| dbo:abstract
|
- Monoidální (tenzorová) kategorie je kategorie s (zvaným tenzorový produkt) a jednotkovým prvkem takovými, že existují přirozené isomorfismy , , ( se nazývá asociátor a levý (pravý) unitor). Monoidální kategorie umožňuje definici monoidálního objektu, jakým jsou například algebraické monoidy v kategorii Set. Endofunktory spolu se skládáním a identitou tvoří monoidální kategorii endofunktorů, přičemž monoidy v ní jsou monádami známými z funkcionálního programování. (cs)
- In der Mathematik bezeichnet eine monoidale Kategorie eine Kategorie , die mit einem zweistelligen Funktorund einem Einheitsobjektausgestattet ist. Die Verknüpfung muss assoziativ in dem Sinne sein, dass es eine natürliche Äquivalenz , gibt; muss links- und rechtsneutral in dem Sinne sein, dass es natürliche Äquivalenzen und gibt, gegeben durch und . Diese natürlichen Transformationen sollen kohärent sein. Alle nötigen Kohärenzbedingungen folgen aus der Kommutativität der folgenden beiden Diagramme: und Aus diesen beiden Bedingungen folgt, dass jedes solche Diagramm kommutiert: Das ist Mac Lanes "Kohärenzsatz".
* Eine monoidale Kategorie kann als mit einem Objekt angesehen werden.
* In einer monoidalen Kategorie lässt sich der Begriff des Monoid-Objekts definieren, der den des Monoids verallgemeinert. (de)
- En matemáticas una categoría monoidal o categoría tensorial es una categoría C junto con un bifuntor ⊗ : C × C → C Que es asociativo bajo isomorfismo natural y un objeto I que actúa como objeto neutro o identidad por la izquierda y la derecha para ⊗ bajo isomorfismo natural (los isomorfismos natural asociados son llamados naturales porque juntos satisfacen ciertas que nos dicen que todos los diagramas relevantes conmutan). Categorías monoidales son el análogo categórico de monoides en álgebra abstracta. El producto tensorial ordinario entre espacios vectoriales, grupos abelianos, R-módulos o anillos conmutativos sirven para dar estructura a las categorías asociadas de categoría monoidal. Las categorías monoidales pueden ser vistas como una generalización de estos y muchos otros ejemplos. En teoría de categorías las categorías monoidales pueden ser usadas para definir el concepto de y una acción asociada en los objetos de la categoría. También son usadas en la definición de . Categorías monoidales tienen numerosas aplicaciones fuera de la teoría de categorías por ejemplo se utilizan para definir modelos en la parte multiplicativa de la lógica intuicionista lineal. También forman la fundación matemática para el en materia condensada. tienen aplicaciones en Teoría cuántica de campos y teoría de cuerdas. (es)
- In mathematics, a monoidal category (or tensor category) is a category equipped with a bifunctor that is associative up to a natural isomorphism, and an object I that is both a left and right identity for ⊗, again up to a natural isomorphism. The associated natural isomorphisms are subject to certain coherence conditions, which ensure that all the relevant diagrams commute. The ordinary tensor product makes vector spaces, abelian groups, R-modules, or R-algebras into monoidal categories. Monoidal categories can be seen as a generalization of these and other examples. Every (small) monoidal category may also be viewed as a "categorification" of an underlying monoid, namely the monoid whose elements are the isomorphism classes of the category's objects and whose binary operation is given by the category's tensor product. A rather different application, of which monoidal categories can be considered an abstraction, is that of a system of data types closed under a type constructor that takes two types and builds an aggregate type; the types are the objects and is the aggregate constructor. The associativity up to isomorphism is then a way of expressing that different ways of aggregating the same data—such as and —store the same information even though the aggregate values need not be the same. The aggregate type may be analogous to the operation of addition (type sum) or of multiplication (type product). For type product, the identity object is the unit , so there is only one inhabitant of the type, and that is why a product with it is always isomorphic to the other operand. For type sum, the identity object is the void type, which stores no information and it is impossible to address an inhabitant. The concept of monoidal category does not presume that values of such aggregate types can be taken apart; on the contrary, it provides a framework that unifies classical and quantum information theory. In category theory, monoidal categories can be used to define the concept of a monoid object and an associated action on the objects of the category. They are also used in the definition of an enriched category. Monoidal categories have numerous applications outside of category theory proper. They are used to define models for the multiplicative fragment of intuitionistic linear logic. They also form the mathematical foundation for the topological order in condensed matter physics. Braided monoidal categories have applications in quantum information, quantum field theory, and string theory. (en)
- En mathématiques, une catégorie monoïdale est une catégorie munie d'un bifoncteur qui généralise la notion de produit tensoriel de deux structures algébriques. Intuitivement, il s'agit de l'analogue, au niveau des catégories, de la notion de monoïde, c'est-à-dire que le bifoncteur joue le rôle d'une sorte de multiplication pour les objets de la catégorie. (fr)
- 数学におけるモノイド圏（モノイドけん、英: monoidal category; モノイド的圏、モノイダル圏）あるいはテンソル圏（テンソルけん、英: tensor category）は、（自然同型の違いを除いて結合的な ⊗: C × C → C と、⊗ について（再び自然同型の違いを除いて）左および右単位元となる対象 I を備えた圏 C である。この圏における自然同型は、関連する全ての図式を可換にすることを保証した（一貫性条件、整合条件）に従わなければならない。したがって、モノイド圏は抽象代数におけるモノイドの圏論的な緩い類似物である。 ベクトル空間、アーベル群、R-加群、R-多元環などの間に定義される通常のテンソル積は、それぞれの概念に付随する圏にモノイド構造を与える。ゆえにモノイド圏をこれら、あるいは他の例の一般化として見ることもできる。 圏論において、モノイド圏はモノイド対象の概念とそれに付随する作用を定義する。また、豊穣圏を定義する際にも使われる。 モノイド圏は圏論以外の分野において多数の応用を持つ。直観的線型論理の multiplicative fragment のモデルを定義し、物性物理学においての数学的な基盤を与え、は場の量子論やひも理論に応用をもつ。 (ja)
- 범주론에서 모노이드 범주(monoid範疇, 영어: monoidal category)는 동형 사상 아래 결합 법칙이 성립하고 동형 사상 아래 왼쪽·오른쪽 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다. 모노이드 범주 속에는 모노이드 대상의 개념을 정의할 수 있다. (ko)
- In matematica, una categoria monoidale, o categoria tensoriale, è una categoria munita di un che è associativo a meno di isomorfismi naturali, e un oggetto che è elemento neutro sia a destra sia a sinistra per a meno di isomorfismi naturali. L'isomorfismo naturale associato è soggetto a certe condizioni che garantiscono che tutti i diagrammi rilevanti siano commutativi. In una categoria monoidale, gli analoghi degli usuali monoidi dell'algebra astratta possono essere definiti usando tali diagrammi commutativi. Infatti i monoidi classici sono esattamente gli nella categoria monoidale degli insiemi con il prodotto cartesiano come prodotto monoidale. Uno spazio vettoriale, un gruppo abeliano, un -modulo, o una -algebra con l'ordinario prodotto tensoriale sono una categoria monoidale. Le categorie monoidali possono essere viste come una generalizzazione di questi esempi. Nella teoria delle categorie, le categorie monoidali possono essere usate per definire il concetto di un oggetto monoidale e un'azione a lui associata su altri oggetti della stessa categoria. Sono inoltre usate nella definizione di una . Le categorie monoidali hanno numerose applicazioni al di fuori della stessa teoria di categorie. Sono anche usate per definire dei modelli per il frammento multiplicativo della logica lineare intuizionista. Formano anche la base matematica per l' nella materia condensata. Le hanno applicazione nella teoria quantistica dei campi e nella teoria delle stringhe. (it)
- In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een monoïdale categorie (of tensorcategorie) een categorie C, die is uitgerust met een ⊗ : C × C → C die associatief is ("upto" (tot) een natuurlijk isomorfisme), en een object I, die zowel een linker- en rechter identiteit voor ⊗ (wederom, "upto" (tot) natuurlijke isomorfisme). De geassocieerde natuurlijke isomorfismen zijn onderworpen aan bepaalde , die ervoor zorgen dat alle relevante diagrammen commuteren. Monoïdale categorieën zijn dus een losse categorisch analogon van de monoïden in de abstracte algebra. Het gewone tensorproduct tussen vectorruimten, abelse groepen, R-modulen of R-algebra dient om de geassocieerde categorieën in monoïdale categorieën te veranderen. Monoïdale categorieën kunnen worden gezien als een veralgemening van deze en andere voorbeelden. In de categorietheorie kunnen monoïdale categorieën worden gebruikt om de notie van een monoïde object een bijbehorende actie op de objecten van de categorie te definiëren. Ze worden ook gebruikt in de definitie van een verrijkte categorie. Monoïdale categorieën hebben talrijke toepassingen buiten de eigenlijke categorietheorie. Ze worden gebruikt om modellen voor het multiplicatieve fragment van de intuïtionistische te definiëren. Zij vormen ook de wiskundige fundering voor de in gecondenseerde materie. hebben toepassingen in de kwantumveldentheorie en de snaartheorie. (nl)
- Моноидальная категория (или тензорная категория) — категория C, снабженная бифунктором ⊗ : C × C → C, который ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма, а также объектом I, который является единицей для ⊗ также с точностью до естественного изоморфизма. Также на естественные изоморфизмы накладываются некоторые дополнительные условия. В моноидальной категории можно дать определение моноида, обобщающее свойства моноида из общей алгебры. На самом деле, обычные моноиды — это моноиды в категории множеств с прямым произведением в качестве моноидального произведения. Обычное тензорное произведение делает векторные пространства, абелевы группы и модули моноидальными категориями, произвольные моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих примеров. (ru)
- 張量範疇（tensor category），或曰幺半範疇（monoidal category）， 直覺地講，是個配上張量積的阿貝爾範疇（abelian category），可當作環的。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Monoidální (tenzorová) kategorie je kategorie s (zvaným tenzorový produkt) a jednotkovým prvkem takovými, že existují přirozené isomorfismy , , ( se nazývá asociátor a levý (pravý) unitor). Monoidální kategorie umožňuje definici monoidálního objektu, jakým jsou například algebraické monoidy v kategorii Set. Endofunktory spolu se skládáním a identitou tvoří monoidální kategorii endofunktorů, přičemž monoidy v ní jsou monádami známými z funkcionálního programování. (cs)
- En mathématiques, une catégorie monoïdale est une catégorie munie d'un bifoncteur qui généralise la notion de produit tensoriel de deux structures algébriques. Intuitivement, il s'agit de l'analogue, au niveau des catégories, de la notion de monoïde, c'est-à-dire que le bifoncteur joue le rôle d'une sorte de multiplication pour les objets de la catégorie. (fr)
- 数学におけるモノイド圏（モノイドけん、英: monoidal category; モノイド的圏、モノイダル圏）あるいはテンソル圏（テンソルけん、英: tensor category）は、（自然同型の違いを除いて結合的な ⊗: C × C → C と、⊗ について（再び自然同型の違いを除いて）左および右単位元となる対象 I を備えた圏 C である。この圏における自然同型は、関連する全ての図式を可換にすることを保証した（一貫性条件、整合条件）に従わなければならない。したがって、モノイド圏は抽象代数におけるモノイドの圏論的な緩い類似物である。 ベクトル空間、アーベル群、R-加群、R-多元環などの間に定義される通常のテンソル積は、それぞれの概念に付随する圏にモノイド構造を与える。ゆえにモノイド圏をこれら、あるいは他の例の一般化として見ることもできる。 圏論において、モノイド圏はモノイド対象の概念とそれに付随する作用を定義する。また、豊穣圏を定義する際にも使われる。 モノイド圏は圏論以外の分野において多数の応用を持つ。直観的線型論理の multiplicative fragment のモデルを定義し、物性物理学においての数学的な基盤を与え、は場の量子論やひも理論に応用をもつ。 (ja)
- 범주론에서 모노이드 범주(monoid範疇, 영어: monoidal category)는 동형 사상 아래 결합 법칙이 성립하고 동형 사상 아래 왼쪽·오른쪽 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다. 모노이드 범주 속에는 모노이드 대상의 개념을 정의할 수 있다. (ko)
- 張量範疇（tensor category），或曰幺半範疇（monoidal category）， 直覺地講，是個配上張量積的阿貝爾範疇（abelian category），可當作環的。 (zh)
- In der Mathematik bezeichnet eine monoidale Kategorie eine Kategorie , die mit einem zweistelligen Funktorund einem Einheitsobjektausgestattet ist. Die Verknüpfung muss assoziativ in dem Sinne sein, dass es eine natürliche Äquivalenz , gibt; muss links- und rechtsneutral in dem Sinne sein, dass es natürliche Äquivalenzen und gibt, gegeben durch und . Diese natürlichen Transformationen sollen kohärent sein. Alle nötigen Kohärenzbedingungen folgen aus der Kommutativität der folgenden beiden Diagramme: und (de)
- En matemáticas una categoría monoidal o categoría tensorial es una categoría C junto con un bifuntor ⊗ : C × C → C Que es asociativo bajo isomorfismo natural y un objeto I que actúa como objeto neutro o identidad por la izquierda y la derecha para ⊗ bajo isomorfismo natural (los isomorfismos natural asociados son llamados naturales porque juntos satisfacen ciertas que nos dicen que todos los diagramas relevantes conmutan). Categorías monoidales son el análogo categórico de monoides en álgebra abstracta. (es)
- In mathematics, a monoidal category (or tensor category) is a category equipped with a bifunctor that is associative up to a natural isomorphism, and an object I that is both a left and right identity for ⊗, again up to a natural isomorphism. The associated natural isomorphisms are subject to certain coherence conditions, which ensure that all the relevant diagrams commute. In category theory, monoidal categories can be used to define the concept of a monoid object and an associated action on the objects of the category. They are also used in the definition of an enriched category. (en)
- In matematica, una categoria monoidale, o categoria tensoriale, è una categoria munita di un che è associativo a meno di isomorfismi naturali, e un oggetto che è elemento neutro sia a destra sia a sinistra per a meno di isomorfismi naturali. L'isomorfismo naturale associato è soggetto a certe condizioni che garantiscono che tutti i diagrammi rilevanti siano commutativi. In una categoria monoidale, gli analoghi degli usuali monoidi dell'algebra astratta possono essere definiti usando tali diagrammi commutativi. Infatti i monoidi classici sono esattamente gli nella categoria monoidale degli insiemi con il prodotto cartesiano come prodotto monoidale. (it)
- In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een monoïdale categorie (of tensorcategorie) een categorie C, die is uitgerust met een ⊗ : C × C → C die associatief is ("upto" (tot) een natuurlijk isomorfisme), en een object I, die zowel een linker- en rechter identiteit voor ⊗ (wederom, "upto" (tot) natuurlijke isomorfisme). De geassocieerde natuurlijke isomorfismen zijn onderworpen aan bepaalde , die ervoor zorgen dat alle relevante diagrammen commuteren. Monoïdale categorieën zijn dus een losse categorisch analogon van de monoïden in de abstracte algebra. (nl)
- Моноидальная категория (или тензорная категория) — категория C, снабженная бифунктором ⊗ : C × C → C, который ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма, а также объектом I, который является единицей для ⊗ также с точностью до естественного изоморфизма. Также на естественные изоморфизмы накладываются некоторые дополнительные условия. В моноидальной категории можно дать определение моноида, обобщающее свойства моноида из общей алгебры. На самом деле, обычные моноиды — это моноиды в категории множеств с прямым произведением в качестве моноидального произведения. (ru)
|
