-функция Римана. (ru)
- Em matemática a expressão, 1 − 2 + 3 − 4 + … é uma série infinita cujos termos são números inteiros, que vão alternando seus sinais. Utilizando a notação matemática para adição, a soma dos m primeiros termos da série se expressa como: A série infinita diverge, no sentido que a seqüência de suas somas parciais (1, −1, 2, −2, …) não tende a nenhum limite finito. De forma equivalente, poder-se-ia dizer que 1 − 2 + 3 − 4 + … não possui soma no sentido usual do termo. Contudo, em meados do século XVIII, Leonhard Euler descobriu a seguinte relação qualificando-a de paradoxal: Foi somente muito tempo depois que se chegou a uma explicação rigorosa desta relação. Até o começo da década de 1890, Ernesto Cesàro e Émile Borel, entre outros, pesquisaram métodos bem definidos para atribuir somas generalizadas às séries divergentes — incluindo novas interpretações dos intentos realizados por Euler. Muitos destes métodos denominados da soma atribuem a (1 − 2 + 3 − 4 + …) uma "soma" de ¹⁄4. O método da soma de Cesàro é um dos poucos métodos que não soma a série 1 − 2 + 3 − 4 + …, por isso, esta série é um exemplo de um caso onde deve utilizar-se um método mais robusto como, por exemplo, o método da soma de Abel. A série 1 − 2 + 3 − 4 + … encontra-se relacionada com a série de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + …. Euler analisou estas duas séries como casos especiais de (1 − 2n + 3n − 4n + …) para valores de n aleatórios, uma linha de investigação que estende sua contribuição ao problema da Basiléia e conduz às equações funcionais do que conhecemos hoje como a função eta de Dirichlet e a função zeta de Riemann. (pt)
- Szereg 1 – 2 + 3 – 4 + ... – nieskończony szereg, którego wyrazami są kolejne liczby całkowite dodatnie, wzięte z przemiennym znakiem. Zapisując standardowo sumowanie z użyciem wielkiej litery sigma -tą sumę częściową tego szeregu wyrazić wzorem: Szereg ten jest rozbieżny, tzn. nie istnieje granica ciągu jego sum częściowych, tj. nie istnieje granica ciągu Mimo to, w połowie XVIII wieku Leonhard Euler napisał równanie, które sam nazwał paradoksalnym: Ścisłe objaśnienie tego równania pojawiło się jednak znacznie później. Dopiero po 1890 roku Ernesto Cesàro, Émile Borel i inni badali ściśle określone metody przypisywania uogólnionych sum szeregom rozbieżnym – w tym obejmujące nowe interpretacje prób Eulera. Mimo wszystko wiele tych metod łatwo przypisuje szeregowi „sumę” Sumowalność metodą Cesàro jest jedną z kilku metod, które nie definiują sumy dla szeregu tak, że szereg jest przykładem wymagającym metody nieco silniejszej, takiej jak . Szereg jest blisko związany z szeregiem Grandiego Euler omawiał je jako specjalne przypadki dla dowolnego Ten kierunek badań rozszerzył jego prace na problem bazylejski, wiodąc ku równaniom funkcyjnym, których rozwiązania dziś znane są jako funkcja „eta” Dirichleta oraz funkcja „dzeta” Riemanna. (pl)
- 1 - 2 + 3 - 4 + ... är en serie vars termer är successiva heltal med alternerande tecken. Summan av de första m termerna i serien kan uttryckas som Serien divergerar vilket betyder att följden av partiella summor, (1, −1, 2, −2, …), inte går mot någon ändlig gräns. Ekvivalent säger man att 1 - 2 + 3 - 4 + ... saknar en summa. Dock skrev Leonhard Euler under mitten av 1700-talet ner vad han ansåg var en : En rigorös förklaring av ekvationen kom inte förrän långt därefter. 1890 började Ernesto Cesàro, Émile Borel med flera undersöka väldefinierade metoder för att utpeka generaliserade summor till alternerande serier, däribland fanns nya tolkningar från Eulers försök. Många av dessa summeringsmetoder tilldelar vanligtvis 1 - 2 + 3 - 4 + ... värdet 1⁄4. Cesàrosummering är en av de få metoder som inte summerar 1 - 2 + 3 - 4 + ..., så serien är ett exempel där en starkare metod, exempelvis , krävs. Serien är nära relaterad till Grandis serie 1 - 1 + 1 - 1 + .... Euler behandlade de två som speciella fall av för godtyckliga n i en rad efterforskningar som utökade hans arbete av Baselproblemet och ledde till funktionalekvationerna för vad som idag är känt som Dirichlets etafunktion och Riemanns zetafunktion. (sv)
- 1 − 2 + 3 − 4 + … — знакопереміжний ряд, членами якого є цілі числа. Часткова сума з номером m цього ряду описується виразом: Такий нескінченний ряд є розбіжним, тобто часткові суми ряду не прямують ні до якої скінкінченої границі. Однак, у середині 18-го століття Леонард Ейлер запропонував вираз, який він охарактеризував як «парадоксальний»: Цей знакозмінний (а точніше — знакопереміжний) ряд тісно пов'язаний із рядом Гранді (1 − 1 + 1 − 1 + …). Ейлер трактував ці ряди як два окремих випадки ряду 1 − 2n + 3n − 4n + …, який він вивчав для довільного n, працюючи над Базельською проблемою, і отримав функціональні рівняння для функцій, відомих нині як і дзета-функція Рімана. (uk)
- 在数学中，1 − 2 + 3 − 4 + …表示以由小到大的接续正整數，依次加後又減、減後又加，如此反复所構成的無窮級數。它是交錯級數，若以Σ符号表示前m项之和，可写作： 此无穷级数发散，即其部分和的序列（1, −1, 2, −2, …）不会趋近于任一有穷极限。也就是說，單從極限的角度看的話，1 − 2 + 3 − 4 + …不存在和。不过，在18世纪中期，莱昂哈德·欧拉写出了一个他承认为悖论的等式： 该等式的严谨解释在很久以后才出现。自1890年起，恩纳斯托·切萨罗、埃米尔·博雷尔与其他一些数学家就在研究有哪些定义良好的方法，可以给发散级数賦予广义和——其中包含了对欧拉结果的新解释。这些求和法大部分可简单地指定1 − 2 + 3 − 4 + …的“和”為1⁄4。切萨罗求和是少数几种不能计算出1 − 2 + 3 − 4 + …之和的方法，因为此级数求和需要某个略强的方法——譬如阿贝耳求和。 级数1 − 2 + 3 − 4 + …与格蘭迪級數1 − 1 + 1 − 1 + …有紧密的联系。欧拉将这两个级数当作1 − 2n + 3n − 4n + …的特例（其中n为任意自然数），这个级数既直接扩展了他在巴塞尔问题上所做的工作，同时也引出了我们现在所知的狄利克雷η函数和黎曼ζ函数。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Eulers alternierende Reihen sind ein mathematisches Paradoxon. Sie befassen sich mit divergenten Reihen, die scheinbar konvergent sind. Des Weiteren stellte Leonhard Euler dabei eine Beziehung zwischen den alternierenden Reihen potenzierter natürlicher Zahlen und denen der potenzierten Reziproken natürlicher Zahlen auf. Eine Erklärung des Paradoxons liegt in der Umordnung von Reihen. (de)
- 1−2+3−4+…는 다음과 같은 식으로 표현되는 무한급수이다. 위 급수는 발산한다. 즉, 위 급수의 부분합 수열 {1, -1, 2, -2, ...}이 극한값을 가지지 않는다는 뜻이다. 실제로 이 수열이 진동하며 발산한다는 것을 쉽게 이해할 수 있다. (ko)
- 1−2+3−4+… は無限級数の一つで、項番号と同じ自然数が各項に現れる交項級数として以下の式で表される。 その部分和は 1, −1, 2, −2, 3, −3, … と一定の値に近づくことはないので、この級数は発散するというのが一般的な解釈である。しかし計算方法によってはこの級数が収束すると考えることもでき、その場合の収束値は 1/4 である。これは18世紀にレオンハルト・オイラーによって発見された。その後エミール・ボレルらによって厳密な研究が行われ、その他の部分和が収束しない級数（1−1+1−1+… など）の収束値についても考察がなされた。 (ja)
- 在数学中，1 − 2 + 3 − 4 + …表示以由小到大的接续正整數，依次加後又減、減後又加，如此反复所構成的無窮級數。它是交錯級數，若以Σ符号表示前m项之和，可写作： 此无穷级数发散，即其部分和的序列（1, −1, 2, −2, …）不会趋近于任一有穷极限。也就是說，單從極限的角度看的話，1 − 2 + 3 − 4 + …不存在和。不过，在18世纪中期，莱昂哈德·欧拉写出了一个他承认为悖论的等式： 该等式的严谨解释在很久以后才出现。自1890年起，恩纳斯托·切萨罗、埃米尔·博雷尔与其他一些数学家就在研究有哪些定义良好的方法，可以给发散级数賦予广义和——其中包含了对欧拉结果的新解释。这些求和法大部分可简单地指定1 − 2 + 3 − 4 + …的“和”為1⁄4。切萨罗求和是少数几种不能计算出1 − 2 + 3 − 4 + …之和的方法，因为此级数求和需要某个略强的方法——譬如阿贝耳求和。 级数1 − 2 + 3 − 4 + …与格蘭迪級數1 − 1 + 1 − 1 + …有紧密的联系。欧拉将这两个级数当作1 − 2n + 3n − 4n + …的特例（其中n为任意自然数），这个级数既直接扩展了他在巴塞尔问题上所做的工作，同时也引出了我们现在所知的狄利克雷η函数和黎曼ζ函数。 (zh)
- في الرياضيات، تشير صيغة 1 − 2 + 3 − 4 + ··· إلى متسلسة غير منتهية والتي تكون حدودها أعداد صحيحة موجبة ذات إشارة متناوبة. وباستخدام صيغة مجموع سيغما، يكون مجموع الحدود m الأولى من هذه المتسلسة معطى بالعلاقة: هذه المتسلسلة هي متسلسلة متباعدة، لأن المجاميع الجزئية لهذه المتسلسلة (1، -1، 2، -2...) لا تؤول إلى قيمة محدودة. على الرغم من ذلك فإن أويلر كتب في القرن الثامن عشر مفارقة تنص بأن المجموع الكلي لهذه المتسلسة هو 1/4 بالشكل: (ar)
- En matemàtiques, l'expressió 1 − 2 + 3 − 4 + ... és una sèrie matemàtica infinita, els termes de la qual són els nombres enters positius que alternen els seus signes. Utilitzant la notació matemàtica per a sumatoris, la suma dels m primers termes de la sèrie s'expressa com a: És una sèrie divergent, en el sentit que la successió de les sumes parcials (1, −1, 2, −2, ...) no té cap límit finit. En forma equivalent es diu que 1 − 2 + 3 − 4 + ... no té cap suma. Malgrat tot, a mitjans del segle xviii, Leonhard Euler planteja la relació següent qualificant-la de paradoxal: (ca)
- In mathematics, 1 − 2 + 3 − 4 + ··· is an infinite series whose terms are the successive positive integers, given alternating signs. Using sigma summation notation the sum of the first m terms of the series can be expressed as The infinite series diverges, meaning that its sequence of partial sums, (1, −1, 2, −2, ...), does not tend towards any finite limit. Nonetheless, in the mid-18th century, Leonhard Euler wrote what he admitted to be a paradoxical equation: (en)
- En matematikoj, la esprimo 1 − 2 + 3 − 4 + · · · estas senfina serio kies terminoj estas la pozitivaj entjeraj numeroj, tio estas naturaj numeroj, kiu ĝi alternas siajn signojn. Uzante matematikan notacion por sumatorias, la sumo de la unua m terminoj de la serio esprimas sin kiel: Estas diverĝa serio, en la senso ke la gamo de ĝiaj partaj sumoj (1, −1, 2, −2, …) ne inklinas neniun limon finito. En ekvivalenta formo oni diras ke 1 − 2 + 3 − 4 + · · · ne posedas sumon. Tamen, meze de la 18a jarcento, Leonhard Eŭlero malkovras la sekvan rilaton kvalifikante ĝin de paradoksa: (eo)
- En matemáticas, la expresión 1 − 2 + 3 − 4 + · · · es una serie infinita cuyos términos son los números enteros, alternando signos. Utilizando la notación matemática para sumatorias, la suma de los primeros m términos de la serie se expresa como: Es una serie divergente, en el sentido de que la sucesión de sus sumas parciales (1, −1, 2, −2, …) no tiende a ningún límite finito. De forma equivalente se dice que 1 − 2 + 3 − 4 + · · · no posee suma. Sin embargo, a mediados del siglo XVIII, Leonhard Euler «demostró» la siguiente relación, calificándola de paradójica: (es)
- Dalam matematika, 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ adalah deret tak hingga yang suku-sukunya berupa bilangan bulat positif berurutan makin besar serta bernilai positif dan negatif secara selang-seling. Dengan notasi jumlah sigma, jumlah suku pertama m dapat dijabarkan menjadi Deret tak hingga bersifat menyebar (divergen), artinya barisan jumlah parsialnya, (1, −1, 2, −2, ...), cenderung tidak punya terhingga apapun. Namun pada abad ke-18, Leonhard Euler menulis sesuatu yang ia akui sebagai suatu : (in)
- En mathématiques, la série alternée des entiers est la série associée à la suite des nombres entiers (strictement positifs), affectés de signes alternés. Les termes de cette série peuvent donc s'écrire sous la forme : Cette série est divergente, c'est-à-dire que la suite des sommes partielles qui forme la suite est une suite divergente et n'admet donc pas de limite finie. Cependant, au cours du XVIIIe siècle, Leonhard Euler écrivit l'identité suivante, qu'il qualifia de paradoxale : (fr)
- In matematica, 1 − 2 + 3 − 4 + ... è la serie infinita i cui termini sono la successione dei numeri interi a segno alternato. Usando la notazione di sommatoria, la somma dei primi termini della serie può essere espressa nel seguente modo: Le somme parziali di questa serie infinita (1, −1, 2, −2, ...), non tendono verso un limite, né finito, né infinito. In questo caso si può dire che 1 − 2 + 3 − 4 + ... è una serie indeterminata (o irregolare). Nella metà del XVIII secolo, Leonhard Euler enunciò quella che lui definiva un'equazione paradossale: (it)
- In de wiskunde is 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ de reeks waarvan de termen de opeenvolgende positieve gehele getallen zijn met alternerend teken. De partiële som van de eerste m termen kan compact worden uitgedrukt als De reeks divergeert, wat betekent dat de rij van de partiële sommen, (1, −1, 2, −2, …), niet convergeert naar een eindige . Niettemin schreef Leonhard Euler in het midden van de 18e eeuw de volgende vergelijking op, waarvan hij toegaf dat het een was: (nl)
- Szereg 1 – 2 + 3 – 4 + ... – nieskończony szereg, którego wyrazami są kolejne liczby całkowite dodatnie, wzięte z przemiennym znakiem. Zapisując standardowo sumowanie z użyciem wielkiej litery sigma -tą sumę częściową tego szeregu wyrazić wzorem: Szereg ten jest rozbieżny, tzn. nie istnieje granica ciągu jego sum częściowych, tj. nie istnieje granica ciągu Mimo to, w połowie XVIII wieku Leonhard Euler napisał równanie, które sam nazwał paradoksalnym: (pl)
- 1 - 2 + 3 - 4 + ... är en serie vars termer är successiva heltal med alternerande tecken. Summan av de första m termerna i serien kan uttryckas som Serien divergerar vilket betyder att följden av partiella summor, (1, −1, 2, −2, …), inte går mot någon ändlig gräns. Ekvivalent säger man att 1 - 2 + 3 - 4 + ... saknar en summa. Dock skrev Leonhard Euler under mitten av 1700-talet ner vad han ansåg var en : (sv)
- Em matemática a expressão, 1 − 2 + 3 − 4 + … é uma série infinita cujos termos são números inteiros, que vão alternando seus sinais. Utilizando a notação matemática para adição, a soma dos m primeiros termos da série se expressa como: A série infinita diverge, no sentido que a seqüência de suas somas parciais (1, −1, 2, −2, …) não tende a nenhum limite finito. De forma equivalente, poder-se-ia dizer que 1 − 2 + 3 − 4 + … não possui soma no sentido usual do termo. Contudo, em meados do século XVIII, Leonhard Euler descobriu a seguinte relação qualificando-a de paradoxal: (pt)
- Знакочередующийся ряд натуральных чисел — знакочередующийся ряд, слагаемые которого по модулю представляют собой последовательные натуральные числа и имеют чередующийся знак: 1 − 2 + 3 − 4 + …. Частичная сумма с номером m этого ряда описывается выражением: . Такой числовой ряд расходится, то есть частичные суммы ряда не стремятся ни к какому конечному пределу. Тем не менее, в середине XVIII века Леонард Эйлер предложил выражение, которое он охарактеризовал как «парадоксальное»: (ru)
- 1 − 2 + 3 − 4 + … — знакопереміжний ряд, членами якого є цілі числа. Часткова сума з номером m цього ряду описується виразом: Такий нескінченний ряд є розбіжним, тобто часткові суми ряду не прямують ні до якої скінкінченої границі. Однак, у середині 18-го століття Леонард Ейлер запропонував вираз, який він охарактеризував як «парадоксальний»: (uk)
|
