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- In mathematics, crystalline cohomology is a Weil cohomology theory for schemes X over a base field k. Its values Hn(X/W) are modules over the ring W of Witt vectors over k. It was introduced by Alexander Grothendieck and developed by Pierre Berthelot. Crystalline cohomology is partly inspired by the p-adic proof in of part of the Weil conjectures and is closely related to the algebraic version of de Rham cohomology that was introduced by Grothendieck (1963). Roughly speaking, crystalline cohomology of a variety X in characteristic p is the de Rham cohomology of a smooth lift of X to characteristic 0, while de Rham cohomology of X is the crystalline cohomology reduced mod p (after taking into account higher Tors). The idea of crystalline cohomology, roughly, is to replace the Zariski open sets of a scheme by infinitesimal thickenings of Zariski open sets with divided power structures. The motivation for this is that it can then be calculated by taking a local lifting of a scheme from characteristic p to characteristic 0 and employing an appropriate version of algebraic de Rham cohomology. Crystalline cohomology only works well for smooth proper schemes. Rigid cohomology extends it to more general schemes. (en)
- La cohomologie cristalline est une cohomologie de Weil pour les schémas, introduite par Alexander Grothendieck en 1966 et développée par Pierre Berthelot. Elle étend le domaine d'application de la cohomologie étale en considérant les modules sur les anneaux de vecteurs de Witt sur le corps de base. (fr)
- 数学において、クリスタリンコホモロジーとは、体k上のスキームXのヴェイユコホモロジー理論である。その値H 'N（X' / W）はK上Wittベクトルの環W上加群。Alexander Grothendieck により導入され、Pierre Berthelot が発展させた。 クリスタリンコホモロジーは、ヴェイユ予想のによるp進的証明に部分的に触発されており、グロタンディーク（1963）によって導入されたドラームコホモロジーの代数的バージョンと密接に関連する。大まかに言えば、代数多様体Xのクリスタリンコホモロジーは、ド・ラームコホモロジーがクリスタリンコホモロジーである標数PでのXは、標数0〜Xの滑らかなリフトのド・ラームコホモロジーである。 クリスタリンコホモロジーの考え方は、大まかに言って、スキームのザリスキー開集合を、分割されたベキ構造を持つザリスキー開集合の微小な被覆に置き換えることです。これは、標数pから標数0へのスキームの局所的なリフティングを取り、代数的ド・ラームコホモロジーを使用することによって計算できる。 クリスタリンコホモロジーは、滑らかで固有なスキームに対してのみうまく機能する。リジッドコホモロジーはそれをより一般的なスキームに拡張する。 (ja)
- 대수기하학에서 결정 코호몰로지(結晶cohomology, 영어: crystalline cohomology, 프랑스어: cohomologie cristalline)는 양의 표수를 가지는 가환환 위에서 푸앵카레 보조정리를 모방하려 만들어진 코호몰로지 이론이다. (ko)
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- La cohomologie cristalline est une cohomologie de Weil pour les schémas, introduite par Alexander Grothendieck en 1966 et développée par Pierre Berthelot. Elle étend le domaine d'application de la cohomologie étale en considérant les modules sur les anneaux de vecteurs de Witt sur le corps de base. (fr)
- 数学において、クリスタリンコホモロジーとは、体k上のスキームXのヴェイユコホモロジー理論である。その値H 'N（X' / W）はK上Wittベクトルの環W上加群。Alexander Grothendieck により導入され、Pierre Berthelot が発展させた。 クリスタリンコホモロジーは、ヴェイユ予想のによるp進的証明に部分的に触発されており、グロタンディーク（1963）によって導入されたドラームコホモロジーの代数的バージョンと密接に関連する。大まかに言えば、代数多様体Xのクリスタリンコホモロジーは、ド・ラームコホモロジーがクリスタリンコホモロジーである標数PでのXは、標数0〜Xの滑らかなリフトのド・ラームコホモロジーである。 クリスタリンコホモロジーの考え方は、大まかに言って、スキームのザリスキー開集合を、分割されたベキ構造を持つザリスキー開集合の微小な被覆に置き換えることです。これは、標数pから標数0へのスキームの局所的なリフティングを取り、代数的ド・ラームコホモロジーを使用することによって計算できる。 クリスタリンコホモロジーは、滑らかで固有なスキームに対してのみうまく機能する。リジッドコホモロジーはそれをより一般的なスキームに拡張する。 (ja)
- 대수기하학에서 결정 코호몰로지(結晶cohomology, 영어: crystalline cohomology, 프랑스어: cohomologie cristalline)는 양의 표수를 가지는 가환환 위에서 푸앵카레 보조정리를 모방하려 만들어진 코호몰로지 이론이다. (ko)
- In mathematics, crystalline cohomology is a Weil cohomology theory for schemes X over a base field k. Its values Hn(X/W) are modules over the ring W of Witt vectors over k. It was introduced by Alexander Grothendieck and developed by Pierre Berthelot. Crystalline cohomology only works well for smooth proper schemes. Rigid cohomology extends it to more general schemes. (en)
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- Crystalline cohomology (en)
- Cohomologie cristalline (fr)
- クリスタリン・コホモロジー (ja)
- 결정 코호몰로지 (ko)
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