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- En la teoría de procesos estocásticos, el Teorema de Karhunen-Loève (así llamado debido a y ) es una representación de un proceso estocástico como una combinación lineal infinita de funciones ortogonales. Esta representación es análoga a la representación en series de Fourier de una función definida en un intervalo acotado de números reales. A diferencia de una serie de Fourier, en la cual los coeficientes son números reales y la base de expansión está compuesta por funciones senoidales (es decir, funciones seno y coseno), los coeficientes del teorema de Karhunen-Loève son variables aleatorias y la base de expansión depende del proceso. De hecho, la base de funciones ortogonales que se usa para la representación queda determinada por la función de covarianza del proceso. Si vemos un proceso estocástico como una función aleatoria F, es decir, una en la que el valor aleatorio es una función en un intervalo [a, b], entonces este teorema puede considerarse como una expansión ortonormal aleatoria de F. En el caso de un proceso estocástico centrado {Xt} t ∈ [a, b] (donde centrado se refiere a que los valores esperados E(Xt) están definidos y son iguales a 0 para todo t), el satisfacer una condición de continuidad técnica, admite la descomposición donde Zk son variables aleatorias de a pares y las funciones ek son funciones reales continuas en [a, b], ortogonales de a pares en L2[a, b]. El caso general de un proceso no centrado puede representarse expandiendo la función de expectación (que es un función no-aleatoria) en la base ek. Aún más, si el proceso es Gaussiano, entonces las variables aleatorias Zk son Gaussianas y estocásticamente independientes. Este resultado generaliza la transformada de Karhunen-Loève. Un ejemplo importante de un proceso estocástico real centrado en [0,1] es el proceso de Wiener y el teorema de Karhunen-Loève permite obtener una representación ortogonal canónica de este. En este caso, la expansión consiste de funciones senoidales. A la expansión anterior en variables aleatorias no correlacionadas se la conoce también como la expansión de Karhunen-Loève. (es)
- In the theory of stochastic processes, the Karhunen–Loève theorem (named after Kari Karhunen and Michel Loève), also known as the Kosambi–Karhunen–Loève theorem is a representation of a stochastic process as an infinite linear combination of orthogonal functions, analogous to a Fourier series representation of a function on a bounded interval. The transformation is also known as Hotelling transform and eigenvector transform, and is closely related to principal component analysis (PCA) technique widely used in image processing and in data analysis in many fields. Stochastic processes given by infinite series of this form were first considered by Damodar Dharmananda Kosambi. There exist many such expansions of a stochastic process: if the process is indexed over [a, b], any orthonormal basis of L2([a, b]) yields an expansion thereof in that form. The importance of the Karhunen–Loève theorem is that it yields the best such basis in the sense that it minimizes the total mean squared error. In contrast to a Fourier series where the coefficients are fixed numbers and the expansion basis consists of sinusoidal functions (that is, sine and cosine functions), the coefficients in the Karhunen–Loève theorem are random variables and the expansion basis depends on the process. In fact, the orthogonal basis functions used in this representation are determined by the covariance function of the process. One can think that the Karhunen–Loève transform adapts to the process in order to produce the best possible basis for its expansion. In the case of a centered stochastic process {Xt}t ∈ [a, b] (centered means E[Xt] = 0 for all t ∈ [a, b]) satisfying a technical continuity condition, X admits a decomposition where Zk are pairwise uncorrelated random variables and the functions ek are continuous real-valued functions on [a, b] that are pairwise orthogonal in L2([a, b]). It is therefore sometimes said that the expansion is bi-orthogonal since the random coefficients Zk are orthogonal in the probability space while the deterministic functions ek are orthogonal in the time domain. The general case of a process Xt that is not centered can be brought back to the case of a centered process by considering Xt − E[Xt] which is a centered process. Moreover, if the process is Gaussian, then the random variables Zk are Gaussian and stochastically independent. This result generalizes the Karhunen–Loève transform. An important example of a centered real stochastic process on [0, 1] is the Wiener process; the Karhunen–Loève theorem can be used to provide a canonical orthogonal representation for it. In this case the expansion consists of sinusoidal functions. The above expansion into uncorrelated random variables is also known as the Karhunen–Loève expansion or Karhunen–Loève decomposition. The empirical version (i.e., with the coefficients computed from a sample) is known as the Karhunen–Loève transform (KLT), principal component analysis, proper orthogonal decomposition (POD), empirical orthogonal functions (a term used in meteorology and geophysics), or the Hotelling transform. (en)
- De stelling van Karhunen-Loève, ook bekend als de stelling van Kosambi–Karhunen–Loève, is een stelling in de theorie van de stochastische processen die stelt dat, analoog aan een fourierreeks, ook een stochastisch proces voorgesteld kan worden als een oneindige lineaire combinatie van orthogonale functies. De stelling is genoemd naar Kari Karhunen en Michel Loève. Stochastische processen gegeven door een reeks van deze vorm, zijn voor het eerst beschouwd door . Er bestaan meerdere ontwikkelingen van een stochastisch proces: als het proces geïndiceerd is over het interval , levert elke orthonormale basis van een ontwikkeling in termen van deze basis. Het belang van de stelling van Karhunen-Loève is dat daardoor de beste van zulke bases bepaald wordt, in de zin dat de totale gemiddelde kwadratische fout minimaal is. In tegenstelling tot een fourierreeks, waarin de coëfficiënten reële getallen zijn en de basis van de ontwikkeling bestaat uit goniometrische functies, zijn de coëfficiënten in de stelling van Karhunen-Loève stochastische variabelen en is de basis afhankelijk van het proces. De basis van orthogonale functies die in de voorstelling gebruikt worden, wordt bepaald door de autocorrelatie van het proces. In het geval van een zogeheten gecentreerd stochastisch proces , d.w.z. een proces waarvan de verwachtingen bestaan, met voor alle en dat voldoet aan zekere technische continuïteitsvoorwaarden, is er een ontwikkeling mogelijk zo, dat , waarin paarsgewijs ongecorreleerde stochastische variabelen zijn en continue reëelwaardige functies op die paarsgewijs orthogonaal zijn in . Men zegt daarom wel dat de ontwikkeling bi-orthogonaal is aangezien de random coëfficiënten orthogonaal zijn in de kansruimte en de deterministische functies orthogonaal zijn in het tijddomein. Het algemene geval van een proces dat niet gecentreerd is, kan in veel gevallen herleid worden tot het geval van een gecentreerd proces door te kijken naar . (nl)
- Em processamento digital de sinais, a transformada de Karhunen-Loève (KLT, do inglês Karnuhen-Loève transform) é uma transformada integral que se demonstra ser ótima sob vários aspectos importantes, e que por isso se constitui numa referência para avaliar o desempenho de outras transformações. A KLT possui a característica única de ser dependente da função de entrada, isto é, o núcleo da transformada varia conforme a função a ser transformada. Isso limita o seu uso em aplicações práticas, porque não é possível desenvolver-se um algoritmo eficiente para computar seus coeficientes. Essa transformação é também conhecida como transformada de Hotelling em outros campos de pesquisa. A aplicação principal da KLT é na compressão de dados, porque ela incorre no menor erro na representação de uma função contínua f(x) por meio de uma sequência de amostras de comprimento finito k, para qualquer valor de k. Isso é provado pelo . Outra aplicação em que o uso da KLT é tradicional é no reconhecimento de padrões. (pt)
- Karhunen-Loève-transformen (förkortat KLT) är en transform som används inom bildkodning. Raderna i en KLT-matris (matrisen som fås då transformen ses som en linjär avbildning) är de normerade egenvektorerna till signalens . (sv)
- K-L轉換(Karhunen-Loève Transform)是建立在統計特性基礎上的一種轉換，它是均方差(MSE, Mean Square Error)意義下的最佳轉換，因此在資料壓縮技術中佔有重要的地位。 K-L轉換名称来自Kari Karhunen和Michel Loève。 K-L轉換是對輸入的向量x，做一個正交變換，使得輸出的向量得以去除數據的相關性。 然而，K-L轉換雖然具有均方差(MSE)意義下的最佳轉換，但必須事先知道輸入的訊號，並且需經過一些繁雜的數學運算，例如协方差(covariance)以及特徵向量(eigenvector)的計算。因此在工程實踐上K-L轉換並沒有被廣泛的應用，不過K-L轉換是理論上最佳的方法，所以在尋找一些不是最佳、但比較好實現的一些轉換方法時，K-L轉換能夠提供這些轉換性能的評價標準。 以處理圖片為範例，在K-L轉換途中，圖片的能量會變得集中，有助於壓縮圖片，但是實際上，KL轉算為input-dependent，即需要對每張輸入圖片存下一個轉換機制，每張圖都不一樣，這在實務應用上是不實際的。 (zh)
- Важным принципиальным вопросом теории дискретизации является вопрос об объёме дискретного описания сигналов, то есть о количестве базисных функций, используемых для представления: . Чтобы найти оптимальный базис, нужно определить класс сигналов, для которого он отыскивается, а также задать точность восстановления для этого класса. При статистическом подходе к описанию сигналов оптимальным — мерным базисом для представления отдельных реализаций сигналов обычно считается базис, при котором норма ошибки, усредненная по ансамблю реализаций, минимальна. В этом случае необходимые и достаточные условия минимума нормы ошибки представления сигнала в виде суммы базисных функций определяет теорема Карунена-Лоэва. (ru)
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- Karhunen-Loève-transformen (förkortat KLT) är en transform som används inom bildkodning. Raderna i en KLT-matris (matrisen som fås då transformen ses som en linjär avbildning) är de normerade egenvektorerna till signalens . (sv)
- K-L轉換(Karhunen-Loève Transform)是建立在統計特性基礎上的一種轉換，它是均方差(MSE, Mean Square Error)意義下的最佳轉換，因此在資料壓縮技術中佔有重要的地位。 K-L轉換名称来自Kari Karhunen和Michel Loève。 K-L轉換是對輸入的向量x，做一個正交變換，使得輸出的向量得以去除數據的相關性。 然而，K-L轉換雖然具有均方差(MSE)意義下的最佳轉換，但必須事先知道輸入的訊號，並且需經過一些繁雜的數學運算，例如协方差(covariance)以及特徵向量(eigenvector)的計算。因此在工程實踐上K-L轉換並沒有被廣泛的應用，不過K-L轉換是理論上最佳的方法，所以在尋找一些不是最佳、但比較好實現的一些轉換方法時，K-L轉換能夠提供這些轉換性能的評價標準。 以處理圖片為範例，在K-L轉換途中，圖片的能量會變得集中，有助於壓縮圖片，但是實際上，KL轉算為input-dependent，即需要對每張輸入圖片存下一個轉換機制，每張圖都不一樣，這在實務應用上是不實際的。 (zh)
- Важным принципиальным вопросом теории дискретизации является вопрос об объёме дискретного описания сигналов, то есть о количестве базисных функций, используемых для представления: . Чтобы найти оптимальный базис, нужно определить класс сигналов, для которого он отыскивается, а также задать точность восстановления для этого класса. При статистическом подходе к описанию сигналов оптимальным — мерным базисом для представления отдельных реализаций сигналов обычно считается базис, при котором норма ошибки, усредненная по ансамблю реализаций, минимальна. В этом случае необходимые и достаточные условия минимума нормы ошибки представления сигнала в виде суммы базисных функций определяет теорема Карунена-Лоэва. (ru)
- En la teoría de procesos estocásticos, el Teorema de Karhunen-Loève (así llamado debido a y ) es una representación de un proceso estocástico como una combinación lineal infinita de funciones ortogonales. Esta representación es análoga a la representación en series de Fourier de una función definida en un intervalo acotado de números reales. A diferencia de una serie de Fourier, en la cual los coeficientes son números reales y la base de expansión está compuesta por funciones senoidales (es decir, funciones seno y coseno), los coeficientes del teorema de Karhunen-Loève son variables aleatorias y la base de expansión depende del proceso. De hecho, la base de funciones ortogonales que se usa para la representación queda determinada por la función de covarianza del proceso. Si vemos un proce (es)
- In the theory of stochastic processes, the Karhunen–Loève theorem (named after Kari Karhunen and Michel Loève), also known as the Kosambi–Karhunen–Loève theorem is a representation of a stochastic process as an infinite linear combination of orthogonal functions, analogous to a Fourier series representation of a function on a bounded interval. The transformation is also known as Hotelling transform and eigenvector transform, and is closely related to principal component analysis (PCA) technique widely used in image processing and in data analysis in many fields. (en)
- De stelling van Karhunen-Loève, ook bekend als de stelling van Kosambi–Karhunen–Loève, is een stelling in de theorie van de stochastische processen die stelt dat, analoog aan een fourierreeks, ook een stochastisch proces voorgesteld kan worden als een oneindige lineaire combinatie van orthogonale functies. De stelling is genoemd naar Kari Karhunen en Michel Loève. Stochastische processen gegeven door een reeks van deze vorm, zijn voor het eerst beschouwd door . , (nl)
- Em processamento digital de sinais, a transformada de Karhunen-Loève (KLT, do inglês Karnuhen-Loève transform) é uma transformada integral que se demonstra ser ótima sob vários aspectos importantes, e que por isso se constitui numa referência para avaliar o desempenho de outras transformações. A KLT possui a característica única de ser dependente da função de entrada, isto é, o núcleo da transformada varia conforme a função a ser transformada. Isso limita o seu uso em aplicações práticas, porque não é possível desenvolver-se um algoritmo eficiente para computar seus coeficientes. (pt)
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