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- Das Leapfrog-Verfahren ist eine einfache Methode zur numerischen Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung vom Typ . beziehungsweise allgemeiner von konservativen Systemen die dem 2. Newtonschen Axiom der klassischen Dynamik folgen und beispielsweise die Bewegung eines oder mehrerer Objekte in einem Potentialfeld beschreiben: Die Leapfrog-Integration ist eine Methode zweiter Ordnung und liefert deshalb im Allgemeinen genauere Ergebnisse als zum Beispiel das eulersche Polygonzugverfahren, das nur von erster Ordnung ist. Außerdem ist es invariant unter Zeitumkehr und erhält in physikalischen Problemstellungen Größen wie den Impuls und Drehimpuls, die auch Erhaltungsgrößen des Originalsystems sind, exakt. Des Weiteren wird eine gestörte Energiefunktion in Ordnung 3 erhalten, während das Verfahren die globale Konvergenzordnung 2 hat. (de)
- In numerical analysis, leapfrog integration is a method for numerically integrating differential equations of the form or equivalently of the formparticularly in the case of a dynamical system of classical mechanics. The method is known by different names in different disciplines. In particular, it is similar to the velocity Verlet method, which is a variant of Verlet integration. Leapfrog integration is equivalent to updating positions and velocities at interleaved time points, staggered in such a way that they "leapfrog" over each other. Leapfrog integration is a second-order method, in contrast to Euler integration, which is only first-order, yet requires the same number of function evaluations per step. Unlike Euler integration, it is stable for oscillatory motion, as long as the time-step is constant, and . Using Yoshida coefficients, applying the leapfrog integrator multiple times with the correct timesteps, a much higher order integrator can be generated. (en)
- En mathématiques, la méthode saute-mouton ou leap-frog est une méthode pour la résolution numérique des équations différentielles de la forme , ou, de manière équivalente, de la forme , en particulier dans le cas d'un système dynamique de la mécanique classique. La méthode est connue sous différents noms dans différentes disciplines. En particulier, elle est semblable à la méthode de Verlet avec la vitesse, mais elle en diffère par un calcul de la vitesse et de la position à un décalage d'un demi-pas, d'où son nom de saut de grenouille. (fr)
- En matemáticas, el método del salto de rana (del inglés leap-frog), es un método simple para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales de la forma: , o, equivalentemente: , en el caso particular de un sistema mecánico de la mecánica clásica. Este tipo de problemas normalmente toman la forma , con una energía dada por , dónde V es la energía potencial del sistema. A este método se le conoce por varios nombres según las disciplinas. En concreto, este método es parecido al método de la Velocidad de Verlet, que es una variante de la integración de Verlet. (es)
- リープ・フロッグ法は、微分方程式の数値積分法 (常微分方程式の数値解法) の一種、2次のシンプレクティック数値積分法である。リープ・フロッグ法は、 または という形式の微分方程式を解く際に用いられ、特に、古典力学における力学系の計算で重要である。 リープ・フロッグ法における時間積分は、互いの上を蛙跳び (Leap-frog) するように位置 と速度 をずらして時間発展させるのが特徴である。リープ・フロッグ法は、オイラー法が一次精度であるのとは対照的に、二次精度の数値積分法である。また、オイラー法とは異なり、時間幅が定数 でありなおかつ なる周期運動で安定となる。 リープ・フロッグ法では、以下の式で位置と速度を更新する。 ここで、 は ステップ目での位置で、 は ステップ目の速度、 は ステップ目の加速度である。 は時間ステップの大きさである。これらの式は、半整数ステップを消去することによって以下のような整数ステップのみの式で表現することができる。 ただし、この形式では、時間ステップ が一定値でない限り安定ではない。 リープ・フロッグ法は、加速度が速度に非依存である、重力計算に用いられることが多い。なお、重力計算にはルンゲ・クッタ法のような高次精度の数値積分法もよく用いられている。 力学系のシミュレーションに際して、リープ・フロッグ法にはいくつか利点がある。一つ目は、である。これは、 段時間積分したのち、時間を逆向きに 段数値積分すると、初期位置に戻るという性質である。二つ目は、であり、これはエネルギー保存性を意味している。この性質は、軌道力学において有用である。4次ルンゲ・クッタ法のような他の多くの数値積分法は、エネルギーが保存せず、時間とともに誤差がどんどん増大してしまう。時間可逆性やシンプレクティック性から、リープ・フロッグ法はにも用いられている。ハミルトン・モンテカルロ法は、直接サンプリングが困難な確率分布からランダムサンプルを得るための手法である。 (ja)
- 도약적분(跳躍積分, leapfrog integration)은 다음과 같은 미분방정식 또는 이와 동치인 을 수치적으로 적분하는 것이다. (ko)
- Algorytm skokowy (algorytm żabiego skoku, ang. leapfrog integration) – metoda numeryczna służąca do całkowania równań w postaci: lub w równoważnej formie: występującej często w mechanice klasycznej przy opisie układów dynamicznych. (pl)
- 蛙跳积分法是一种对微分方程进行积分的简单方法，尤其是在动力系统的情况下。这个方法在不同学科中有不同的名字。特别是它与速度Verlet方法等同，后者是Verlet积分法中的一个变体。 蛙跳积分法相当于在交错的时间点计算位置和速度，在时间上相互交错，所以他们相互'跃过'对方。例如，位置为整数的时间步长而速度为整数加一半的时间步长。 蛙跳积分法是一个二阶的方法因此通常要好于一阶的欧拉方法。不同于欧拉方法，它对振荡运动稳定，只要满足 . 蛙跳积分法的方程可写为： 这些方程可被处理为速度为整数步长的形式： 这第二种形式通常要求解隐式的第二个方程，因为a可能依赖于v. 这个方程的一个应用是重力模拟，因为在这种情况下加速度只依赖于引力质量的位置；虽然更高阶的积分器（如龙格－库塔法）更常用。 (zh)
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- En mathématiques, la méthode saute-mouton ou leap-frog est une méthode pour la résolution numérique des équations différentielles de la forme , ou, de manière équivalente, de la forme , en particulier dans le cas d'un système dynamique de la mécanique classique. La méthode est connue sous différents noms dans différentes disciplines. En particulier, elle est semblable à la méthode de Verlet avec la vitesse, mais elle en diffère par un calcul de la vitesse et de la position à un décalage d'un demi-pas, d'où son nom de saut de grenouille. (fr)
- En matemáticas, el método del salto de rana (del inglés leap-frog), es un método simple para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales de la forma: , o, equivalentemente: , en el caso particular de un sistema mecánico de la mecánica clásica. Este tipo de problemas normalmente toman la forma , con una energía dada por , dónde V es la energía potencial del sistema. A este método se le conoce por varios nombres según las disciplinas. En concreto, este método es parecido al método de la Velocidad de Verlet, que es una variante de la integración de Verlet. (es)
- 도약적분(跳躍積分, leapfrog integration)은 다음과 같은 미분방정식 또는 이와 동치인 을 수치적으로 적분하는 것이다. (ko)
- Algorytm skokowy (algorytm żabiego skoku, ang. leapfrog integration) – metoda numeryczna służąca do całkowania równań w postaci: lub w równoważnej formie: występującej często w mechanice klasycznej przy opisie układów dynamicznych. (pl)
- 蛙跳积分法是一种对微分方程进行积分的简单方法，尤其是在动力系统的情况下。这个方法在不同学科中有不同的名字。特别是它与速度Verlet方法等同，后者是Verlet积分法中的一个变体。 蛙跳积分法相当于在交错的时间点计算位置和速度，在时间上相互交错，所以他们相互'跃过'对方。例如，位置为整数的时间步长而速度为整数加一半的时间步长。 蛙跳积分法是一个二阶的方法因此通常要好于一阶的欧拉方法。不同于欧拉方法，它对振荡运动稳定，只要满足 . 蛙跳积分法的方程可写为： 这些方程可被处理为速度为整数步长的形式： 这第二种形式通常要求解隐式的第二个方程，因为a可能依赖于v. 这个方程的一个应用是重力模拟，因为在这种情况下加速度只依赖于引力质量的位置；虽然更高阶的积分器（如龙格－库塔法）更常用。 (zh)
- Das Leapfrog-Verfahren ist eine einfache Methode zur numerischen Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung vom Typ . beziehungsweise allgemeiner von konservativen Systemen die dem 2. Newtonschen Axiom der klassischen Dynamik folgen und beispielsweise die Bewegung eines oder mehrerer Objekte in einem Potentialfeld beschreiben: (de)
- In numerical analysis, leapfrog integration is a method for numerically integrating differential equations of the form or equivalently of the formparticularly in the case of a dynamical system of classical mechanics. The method is known by different names in different disciplines. In particular, it is similar to the velocity Verlet method, which is a variant of Verlet integration. Leapfrog integration is equivalent to updating positions and velocities at interleaved time points, staggered in such a way that they "leapfrog" over each other. (en)
- リープ・フロッグ法は、微分方程式の数値積分法 (常微分方程式の数値解法) の一種、2次のシンプレクティック数値積分法である。リープ・フロッグ法は、 または という形式の微分方程式を解く際に用いられ、特に、古典力学における力学系の計算で重要である。 リープ・フロッグ法における時間積分は、互いの上を蛙跳び (Leap-frog) するように位置 と速度 をずらして時間発展させるのが特徴である。リープ・フロッグ法は、オイラー法が一次精度であるのとは対照的に、二次精度の数値積分法である。また、オイラー法とは異なり、時間幅が定数 でありなおかつ なる周期運動で安定となる。 リープ・フロッグ法では、以下の式で位置と速度を更新する。 ここで、 は ステップ目での位置で、 は ステップ目の速度、 は ステップ目の加速度である。 は時間ステップの大きさである。これらの式は、半整数ステップを消去することによって以下のような整数ステップのみの式で表現することができる。 ただし、この形式では、時間ステップ が一定値でない限り安定ではない。 リープ・フロッグ法は、加速度が速度に非依存である、重力計算に用いられることが多い。なお、重力計算にはルンゲ・クッタ法のような高次精度の数値積分法もよく用いられている。 (ja)
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- Leapfrog-Verfahren (de)
- Método del salto de rana (es)
- Méthode saute-mouton (fr)
- Leapfrog integration (en)
- 도약적분 (ko)
- リープ・フロッグ法 (ja)
- Algorytm skokowy (pl)
- 蛙跳积分法 (zh)
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