| dbo:abstract
|
- Der Ljapunow-Exponent eines dynamischen Systems (nach Alexander Michailowitsch Ljapunow) beschreibt die Geschwindigkeit, mit der sich zwei (nahe beieinanderliegende) Punkte im Phasenraum voneinander entfernen oder annähern (je nach Vorzeichen). Pro Dimension des Phasenraums gibt es einen Ljapunow-Exponenten, die zusammen das sogenannte Ljapunow-Spektrum bilden. Häufig betrachtet man allerdings nur den größten Ljapunow-Exponenten, da dieser in der Regel das gesamte Systemverhalten bestimmt. Betrachtet man allgemeiner Trajektorieverläufe im Phasenraum, dann liefern die Exponenten ein Maß für die Rate an Separation von einer Ursprungstrajektorie . In Bezug auf eine zeitkontinuierliche Betrachtung eines dynamischen Systems lässt sich dieser Zusammenhang formal allgemein darstellen als: , wobei die Linearisierung der Trajektorie zum Zeitpunkt darstellt. (de)
- In mathematics, the Lyapunov exponent or Lyapunov characteristic exponent of a dynamical system is a quantity that characterizes the rate of separation of infinitesimally close trajectories. Quantitatively, two trajectories in phase space with initial separation vector diverge (provided that the divergence can be treated within the linearized approximation) at a rate given by where is the Lyapunov exponent. The rate of separation can be different for different orientations of initial separation vector. Thus, there is a spectrum of Lyapunov exponents—equal in number to the dimensionality of the phase space. It is common to refer to the largest one as the maximal Lyapunov exponent (MLE), because it determines a notion of predictability for a dynamical system. A positive MLE is usually taken as an indication that the system is chaotic (provided some other conditions are met, e.g., phase space compactness). Note that an arbitrary initial separation vector will typically contain some component in the direction associated with the MLE, and because of the exponential growth rate, the effect of the other exponents will be obliterated over time. The exponent is named after Aleksandr Lyapunov. (en)
- El Exponente Lyapunov o Exponente característico Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza el grado de separación de dos trayectorias infinitesimalmente cercanas. Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio-fase con separación inicial diverge El radio de separación puede ser distinto para diferentes orientaciones del vector de separación inicial. Aunque, hay un completo espectro del exponente Lyapunov; el número de ellos es igual al número de dimensiones del espacio-fase. Es común referirse sólo a la más grande, porque determina la predictibilidad de un sistema. (es)
- Dans l'analyse d'un système dynamique, l'exposant de Liapounov permet de quantifier la stabilité ou l'instabilité de ses mouvements. Un exposant de Liapounov peut être soit un nombre réel fini, soit+∞ ou –∞.Un mouvement instable a un exposant de Liapounov positif, un mouvement stable correspond à un exposant de Liapounov négatif. Les mouvements bornés d'un système linéaire ont un exposant de Liapounov négatif ou nul.L'exposant de Liapounov peut servir à étudier la stabilité (ou l'instabilité) des points d'équilibre des systèmes non linéaires. Lorsqu'on linéarise un tel système au voisinage d'un point d'équilibre, si le système non linéaire est non autonome, le système linéaire obtenu est à coefficients variables ; chacun de ses mouvements a son propre exposant de Liapounov.
* Si chacun d'eux est négatif et si le système linéaire est « régulier » (notion que nous détaillerons plus loin), alors le point d'équilibre est (localement) asymptotiquement stable pour le système non linéaire.
* Si l'un de ces exposants de Liapounov est positif et si le système linéaire est régulier, alors le point d'équilibre est instable pour le système non linéaire. Dans ce cas, le comportement du système est extrêmement « sensible aux conditions initiales », dans le sens où une incertitude sur celles-ci entraîne une incertitude sur le mouvement qui grandit de manière exponentielle au cours du temps. Ce phénomène est parfois assimilé, à tort (du moins en général), à un comportement chaotique ; il en est néanmoins une condition nécessaire. L'inverse du plus grand exposant de Liapounov est un temps caractéristique du système, appelé parfois horizon de Liapounov. Le caractère prédictible de l'évolution du système ne subsiste que pour les durées très inférieures à cet horizon, pendant lesquelles l'erreur sur le point courant de la trajectoire garde une taille comparable à l'erreur sur les conditions initiales. En revanche, pour les temps supérieurs, toute prédiction devient pratiquement impossible, même si le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui suppose la connaissance parfaite des conditions initiales, reste valide. (fr)
- Nella teoria dei sistemi dinamici, un esponente di Ljapunov di un sistema dinamico (deterministico) in un punto nello spazio delle fasi fornisce una misura di quanto sensibilmente le orbite del sistema sono dipendenti dai dati iniziali, caratterizzando la presenza di dinamiche caotiche. Gli esponenti di Ljapunov misurano in particolare la velocità media di allontanamento di due orbite infinitesimamente vicine per tempi sufficientemente lunghi. Ad un punto nello spazio delle fasi sono associati un numero di esponenti di Ljapunov pari alla dimensione dello spazio; se l'esponente di Ljapunov massimo è , e se la distanza tra le orbite è abbastanza piccola, allora il vettore ha un'evoluzione nel tempo (tasso di separazione delle due orbite) che per tempi grandi è data approssimativamente da: Se è positivo allora il sistema presenta una dipendenza sensibile dai dati iniziali (in modo esponenziale), ed è quindi un sistema caotico. Il momento in cui un sistema diventa caotico è dato dal reciproco di , ed è detto tempo caratteristico o tempo di Ljapunov del sistema. Esso rappresenta il limite di predicibilità del sistema. (it)
- リアプノフ指数（リアプノフしすう、英: Lyapunov exponent）とは、力学系においてごく接近した軌道が離れていく度合いを表す量である。リャプノフ指数とも表記される。ロシア人科学者 Алекса́ндр Ляпуно́в（アレクサンドル・リプノーフ、Aleksandr Lyapunov）にその名をちなむ。 系の相空間上の2つの軌道について考える。2つの軌道上の時刻 t における点の距離をベクトル δ(t) として、初期状態 t = 0 には、これらの軌道は距離 δ(0) だけ離れているとする。δ(t) を近似的に次のように表す。 ここで はユークリッドノルムを意味する。上式で λ > 0 の場合は軌道は離れていき、 λ < 0 の場合は軌道は近づいていく。よって、軌道が離れていく度合いは λ の値により決定される。この λ がリアプノフ指数である。軌道がカオス的であるとき、上式のように軌道は指数関数的に離れていく。すなわち、リアプノフ指数が正であることが軌道がカオス的であることの1つの定義とされる。 より詳細には、系の状態変数が k 個（k > 1）の場合、すなわち相空間が k 次元である場合は各次元ごとに固有のリアプノフ指数を持つ。これらのリアプノフ指数の組をリアプノフスペクトラムと呼び、そのうちの最大のリアプノフ指数を最大リアプノフ指数と呼ぶ。各々のリアプノフ指数を見れば正であったり負であったりするが、最大リアプノフ指数が正であれば、その系はカオスの特徴の1つである初期値鋭敏性を持つといえる。 (ja)
- O expoente de Lyapunov de um sistema dinâmico, epônimo de Aleksandr Lyapunov, descreve a velocidade de fase com a qual dois pontos próximos no espaço fásico aproximam-se ou afastam-se. Para uma dimensão do espaço de fase existe um expoente de Lyapunov que forma o espectro de Lyapunov. Frequentemente interessa observar apenas o maior expoente de Lyapunov, pois este determina o comportamento geral do sistema. No espaço unidimensional o expoente de Lyapunov é uma transformação iterada como definida a seguir: . (pt)
- Wykładnik Lapunowa, współczynnik Lapunowa układu dynamicznego – miara, która charakteryzuje tempo separacji infinitezymalnie (nieskończenie) bliskich trajektorii. Pozwala on też ustalić zachowanie się układu dynamicznego dla określonych zmiennych (parametrów). Ogólnie służy do badania układów dynamicznych. Podstawy matematycznej teorii stabilności ruchu stworzył A.M.Lapunow, który rozpatrywał, jak szybko wzrasta w czasie ewolucji odległość pomiędzy dwiema bliskimi trajektoriami. Jeżeli układ dynamiczny jest chaotyczny, odległość taka rośnie w czasie t wykładniczo jak gdzie współczynnik zwany wykładnikiem Lapunowa jest dodatni. Wykładniki Lapunowa umożliwiają ocenę zjawiska chaotycznego w tzw. przestrzeni fazowej. Przestrzeń fazowa to inny sposób obrazowania wielowymiarowych zjawisk dynamicznych. W zwykłym przebiegu czasowym oś pozioma wykresu obrazuje czas, natomiast oś pionowa odpowiada za stan zjawiska w danej chwili (np. prędkość). W przestrzeni fazowej możemy ocenić wszystkie możliwe stany systemu w każdej chwili czasowej. Trajektoria to obraz wszystkich możliwych stanów, które przyjmuje układ w kolejnych chwilach czasu. Jeśli przyjąć skończone i odpowiednio małe odcinki czasu, to ewolucję układu dynamicznego można opisać rekurencyjnym równaniem algebraicznym: gdzie: – przyjmuje kolejne wartości całkowite, które można uznać za kolejne interwały czasowe, – zmienna opisująca stan układu dynamicznego w chwili – to stan układu dynamicznego w chwili Stan układu w chwili otrzymuje się przez przekształcenie stanu za pomocą odpowiedniej funkcji Otrzymuje się wówczas ciąg o postaci: Taki sposób przekształcania nazywa się iteracją. Ciąg kolejnych iteracji tworzy orbitę odwzorowania. Jeżeli rozpatrzyć dwa stany początkowe różniące się w niewielkim stopniu o e, to po upływie czasu (lub inaczej po iteracjach) otrzymuje się wartości: gdzie oznacza n-tą iterację na punkcie Stany mogą być od siebie oddalone w różnym stopniu. Miarą oddalania/zbliżania się jest wykładnik Lapunowa definiowany w postaci: Współczynnik ten jest również miarą utraty informacji o układzie w jednym przekształceniu. Mogą zaistnieć trzy możliwości:
* – orbita zmierza do stabilnego punktu lub staje się orbitą periodyczną. Ujemny wykładnik Lapunowa charakteryzuje układy dyssypatywne np. tłumione wahadło.
* – orbita zmierza do neutralnego, stałego punktu. Wartość ta oznacza, że system znajduje się w najbardziej stabilnym stadium rozwoju.
* – orbita jest niestabilna i chaotyczna. Dwa bliskie stany początkowe oddalają się wykładniczo od siebie z upływem czasu. Obliczanie wykładników Lapunowa dla układów wielowymiarowych jest bardzo złożone. Dodatnia wartość największego wykładnika oznacza, że układ jest chaotyczny. Wynika to z natury zjawiska, to znaczy im większa jest wartość wykładnika tym szybciej rozbiega się analizowane zjawisko. Odległość między początkowo sąsiednimi dwoma punktami zwiększa się właśnie w sposób wykładniczy. Wykładniki Lapunowa opisują jak szybko poszczególne punkty oddalają się od siebie (lub zbliżają jeśli wykładnik jest ujemny). Dla każdego wymiaru występuje osobny wykładnik. Zatem może zdarzyć się, że oddalanie następuje wyłącznie wzdłuż niektórych wymiarów. Ponieważ oddalanie następuje znacznie szybciej niż zbliżanie się, jeden dodatni wykładnik Lapunowa odpowiedzialny za oddalanie się powoduje zwiększanie się globalnej odległości, nawet jeśli we wszystkich pozostałych wymiarach zjawisko charakteryzuje się ujemnymi wykładnikami. (pl)
- Показатель Ляпунова динамической системы — величина, характеризующая скорость удаления друг от друга траекторий. Положительность показателя Ляпунова обычно свидетельствует о хаотическом поведении системы. Назван в честь Александра Михайловича Ляпунова. (ru)
- 在数学领域中，李亚普诺夫指数（Lyapunov exponent）或李亚普诺夫特征指数（Lyapunov characteristic exponent）用于量化动力系统中无限接近的轨迹之间的分离率。具体而言，相空间中初始间隔的两条轨迹的分离率为（假定分离可按线性近似来处理） 其中即为李亚普诺夫指数。 当初始分离向量的方向不同时，其分离率也不同。因而存在李亚普诺夫指数谱（spectrum of Lyapunov exponents），其数量与相空间的维度相同。通常将其中最大的称为最大李亚普诺夫指数（Maximal Lyapunov exponent，简称MLE），因为它决定了动力系统的可预测性。正的MLE通常表明系统是混沌的（假定其他条件满足，如相空间的紧致性）。需要注意的是，任意初始分离向量一般包括了MLE所在方向的部分分量，由于其随指数增长的特征，其他分量的效果随着时间最终会被掩盖。 李亚普诺夫指数是以俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫的名字命名的。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- El Exponente Lyapunov o Exponente característico Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza el grado de separación de dos trayectorias infinitesimalmente cercanas. Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio-fase con separación inicial diverge El radio de separación puede ser distinto para diferentes orientaciones del vector de separación inicial. Aunque, hay un completo espectro del exponente Lyapunov; el número de ellos es igual al número de dimensiones del espacio-fase. Es común referirse sólo a la más grande, porque determina la predictibilidad de un sistema. (es)
- O expoente de Lyapunov de um sistema dinâmico, epônimo de Aleksandr Lyapunov, descreve a velocidade de fase com a qual dois pontos próximos no espaço fásico aproximam-se ou afastam-se. Para uma dimensão do espaço de fase existe um expoente de Lyapunov que forma o espectro de Lyapunov. Frequentemente interessa observar apenas o maior expoente de Lyapunov, pois este determina o comportamento geral do sistema. No espaço unidimensional o expoente de Lyapunov é uma transformação iterada como definida a seguir: . (pt)
- Показатель Ляпунова динамической системы — величина, характеризующая скорость удаления друг от друга траекторий. Положительность показателя Ляпунова обычно свидетельствует о хаотическом поведении системы. Назван в честь Александра Михайловича Ляпунова. (ru)
- 在数学领域中，李亚普诺夫指数（Lyapunov exponent）或李亚普诺夫特征指数（Lyapunov characteristic exponent）用于量化动力系统中无限接近的轨迹之间的分离率。具体而言，相空间中初始间隔的两条轨迹的分离率为（假定分离可按线性近似来处理） 其中即为李亚普诺夫指数。 当初始分离向量的方向不同时，其分离率也不同。因而存在李亚普诺夫指数谱（spectrum of Lyapunov exponents），其数量与相空间的维度相同。通常将其中最大的称为最大李亚普诺夫指数（Maximal Lyapunov exponent，简称MLE），因为它决定了动力系统的可预测性。正的MLE通常表明系统是混沌的（假定其他条件满足，如相空间的紧致性）。需要注意的是，任意初始分离向量一般包括了MLE所在方向的部分分量，由于其随指数增长的特征，其他分量的效果随着时间最终会被掩盖。 李亚普诺夫指数是以俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫的名字命名的。 (zh)
- Der Ljapunow-Exponent eines dynamischen Systems (nach Alexander Michailowitsch Ljapunow) beschreibt die Geschwindigkeit, mit der sich zwei (nahe beieinanderliegende) Punkte im Phasenraum voneinander entfernen oder annähern (je nach Vorzeichen). Pro Dimension des Phasenraums gibt es einen Ljapunow-Exponenten, die zusammen das sogenannte Ljapunow-Spektrum bilden. Häufig betrachtet man allerdings nur den größten Ljapunow-Exponenten, da dieser in der Regel das gesamte Systemverhalten bestimmt. (de)
- In mathematics, the Lyapunov exponent or Lyapunov characteristic exponent of a dynamical system is a quantity that characterizes the rate of separation of infinitesimally close trajectories. Quantitatively, two trajectories in phase space with initial separation vector diverge (provided that the divergence can be treated within the linearized approximation) at a rate given by where is the Lyapunov exponent. The exponent is named after Aleksandr Lyapunov. (en)
- Dans l'analyse d'un système dynamique, l'exposant de Liapounov permet de quantifier la stabilité ou l'instabilité de ses mouvements. Un exposant de Liapounov peut être soit un nombre réel fini, soit+∞ ou –∞.Un mouvement instable a un exposant de Liapounov positif, un mouvement stable correspond à un exposant de Liapounov négatif. Les mouvements bornés d'un système linéaire ont un exposant de Liapounov négatif ou nul.L'exposant de Liapounov peut servir à étudier la stabilité (ou l'instabilité) des points d'équilibre des systèmes non linéaires. (fr)
- リアプノフ指数（リアプノフしすう、英: Lyapunov exponent）とは、力学系においてごく接近した軌道が離れていく度合いを表す量である。リャプノフ指数とも表記される。ロシア人科学者 Алекса́ндр Ляпуно́в（アレクサンドル・リプノーフ、Aleksandr Lyapunov）にその名をちなむ。 系の相空間上の2つの軌道について考える。2つの軌道上の時刻 t における点の距離をベクトル δ(t) として、初期状態 t = 0 には、これらの軌道は距離 δ(0) だけ離れているとする。δ(t) を近似的に次のように表す。 ここで はユークリッドノルムを意味する。上式で λ > 0 の場合は軌道は離れていき、 λ < 0 の場合は軌道は近づいていく。よって、軌道が離れていく度合いは λ の値により決定される。この λ がリアプノフ指数である。軌道がカオス的であるとき、上式のように軌道は指数関数的に離れていく。すなわち、リアプノフ指数が正であることが軌道がカオス的であることの1つの定義とされる。 (ja)
- Nella teoria dei sistemi dinamici, un esponente di Ljapunov di un sistema dinamico (deterministico) in un punto nello spazio delle fasi fornisce una misura di quanto sensibilmente le orbite del sistema sono dipendenti dai dati iniziali, caratterizzando la presenza di dinamiche caotiche. Gli esponenti di Ljapunov misurano in particolare la velocità media di allontanamento di due orbite infinitesimamente vicine per tempi sufficientemente lunghi. (it)
- Wykładnik Lapunowa, współczynnik Lapunowa układu dynamicznego – miara, która charakteryzuje tempo separacji infinitezymalnie (nieskończenie) bliskich trajektorii. Pozwala on też ustalić zachowanie się układu dynamicznego dla określonych zmiennych (parametrów). Ogólnie służy do badania układów dynamicznych. Podstawy matematycznej teorii stabilności ruchu stworzył A.M.Lapunow, który rozpatrywał, jak szybko wzrasta w czasie ewolucji odległość pomiędzy dwiema bliskimi trajektoriami. Jeżeli układ dynamiczny jest chaotyczny, odległość taka rośnie w czasie t wykładniczo jak gdzie współczynnik zwany wykładnikiem Lapunowa jest dodatni. Wykładniki Lapunowa umożliwiają ocenę zjawiska chaotycznego w tzw. przestrzeni fazowej. Przestrzeń fazowa to inny sposób obrazowania wielowymiarowych zjawisk dynam (pl)
|
_-_Matlab.png){kind=link}
_-_Matlab.png){kind=link}
.png){kind=link}