| dbo:abstract
|
- In der Kategorientheorie ist der Begriff der angereicherten Kategorie eine Verallgemeinerung des Begriffs der lokal kleinen Kategorie. In lokal kleinen Kategorien hat man zu je zwei Objekten eine Menge von Morphismen , also ein Objekt in .Die Grundidee angereicherter Kategorien ist nun, dass statt auch andere Kategorien für die Morphismenmengen verwendet werden können sollen. Zum Beispiel ist es manchmal nützlich, die Morphismenmengen als topologische Räume, also als Objekte in TOP zu betrachten. Allgemein können beliebige monoidale Kategorien zur Definition angereicherter Kategorien verwendet werden. (de)
- In category theory, a branch of mathematics, an enriched category generalizes the idea of a category by replacing hom-sets with objects from a general monoidal category. It is motivated by the observation that, in many practical applications, the hom-set often has additional structure that should be respected, e.g., that of being a vector space of morphisms, or a topological space of morphisms. In an enriched category, the set of morphisms (the hom-set) associated with every pair of objects is replaced by an object in some fixed monoidal category of "hom-objects". In order to emulate the (associative) composition of morphisms in an ordinary category, the hom-category must have a means of composing hom-objects in an associative manner: that is, there must be a binary operation on objects giving us at least the structure of a monoidal category, though in some contexts the operation may also need to be commutative and perhaps also to have a right adjoint (i.e., making the category symmetric monoidal or even symmetric closed monoidal, respectively). Enriched category theory thus encompasses within the same framework a wide variety of structures including
* ordinary categories where the hom-set carries additional structure beyond being a set. That is, there are operations on, or properties of morphisms that need to be respected by composition (e.g., the existence of 2-cells between morphisms and horizontal composition thereof in a 2-category, or the addition operation on morphisms in an abelian category)
* category-like entities that don't themselves have any notion of individual morphism but whose hom-objects have similar compositional aspects (e.g., preorders where the composition rule ensures transitivity, or Lawvere's metric spaces, where the hom-objects are numerical distances and the composition rule provides the triangle inequality). In the case where the hom-object category happens to be the category of sets with the usual cartesian product, the definitions of enriched category, enriched functor, etc... reduce to the original definitions from ordinary category theory. An enriched category with hom-objects from monoidal category M is said to be an enriched category over M or an enriched category in M, or simply an M-category. Due to Mac Lane's preference for the letter V in referring to the monoidal category, enriched categories are also sometimes referred to generally as V-categories. (en)
- Une catégorie enrichie sur une catégorie monoïdale , ou -catégorie est une extension du concept mathématique de catégorie, où les morphismes, au lieu de former une classe ou un ensemble dépourvu de structure, sont des éléments de . (fr)
- 범주론에서 풍성한 범주(豐盛-範疇, 영어: enriched category)는 "사상 집합"이 집합 대신 다른 모노이드 범주의 대상이 될 수 있는, 범주의 개념의 일반화이다. (ko)
- In de categorietheorie, een abstract deelgebied van de wiskunde, en haar toepassingen in de wiskunde, is een verrijkte categorie een categorie waarvan de hom-verzamelingen worden vervangen door objecten uit een algemene monoïdale categorie, dit alles op een zich goedgedragende wijze. (nl)
- 数学の一分野、圏論における豊穣圏（ほうじょうけん、英: enriched category; 豊饒圏、豊穣化された圏、豊饒化された圏）は、（局所的に小さい）圏におけるを一般のモノイド圏の対象に置き換えて得られる圏の一般化である。 豊穣圏を考える意義は、実際の応用の多くにおいて射集合が追加の構造を備えている（例えば射のベクトル空間や射の位相空間になっている）ことが期待されることがしばしばあるという観察に基づく。 一つの豊饒圏において、対象の任意の対に付随する射集合は、よくわからない「射対象」("hom-objects"; ホム対象) の成す何らかの固定されたモノイド圏（「射圏」; "hom-category"; ホム圏）の対象に置き換えられる。通常の圏における射の（結合的な）合成を再現するためには、射圏は射対象の間に定義される結合的な合成を持たなければならない。つまり、少なくとも、射対象の間の二項演算がモノイド圏の構造から導入される必要がある。文脈によってはその演算が可換であったり、右随伴を持ったりすることがあり得るし、それが必要とされる場合もある（それにより圏がや、さらにモノイド閉圏となる）。 したがって豊饒圏論は広く多様な構造を同じ枠組みに包摂するものである。そのような構造として以下のようなものが挙げられる:
* 通常の圏だが射集合が単に集合であるばかりでなく追加の構造を備えるもの。すなわち、射に関して演算もしくは性質が定められ、それらが射の合成によって保たれる。例えばにおいて（一次元の）射の間に二次元の射 (2-cell) が存在して水平合成ができるし、あるいはアーベル圏において射には加法が定義される。
* 圏に類似な対象で、それ自身は個々の射の概念を全く持たないが、射対象は圏同様の合成と見なせる性質を持つもの。例えば、は合成則を推移律によって保障されるし、ローヴェアの距離空間は射対象が数値的な距離でありその合成則は三角不等式により与えられる。 射対象全体の成す圏が集合の圏に通常のデカルト積を備えたモノイド圏となっているときを考えれば、その場合の豊饒圏、豊穣函手などは、通常の圏論における通常の定義に基づく、圏、函手などに帰着される。 モノイド圏 M に射対象を持つ豊饒圏を M 上の豊饒圏 (enriched category over M) や M における豊饒圏 (enriched category in M) あるいは M で豊饒化された圏 (category enriched by M) や簡単に M-豊饒圏 (M-enriched category) もしくはもっと簡単に M-圏 (M-category) などと呼ぶ。マクレーンはモノイド圏を表すのに文字 V を使っていたから、豊饒圏のことも一般に V-圏と呼ぶこともある。 (ja)
- Обогащённая категория в теории категорий — обобщение понятия категории, конструкция, в которой множество морфизмов между двумя объектами заменена на объект произвольной моноидальной категории. Использование такого понятия основано на наблюдении, что во многих практических приложениях множества морфизмов имеют дополнительную структуру. Для того, чтобы воспроизвести ассоциативную операцию композиции морфизмов в обычной категории, категория, из которой берутся морфизмы, должна иметь (ассоциативную) бинарную операцию с тождественным элементом, то есть как минимум иметь структуру моноидальной категории. Обогащённая категория, морфизмы которой принадлежат моноидальной категории , называется обогащённой категорией над , или -категорией. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- Une catégorie enrichie sur une catégorie monoïdale , ou -catégorie est une extension du concept mathématique de catégorie, où les morphismes, au lieu de former une classe ou un ensemble dépourvu de structure, sont des éléments de . (fr)
- 범주론에서 풍성한 범주(豐盛-範疇, 영어: enriched category)는 "사상 집합"이 집합 대신 다른 모노이드 범주의 대상이 될 수 있는, 범주의 개념의 일반화이다. (ko)
- In de categorietheorie, een abstract deelgebied van de wiskunde, en haar toepassingen in de wiskunde, is een verrijkte categorie een categorie waarvan de hom-verzamelingen worden vervangen door objecten uit een algemene monoïdale categorie, dit alles op een zich goedgedragende wijze. (nl)
- In category theory, a branch of mathematics, an enriched category generalizes the idea of a category by replacing hom-sets with objects from a general monoidal category. It is motivated by the observation that, in many practical applications, the hom-set often has additional structure that should be respected, e.g., that of being a vector space of morphisms, or a topological space of morphisms. In an enriched category, the set of morphisms (the hom-set) associated with every pair of objects is replaced by an object in some fixed monoidal category of "hom-objects". In order to emulate the (associative) composition of morphisms in an ordinary category, the hom-category must have a means of composing hom-objects in an associative manner: that is, there must be a binary operation on objects gi (en)
- In der Kategorientheorie ist der Begriff der angereicherten Kategorie eine Verallgemeinerung des Begriffs der lokal kleinen Kategorie. In lokal kleinen Kategorien hat man zu je zwei Objekten eine Menge von Morphismen , also ein Objekt in .Die Grundidee angereicherter Kategorien ist nun, dass statt auch andere Kategorien für die Morphismenmengen verwendet werden können sollen. (de)
- 数学の一分野、圏論における豊穣圏（ほうじょうけん、英: enriched category; 豊饒圏、豊穣化された圏、豊饒化された圏）は、（局所的に小さい）圏におけるを一般のモノイド圏の対象に置き換えて得られる圏の一般化である。 豊穣圏を考える意義は、実際の応用の多くにおいて射集合が追加の構造を備えている（例えば射のベクトル空間や射の位相空間になっている）ことが期待されることがしばしばあるという観察に基づく。 一つの豊饒圏において、対象の任意の対に付随する射集合は、よくわからない「射対象」("hom-objects"; ホム対象) の成す何らかの固定されたモノイド圏（「射圏」; "hom-category"; ホム圏）の対象に置き換えられる。通常の圏における射の（結合的な）合成を再現するためには、射圏は射対象の間に定義される結合的な合成を持たなければならない。つまり、少なくとも、射対象の間の二項演算がモノイド圏の構造から導入される必要がある。文脈によってはその演算が可換であったり、右随伴を持ったりすることがあり得るし、それが必要とされる場合もある（それにより圏がや、さらにモノイド閉圏となる）。 したがって豊饒圏論は広く多様な構造を同じ枠組みに包摂するものである。そのような構造として以下のようなものが挙げられる: (ja)
- Обогащённая категория в теории категорий — обобщение понятия категории, конструкция, в которой множество морфизмов между двумя объектами заменена на объект произвольной моноидальной категории. Использование такого понятия основано на наблюдении, что во многих практических приложениях множества морфизмов имеют дополнительную структуру. Для того, чтобы воспроизвести ассоциативную операцию композиции морфизмов в обычной категории, категория, из которой берутся морфизмы, должна иметь (ассоциативную) бинарную операцию с тождественным элементом, то есть как минимум иметь структуру моноидальной категории. (ru)
|
