| dbo:abstract
|
- El codi d'Hadamard és un codi de correcció d'errors que s'utilitza per a la durant la transmissió de missatges a través de canals molt sorollosos o poc fiables. El 1971 es va utilitzar el codi per transmetre fotos de Mart a la Terra des de la sonda espacial Mariner 9 de la NASA. Degut a les seves propietats matemàtiques úniques, el codi d'Hadamard no solament és utilitzat pels enginyers sinó també molt estudiat en , matemàtiques i . El codi d'Hadamard porta el nom del matemàtic francès Jacques Hadamard. També es coneix amb els noms de , de la família Walsh, i , en reconeixement del matemàtic nord-americà Joseph Leonard Walsh. El codi d'Hadamard és un exemple d'un codi lineal sobre un que mapeja els missatges de longitud k per paraules de codi de longitud 2k. És l'únic en què cada paraula de codi diferent de zero té un exactament 2k/2, el que implica que la distància del codi és també 2k/2. En la notació estàndard de per a codis de bloc, el codi d'Hadamard és un codi [2k, k, 2k/2]₂, és a dir, és un codi lineal sobre un alfabet binari, té longitud de bloc 2k, longitud del missatge (o dimensió) k, i distància mínima 2k/2. La longitud del bloc és molt gran en comparació amb la longitud del missatge, però per altra banda, els errors es poden corregir fins i tot en condicions extremadament sorolloses. El codi Hadamard perforat és una versió lleugerament millorada del codi d'Hadamard; és un [2k – 1, k, 2k – 2/2]₂ codi i per tant té una mica millor taxa mentre es manté la distància relativa de 1/2, i per tant es prefereix en aplicacions pràctiques. El codi d'Hadamard perforat és el mateix que el codi de Reed-Muller de primer ordre sobre l'alfabet binari. Normalment, els codis d'Hadamard es basen en la construcció de Sylvester de matrius d'Hadamard però el terme "codi d'Hadamard" també s'utilitza per fer referència als codis construïts a partir de matrius d'Hadamard arbitràries, que no són necessàriament de tipus Sylvester. En general un codi d'aquest tipus no és lineal. Aquests codis es van construir per primera vegada per i en 1959. Si n és la mida de la matriu d'Hadamard, el codi té com a paràmetres (n, 2n, n/2)₂, el que significa que és un codi binari no necessàriament lineal amb 2n paraules de codi, de longitud de bloc n i distància mínima n/2. L'esquema de construcció i descodificació que es descriu s'aplica per valors de n en general però la propietat de linealitat i la identificació amb requereixen que n sigui una potència de 2 i que la matriu d'Hadamard sigui equivalent a la matriu construïda pel mètode de Sylvester. El codi d'Hadamard és un codi desxifrable a nivell local, que proporciona una manera de recuperar parts del missatge original amb alta probabilitat, mirant només una petita fracció de la paraula rebuda. Això dona lloc a aplicacions en teoria de la complexitat computacional i en particular en el disseny de proves verificables probabilísticament. Com que la distància relativa del codi d'Hadamard és un 1/2, normalment només es pot esperar recuperar com a màxim una fracció 1/4 de l'error. Usant la llista de descodificació, però, és possible calcular una breu llista de possibles missatges candidats, tant llargs o menors que dels bits en la paraula rebuda estiguin corruptes. En l'accés múltiple per divisió de codi (CDMA) de comunicació, el codi d'Hadamard es coneix com a codi Walsh i s'utilitza per definir els canals de comunicació individuals. És usual en la literatura CDMA per referir-se a paraules de codi com "codis". Cada usuari utilitza una paraula de codi o "codi" per modular el seu senyal. Com que les paraules de codi de Walsh són matemàticament ortogonals, un senyal codificat segons Walsh apareix com soroll aleatori a un terminal mòbil CDMA, llevat que el terminal utilitzi la mateixa paraula de codi que l'utilitzat per a codificar el senyal entrant. (ca)
- Ein Hadamard-Code ist ein binärer Blockcode, der zur Fehlererkennung und Fehlerkorrektur verwendet wird. Er ist ein linearer Code. Er wurde nach dem französischen Mathematiker Jacques Hadamard benannt.Für große Blocklängen haben die Hadamard-Codes eine schlechte Informationsrate, können aber viele Fehler korrigieren. (de)
- The Hadamard code is an error-correcting code named after Jacques Hadamard that is used for error detection and correction when transmitting messages over very noisy or unreliable channels. In 1971, the code was used to transmit photos of Mars back to Earth from the NASA space probe Mariner 9. Because of its unique mathematical properties, the Hadamard code is not only used by engineers, but also intensely studied in coding theory, mathematics, and theoretical computer science.The Hadamard code is also known under the names Walsh code, Walsh family, and Walsh–Hadamard code in recognition of the American mathematician Joseph Leonard Walsh. The Hadamard code is an example of a linear code of length over a binary alphabet.Unfortunately, this term is somewhat ambiguous as some references assume a message length while others assume a message length of .In this article, the first case is called the Hadamard code while the second is called the augmented Hadamard code. The Hadamard code is unique in that each non-zero codeword has a Hamming weight of exactly , which implies that the distance of the code is also .In standard coding theory notation for block codes, the Hadamard code is a -code, that is, it is a linear code over a binary alphabet, has block length , message length (or dimension) , and minimum distance .The block length is very large compared to the message length, but on the other hand, errors can be corrected even in extremely noisy conditions. The augmented Hadamard code is a slightly improved version of the Hadamard code; it is a -code and thus has a slightly better rate while maintaining the relative distance of , and is thus preferred in practical applications.In communication theory, this is simply called the Hadamard code and it is the same as the first order Reed–Muller code over the binary alphabet. Normally, Hadamard codes are based on Sylvester's construction of Hadamard matrices, but the term “Hadamard code” is also used to refer to codes constructed from arbitrary Hadamard matrices, which are not necessarily of Sylvester type.In general, such a code is not linear.Such codes were first constructed by Raj Chandra Bose and Sharadchandra Shankar Shrikhande in 1959.If n is the size of the Hadamard matrix, the code has parameters , meaning it is a not-necessarily-linear binary code with 2n codewords of block length n and minimal distance n/2. The construction and decoding scheme described below apply for general n, but the property of linearity and the identification with Reed–Muller codes require that n be a power of 2 and that the Hadamard matrix be equivalent to the matrix constructed by Sylvester's method. The Hadamard code is a locally decodable code, which provides a way to recover parts of the original message with high probability, while only looking at a small fraction of the received word. This gives rise to applications in computational complexity theory and particularly in the design of probabilistically checkable proofs.Since the relative distance of the Hadamard code is 1/2, normally one can only hope to recover from at most a 1/4 fraction of error. Using list decoding, however, it is possible to compute a short list of possible candidate messages as long as fewer than of the bits in the received word have been corrupted. In code-division multiple access (CDMA) communication, the Hadamard code is referred to as Walsh Code, and is used to define individual communication channels. It is usual in the CDMA literature to refer to codewords as “codes”. Each user will use a different codeword, or “code”, to modulate their signal. Because Walsh codewords are mathematically orthogonal, a Walsh-encoded signal appears as random noise to a CDMA capable mobile terminal, unless that terminal uses the same codeword as the one used to encode the incoming signal. (en)
- Le code de Hadamard est un code correcteur, nommé d'après Jacques Hadamard, à taux de transfert extrêmement faible mais à grande distance, couramment utilisé pour la détection et la correction d'erreurs lors de la transmission de messages sur des canaux très bruyants ou peu fiables. Dans la notation standard de la théorie du codage pour les codes en bloc, le code de Hadamard est un code , c'est-à-dire un code linéaire sur un alphabet binaire, a une longueur de bloc de , la longueur (ou la dimension) du message , et une distance minimale . Bien que la longueur du bloc soit très grande par rapport à la longueur du message, les erreurs peuvent être corrigées même dans des conditions extrêmement bruyantes. Ce code étant localement déchiffrable, c'est-à-dire qu'il est possible de récupérer des parties du message original avec une forte probabilité, tout en ne disposant que d'une petite fraction du message reçu, il possède de nombreuses applications dans la théorie de la complexité des calculs et en particulier dans la conception de preuves vérifiables par probabilité. De plus, comme la distance relative du code de Hadamard est de 1/2, il est en théorie possible de récupérer des messages avec au maximum 1/4 de bits erronés. Cependant, en utilisant le décodage par liste, il est possible de calculer une courte liste de messages candidats possibles tant que moins de des bits du message reçu ont été corrompus. Grâce à ses propriétés mathématiques uniques, les codes Hadamard sont intensément étudiés dans des domaines tels que la théorie du codage, les mathématiques et l'informatique théorique, outre ses applications dans de nombreuses technologies et industries. (fr)
- アダマール符号（アダマールふごう、英: Hadamard code）は、信号の誤り検出訂正に使われる符号体系。名称はジャック・アダマールに由来する。[2n, n + 1, 2n − 1] 符号の一種である。n が大きいと転送レートは低くなるが、多くの誤りを訂正可能である。 (ja)
- Kody Walsha są najczęściej używane w ortogonalnych kodach aplikacji CDMA. Odpowiadają liniom macierzy Hadamarda. Zestaw kodów Walsha o długości N składa się z n wierszy tworzących kwadratową macierz Kody Walsha są tworzone i transformowane z macierzy Hadamarda. Macierz Hadamarda jest typem matrycy, z którego Walsh stworzył te kody. W rodzinie kodów Walsha wszystkie kody są względem siebie ortogonalne i służą do tworzenia kanałów w paśmie 1,25 MHz. Transformata Hadamarda wygląda następująco: Głównym celem kodów Walsha w CDMA jest zapewnienie ortogonalności wśród wszystkich użytkowników w komórce. Każdy kanał ruchu użytkownika ma przypisany przez stację bazową inny kod Walsha. Kody ortogonalne można łatwo wygenerować, zaczynając od 0, powtarzając 0 poziomo i pionowo, a następnie uzupełniając 1 po przekątnej. Proces ten należy kontynuować z nowo wygenerowanym blokiem, aż do wygenerowania żądanych kodów o odpowiedniej długości. Utworzone w ten sposób sekwencje nazywane są kodem „Walsha”. IS-95 może używać 64 kody, podczas gdy CDMA2000 może używać do 256 takich kodów. Kod Walsha 0 (który sam składa się z samych zer) jest zarezerwowany dla kanałów pilotowych, od 1 do 7 dla kanałów synchronizacji i stronicowania. Ortogonalny oznacza, że korelacja krzyżowa między kodami Walsha wynosi zero po wyrównaniu. Funkcje ortogonalne (czyli sygnały lub sekwencje) mają zerową korelację krzyżową. Zerową korelację uzyskuje się, gdy iloczyn dwóch sygnałów, zsumowanych w okresie czasu, wynosi zero. W szczególnym przypadku sekwencji binarnych wartości 0 i 1 mogą być postrzegane jako mające przeciwną polaryzację. Zatem gdy iloczyn (w tym przypadku XOR) dwóch sekwencji binarnych daje równą liczbę „1” i „0”, korelacja krzyżowa wynosi zero. Jednak autokorelacja słów kodowych Walsha-Hadamarda nie posiada dobrych cech. Może mieć więcej niż jeden pik sygnałowy, co utrudnia odbiornikowi aby wykryć początek słowa kodowego bez zewnętrznej synchronizacji. Częściowa korelacja krzyżowa sekwencji może być również różna od zera, a niezsynchronizowani użytkownicy mogą interferować ze sobą, zwłaszcza że środowisko wielościeżkowe będzie w różny sposób opóźniać sekwencje. Dlatego kody Walsha-Hadamarda są używane tylko w synchronicznych CDMA i tylko przez stację bazową, która może zachować ortogonalność między sygnałami dla swoich użytkowników. (pl)
- Код Адамара - завадостійкий код, який використовується для виявлення і корекції помилок під час передавання повідомлень через дуже шумні і ненадійні канали. У 1971 році код було використано для передавання на Землю фотографій Марса з космічного зонда NASA "Марінер-9". Через його унікальні математичні властивості код Адамара використовується не тільки інженерами, але й інтенсивно вивчається в теорії кодування, математиці та теоретичній інформатиці. Код Адамара названо на честь французького математика Жака Адамара.Він також відомий під назвами код Уолша, сімейство Уолша, і код Уолша–Адамара на визнання внеску американського математика . Код Адамара є прикладом лінійного коду на двійковому алфавіті, який перетворює повідомлення довжини на кодові слова довжини . Він відрізняється тим, що кожне ненульове кодове слово має рівно , отже відстань коду також дорівнює . У стандартній нотації теорії кодування для блокових кодів, код Адамара є кодом , що означає лінійний код на , що має довжину блока , довжину повідомлення (або розмірність) і найменшу відстань . Довжина блока дуже велика, порівняно з довжиною повідомлення, завдяки чому помилки можуть бути виправлені за значного шуму. Проколотий код Адамара - покращена версія коду Адамара; він є кодом , тому, має трохи кращу швидкість, зберігаючи відносну відстань , і таким чином переважає в практичних застосуваннях. Проколотий код Адамара збігається з першого порядку на двійковому алфавіті. Як правило, коди Адамара ґрунтуються на побудованих Сильвестром матрицях Адамара, але термін "код Адамара" також використовується для позначення кодів, побудованих з довільних матриць Адамара, які не обов'язково є Сильвестрового типу. В загальному випадку, такий код не є лінійним. Такі коди було вперше побудовано і у 1959 році.Якщо - розмір матриці Адамара, то код має параметри , отже, це не обов'язково лінійний двійковий код з кодових слів з довжиною блока і мінімальною відстанню . Схеми побудови і розшифровки, описані нижче, застосовні для довільного , але властивість лінійності та ідентичності з кодом Ріда–Маллера досягається лише, якщо є степенем 2 і якщо матриця Адамара еквівалентна матриці, побудованій методом Сильвестра. Код Адамара є кодом, який дозволяє відновити частини початкового повідомлення з високою ймовірністю, якщо отримано лише невелику частину кодового слова. Це дозволяє застосовувати його в теорії обчислювальної складності та особливо при розробці .Оскільки відносна відстань коду Адамара , як правило, можна сподіватися на відновлення за не більше ніж помилок. Однак, використовуючи , можна обчислити короткий список можливих повідомлень-кандидатів, поки в прийнятому слові пошкоджено менше ніж біт . У каналах телефонного зв'язку з множинним доступом з кодовим поділом (CDMA) код Адамара називають кодом Волша, і використовують для визначення індивідуальних каналів зв'язку. Зазвичай в літературі з CDMA кодові слова називають "кодами". Кожен користувач використовує різні кодові слова, або "коди", для модуляції свого сигналу. Оскільки кодові слова Волша є математично ортогональні, то сигнал, кодований за Волшем, сприймається мобільним стандарту CDMA як випадковий шум, якщо термінал використовує пароль, відмінний від використаного для кодування вхідного сигналу. (uk)
|
