| dbo:abstract
|
- Das Subdifferential ist eine Verallgemeinerung des Gradienten auf nicht differenzierbare konvexe Funktionen. Das Subdifferential spielt eine wichtige Rolle in der konvexen Analysis sowie der konvexen Optimierung. (de)
- En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le sous-différentiel est un concept permettant de décrire la variation locale d'une fonction convexe (à valeurs réelles donc) non nécessairement différentiable dans un sens classique, celui auquel on attache aujourd'hui le nom de Fréchet. Au lieu d'être la pente de l'application linéaire tangente (c'est-à-dire, la dérivée) au point considéré, qui n'existe pas nécessairement, le sous-différentiel d'une fonction convexe est l'ensemble des pentes de toutes les minorantes affines de la fonction, qui sont exactes en ce point, c'est-à-dire qui ont en ce point la même valeur que la fonction convexe qu'elles minorent. Dans cette description, le mot pente peut être entendu comme un élément de l'espace dual. La convexité de la fonction assure qu'on peut lui trouver des minorantes affines exactes en presque tout point de son domaine ; on met donc à profit cette propriété pour définir le sous-différentiel. Si l'on peut trouver une minorante affine exacte en un point donné, on dit que la fonction convexe est sous-différentiable en ce point. On sait que la notion de dérivée est fondamentale en analyse car elle permet d'approcher localement des fonctions par des modèles linéaires, plus simples à étudier. Ces modèles fournissent des renseignements sur les fonctions qu'ils approchent, si bien que de nombreuses questions d'analyse passent par l'étude des fonctions linéarisées (stabilité, inversibilité locale, etc). On rencontre beaucoup de fonctions convexes qui ne sont pas différentiables au sens classique, en particulier lorsque celles-ci résultent de constructions qui n'ont rien pour assurer la différentiabilité des fonctions qu'elles produisent. Il en est ainsi de la fonction duale associée à un problème d'optimisation sous contraintes, pour en citer un exemple emblématique. Pour ces fonctions convexes non lisses, le sous-différentiel joue donc un rôle similaire à celui de la dérivée des fonctions plus régulières. La notion de sous-différentiel connaît diverses extensions aux fonctions non nécessairement convexes, par exemple aux fonctions localement lipschitziennes. Connaissances supposées : l'algèbre linéaire, le calcul différentiel (notamment les propriétés de la dérivée directionnelle au sens de Dini pour les fonctions convexes prenant des valeurs infinies), les bases de l'analyse convexe (notamment les principales notions attachées aux ensembles et aux fonctions convexes, mais surtout la notion de fonction conjuguée). (fr)
- In mathematics, the subderivative, subgradient, and subdifferential generalize the derivative to convex functions which are not necessarily differentiable. Subderivatives arise in convex analysis, the study of convex functions, often in connection to convex optimization. Let be a real-valued convex function defined on an open interval of the real line. Such a function need not be differentiable at all points: For example, the absolute value function f(x)=|x| is nondifferentiable when x=0. However, as seen in the graph on the right (where f(x) in blue has non-differentiable kinks similar to the absolute value function), for any x0 in the domain of the function one can draw a line which goes through the point (x0, f(x0)) and which is everywhere either touching or below the graph of f. The slope of such a line is called a subderivative (because the line is under the graph of f). (en)
- 수학에서 하방미분(subdifferential, subderivative)은 미분을 일반화하여 미분가능하지 않은 볼록 함수에 적용할 수 있도록 하는 방법이다. 볼록 최적화 등 볼록 함수를 연구하는 해석에서 중요하게 사용된다. (ko)
- 数学において劣微分（れつびぶん、英: subderivative, subdifferential）とは一般の微分の概念を微分不可能な関数に対して拡張した考え方である。一般の関数の微分は関数であるが、劣微分の値は集合となる。劣微分は凸解析の分野で広く用いられており、凸最適化と深い関係を持つ。 ある開区間 I 上の必ずしも全ての点で微分可能でない凸関数 f: I→R を考える。例えば絶対値を返す関数 f(x) = |x| などは x = 0 では微分不可能である。しかしながら右の図に示す通り、微分不可能な点を通り、その近傍の点とは接するか、あるいは下を通るような直線の集合を考えることができる．この直線それぞれの傾きの集合が劣微分の値となる．もし関数が下に凸ではなく上に凸である場合にも劣微分の定義は適用可能であるが、それはあまり重要な意味を持たないため、多くの場合、凸関数に対してのみ劣微分が定義される． (ja)
- Il subdifferenziale è un concetto matematico utilizzato nello studio delle funzioni convesse. Una funzione convessa (in blu) e due rette di supporto (in rosso) Sia una funzione convessa non necessariamente differenziabile; si definisce il subdifferenziale di f in x0 come: Si dice che è un subgradiente in x0. Un subgradiente quindi individua un iperpiano di supporto al grafico della funzione, e viceversa. Ad esempio in R un subgradiente è il coefficiente angolare della tangente al grafico in x0 (o la derivata della funzione che la definisce), come mostrato in figura; analogamente in Rn un subgradiente è il gradiente di un iperpiano di supporto. Il subdifferenziale così definito è una diretta generalizzazione del caso differenziabile, infatti se f è differenziabile il subdifferenziale contiene solo il gradiente della funzione. Inoltre in questo casoil membro destro della diseguaglianza che definisce un subgradiente è un'approssimazione di Taylor troncata al primo ordine. Tuttavia generalizzando si perdono alcune proprietà; il subdifferenziale infatti non è più un operatore differenziale ma un insieme. Il subdifferenziale gode di alcune utili proprietà:
* se la funzione è convessa (continua) allora in ogni punto esiste un subgradiente,
* se 0 è un subgradiente di f in x allora x è un minimo globale di f,
* se x è un minimo globale di f allora 0 è un subgradiente di f in x,
* è un insieme convesso. I subgradienti, comunque, non sono generalmente unici. In particolare, quando la funzione non è differenziabile, posso esistere più iperpiani di supporto al grafico della funzione (come mostrato in figura). Pertanto anche un punto di minimo può avere un subgradiente non nullo. (it)
- Subróżniczka, subgradient, subpochodna (podróżniczka, podgradient, podpochodna) – pojęcia pojawiające się w analizie wypukłej, czyli badaniu funkcji wypukłych, często w powiązaniu z . (pl)
- Em matemática, os conceitos de subderivada, subgradiente, e subdiferencial surgem em , que é, no estudo de funções convexas, frequentemente conexa à . Fazendo-se f:I→R ser uma função convexa expressa no real definida sobre um intervalo aberto da reta dos reais. Tal função pode não ser necessariamente diferenciável em todos os pontos, como por exemplo, o valor absoluto, f(x)=|x|. Entretanto, como visto na imagem à direita (a qual pode ser demonstrada rigorosamente), para qualquer x0 no domínio da função pode-se traçar uma linha a qual cruza o ponto (x0, f(x0)) e a qual é em qualquer lugar tanto toca ou abaixo do gráfico de f. O coeficiente angular desta linha é chamado uma subderivada (porque a linha está sob o gráfico de f). (pt)
- Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом. Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E*. (ru)
- Subgradient är ett matematiskt begrepp som generaliserar derivata och gradient till funktioner som inte är deriverbara. Begreppet används mycket inom . (sv)
- У математиці, зокрема, в опуклому аналізі, поняття субдиференціалу та субградієнту є узагальненнями відповідних понять диференціалу та градієнту класичного аналізу. (uk)
- 次导数（subderivative）、次微分（subdifferential）、次切線（subtangent lines）和次梯度（subgradient）的概念出现在，也就是凸函数的研究中。 要注意的是，次切線（subtangent lines）和次切距（subtangent）是不同的。 设f:I→R是一个实变量凸函数，定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的，例如绝对值函数f(x)=|x|。但是，从右面的图中可以看出（也可以严格地证明），对于定义域中的任何x0，我们总可以作出一条直线，它通过点(x0, f(x0))，并且要么接触f的图像，要么在它的下方。这条直线的斜率称为函数的次导数。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Das Subdifferential ist eine Verallgemeinerung des Gradienten auf nicht differenzierbare konvexe Funktionen. Das Subdifferential spielt eine wichtige Rolle in der konvexen Analysis sowie der konvexen Optimierung. (de)
- 수학에서 하방미분(subdifferential, subderivative)은 미분을 일반화하여 미분가능하지 않은 볼록 함수에 적용할 수 있도록 하는 방법이다. 볼록 최적화 등 볼록 함수를 연구하는 해석에서 중요하게 사용된다. (ko)
- 数学において劣微分（れつびぶん、英: subderivative, subdifferential）とは一般の微分の概念を微分不可能な関数に対して拡張した考え方である。一般の関数の微分は関数であるが、劣微分の値は集合となる。劣微分は凸解析の分野で広く用いられており、凸最適化と深い関係を持つ。 ある開区間 I 上の必ずしも全ての点で微分可能でない凸関数 f: I→R を考える。例えば絶対値を返す関数 f(x) = |x| などは x = 0 では微分不可能である。しかしながら右の図に示す通り、微分不可能な点を通り、その近傍の点とは接するか、あるいは下を通るような直線の集合を考えることができる．この直線それぞれの傾きの集合が劣微分の値となる．もし関数が下に凸ではなく上に凸である場合にも劣微分の定義は適用可能であるが、それはあまり重要な意味を持たないため、多くの場合、凸関数に対してのみ劣微分が定義される． (ja)
- Subróżniczka, subgradient, subpochodna (podróżniczka, podgradient, podpochodna) – pojęcia pojawiające się w analizie wypukłej, czyli badaniu funkcji wypukłych, często w powiązaniu z . (pl)
- Em matemática, os conceitos de subderivada, subgradiente, e subdiferencial surgem em , que é, no estudo de funções convexas, frequentemente conexa à . Fazendo-se f:I→R ser uma função convexa expressa no real definida sobre um intervalo aberto da reta dos reais. Tal função pode não ser necessariamente diferenciável em todos os pontos, como por exemplo, o valor absoluto, f(x)=|x|. Entretanto, como visto na imagem à direita (a qual pode ser demonstrada rigorosamente), para qualquer x0 no domínio da função pode-se traçar uma linha a qual cruza o ponto (x0, f(x0)) e a qual é em qualquer lugar tanto toca ou abaixo do gráfico de f. O coeficiente angular desta linha é chamado uma subderivada (porque a linha está sob o gráfico de f). (pt)
- Subgradient är ett matematiskt begrepp som generaliserar derivata och gradient till funktioner som inte är deriverbara. Begreppet används mycket inom . (sv)
- У математиці, зокрема, в опуклому аналізі, поняття субдиференціалу та субградієнту є узагальненнями відповідних понять диференціалу та градієнту класичного аналізу. (uk)
- 次导数（subderivative）、次微分（subdifferential）、次切線（subtangent lines）和次梯度（subgradient）的概念出现在，也就是凸函数的研究中。 要注意的是，次切線（subtangent lines）和次切距（subtangent）是不同的。 设f:I→R是一个实变量凸函数，定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的，例如绝对值函数f(x)=|x|。但是，从右面的图中可以看出（也可以严格地证明），对于定义域中的任何x0，我们总可以作出一条直线，它通过点(x0, f(x0))，并且要么接触f的图像，要么在它的下方。这条直线的斜率称为函数的次导数。 (zh)
- En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le sous-différentiel est un concept permettant de décrire la variation locale d'une fonction convexe (à valeurs réelles donc) non nécessairement différentiable dans un sens classique, celui auquel on attache aujourd'hui le nom de Fréchet. Au lieu d'être la pente de l'application linéaire tangente (c'est-à-dire, la dérivée) au point considéré, qui n'existe pas nécessairement, le sous-différentiel d'une fonction convexe est l'ensemble des pentes de toutes les minorantes affines de la fonction, qui sont exactes en ce point, c'est-à-dire qui ont en ce point la même valeur que la fonction convexe qu'elles minorent. Dans cette description, le mot pente peut être entendu comme un élément de l'espace dual. La convexité de la fonction assure (fr)
- In mathematics, the subderivative, subgradient, and subdifferential generalize the derivative to convex functions which are not necessarily differentiable. Subderivatives arise in convex analysis, the study of convex functions, often in connection to convex optimization. (en)
- Il subdifferenziale è un concetto matematico utilizzato nello studio delle funzioni convesse. Una funzione convessa (in blu) e due rette di supporto (in rosso) Sia una funzione convessa non necessariamente differenziabile; si definisce il subdifferenziale di f in x0 come: Si dice che è un subgradiente in x0. Il subdifferenziale gode di alcune utili proprietà: (it)
- Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом. (ru)
|
