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- En geometria, el teorema de Ceva estableix que, en un triangle qualsevol, tres rectes que van des de cada vèrtex del triangle al costat oposat o a la seva prolongació són concurrents (es tallen en un punt) si i només si on cada parell de lletres representa un segment lineal en el triangle, com es pot veure a la figura de la dreta. També existeix en forma trigonomètrica una manera d'expressar el teorema de Ceva. Ax', By' i Cz' són concurrents si i només si El teorema va ésser demostrat per Giovanni Ceva a la seva obra De lineis rectis del 1678, però ja havia estat demostrat molt abans per Yússuf ibn Àhmad al-Mútaman, un emir de Saragossa del segle xi. Hi ha diferents elements geomètrics que estan associats a aquest teorema i tenen un nom que es deriva del de Ceva, com la ceviana (els segments Ax, By i Cz són les cevianes del triangle, concurrents en el punt P) o bé el (el triangle xyz és el triangle cevià de P). El teorema de Ceva és molt similar al teorema de Menelau en el sentit que tenen equacions que difereixen només en el signe. A més, la representació gràfica d'un és la de l'altra. Cadascun pot demostrar-se a partir de l'altre. (ca)
- في الهندسة الإقليدية، تعد مبرهنة سيفا من أشهر المبرهنات الرياضية. إذا كان ABC مثلثا وكانت النقاط D و E و F تقعن على الأضلاع BC و AC و AB على التوالي، فإن المستقيمات AD و BE و CF تتقاطع في نقطة واحدة O إذا وفقط إذا كان: قدم برهاناً لهذه المبرهنة في عام 1678. جيوفاني سيفا رياضي إيطالي تخصص في الهندسة واشتهر بهذه المبرهنة، وإن كانت المبرهنة قد برهنت سابقاً من قبل العالم يوسف المؤتمن بن هود ملك طائفة سرقسطة في القرن الحادي عشر ميلادي. (ar)
- Der Satz von Ceva ist eine geometrische Aussage über Ecktransversalen im Dreieck, die der italienische Mathematiker Giovanni Ceva (1647 bis 1734) 1678 in seinem Werk De lineis rectis bewies. Der Satz wurde allerdings bereits im 11. Jahrhundert durch den Mathematiker und Emir von Zaragossa Yusuf al-Mutaman beschrieben. In einem Dreieck seien , und drei Ecktransversalen (also Verbindungsstrecken zwischen einer Ecke und einem Punkt auf der gegenüber liegenden Seite beziehungsweise deren Verlängerung), die sich in einem Punkt innerhalb oder außerhalb des Dreiecks schneiden. Dann gilt: Hierbei ist das (orientierte, also eventuell negative) Teilverhältnis von , was für drei auf einer Gerade liegenden Punkte mit definiert wird durch . Wenn zwischen und liegt, ist das genannte Teilverhältnis gleich , andernfalls gleich . Die oben angegebene Gleichung lässt sich mithilfe des Satzes von Menelaos beweisen. Umgekehrt kann aus der Richtigkeit dieser Gleichung gefolgert werden, dass sich die Geraden , und in einem Punkt schneiden oder parallel sind. Diese Umkehrung des Satzes von Ceva wird häufig in der Dreiecksgeometrie für Beweise aus dem Themenbereich "Ausgezeichnete Punkte im Dreieck" verwendet. Wenn die Gleichung gilt, folgt daraus auch: Da die Orientierung hierbei verloren geht, ist diese Gleichung nicht ausreichend für eine Umkehrung des Satzes, vgl. Satz von Menelaos. Eine Verallgemeinerung des Satzes von Ceva ist der Satz von Routh. Formuliert man den Satz von Ceva für die reelle projektive Ebene beziehungsweise für den projektiven Abschluss der hier verwendeten (affinen) reellen Anschauungsebene, so kann man den Satz und seine Umkehrung ohne den Sonderfall der parallelen Geraden formulieren. (de)
- En eŭklida geometrio, la Ĉeva teoremo asertas, ke se ĉiu vertico de triangulo estas ligita per segmento al iu ajn punkto sur la kontraŭa latero, kaj la tri segmentoj renkontiĝas ĉe renkontpunkto, tiam la produkto de la divida proporcio estas 1; Kaj inverse - se la produkto de la divida proporcio estas 1, tiam la segmentoj renkontiĝas en renkontpunkto (La punto desegnita per O ĉe la ilustraĵo no-1). En ĉi tiu teoremo, la divida proporcio estas kalkulita per signo, kaj validas ankaŭ por ekstera divido. Por la linioj AD, BE kaj CF (vidu desegnon), la produkto estas la produkto . Alia formuliĝo de la teoremo kiu uzas angulojn, konata kiel la " angula chevra teoremo " estas: Eblas pruvi, ke la formuliĝoj samvaloras per uzado de la leĝo de sinusoj. La fakto, ke la tri medianoj en triangulo renkontiĝas en punkto, estas privata kazo, kie ĉiuj rilatoj egalas al unu. (eo)
- Ceva's theorem is a theorem about triangles in plane geometry. Given a triangle ABC, let the lines AO, BO and CO be drawn from the vertices to a common point O (not on one of the sides of ABC), to meet opposite sides at D, E and F respectively. (The segments AD, BE, and CF are known as cevians.) Then, using signed lengths of segments, In other words, the length XY is taken to be positive or negative according to whether X is to the left or right of Y in some fixed orientation of the line. For example, AF/FB is defined as having positive value when F is between A and B and negative otherwise. Ceva's theorem is a theorem of affine geometry, in the sense that it may be stated and proved without using the concepts of angles, areas, and lengths (except for the ratio of the lengths of two line segments that are collinear). It is therefore true for triangles in any affine plane over any field. A slightly adapted converse is also true: If points D, E and F are chosen on BC, AC and AB respectively so that then AD, BE and CF are concurrent, or all three parallel. The converse is often included as part of the theorem. The theorem is often attributed to Giovanni Ceva, who published it in his 1678 work De lineis rectis. But it was proven much earlier by Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, an eleventh-century king of Zaragoza. Associated with the figures are several terms derived from Ceva's name: cevian (the lines AD, BE, CF are the cevians of O), cevian triangle (the triangle DEF is the cevian triangle of O); cevian nest, anticevian triangle, Ceva conjugate. (Ceva is pronounced Chay'va; cevian is pronounced chev'ian.) The theorem is very similar to Menelaus' theorem in that their equations differ only in sign. By re-writing each in terms of cross-ratios, the two theorems may be seen as projective duals. (en)
- El teorema de Ceva es un teorema de geometría elemental. El teorema establece que dado un triángulo ABC, y los puntos D, E, y F que se encuentran sobre los lados BC, CA, y AB respectivamente, los segmentos AD, BE y CF son concurrentes si y solo si donde AF es la distancia entre A y F (la distancia en una dirección sobre una línea es definida como positiva, y en la dirección opuesta es definida como de signo negativo). (es)
- En mathématiques, le théorème de Ceva est un théorème de géométrie affine plane qui donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites passant par les trois sommets d'un triangle soient parallèles ou concourantes. Il s'interprète naturellement en géométrie euclidienne et se généralise en géométrie projective. Il doit son nom au mathématicien italien Giovanni Ceva qui, quelques années après le mathématicien espagnol José Zaragoza, en énonce et démontre une version dans le De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio en 1678. Cependant, il était déjà connu, à la fin du XIe siècle, de Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, géomètre et roi de Saragosse. Celui-ci le démontre dans son Livre de perfection (Kitab al-Istikmal, en arabe: كتاب الإستكمال), renommé en son temps et dont le texte a été redécouvert en 1985. (fr)
- Il teorema di Ceva è un noto teorema in geometria elementare. Deve il suo nome a Giovanni Ceva, che ne diede dimostrazione nella sua opera De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio del 1678, anche se il primo a dimostrarlo fu Yusuf al-Mu'tamin ibn Hud, attorno all'XI secolo. Si definisce ceviana una retta che congiunge un vertice con un punto del lato opposto di un triangolo. Il teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tre ceviane si incontrino in uno stesso punto. (it)
- De stelling van Ceva is een stelling uit de meetkunde die zegt dat bij een driehoek ABC, met ingeschreven driehoek DEF, de uitspraak dat de lijnen AD, BE en CF alle drie door één punt gaan en de uitspraak dat equivalent, logisch hetzelfde, zijn. De drie verhoudingen moeten hierbij worden opgevat als verhoudingen van evenwijdige vectoren. Zo is is de verhouding van en . Dit betekent dat de verhouding negatief is als de twee vectoren tegengesteld zijn gericht. Dat is van belang om de stelling ook geldig te laten zijn als O buiten driehoek ABC ligt. Vanwege de stelling van Ceva worden de hoektransversalen AO, BO en CO ook de cevianen van O of de Ceva-lijnen van O genoemd. Giovanni Ceva gaf in zijn boek De lineis rectis uit 1678 een bewijs voor de stelling, maar Yusuf al-Mu'taman ibn Hud, een 11e eeuws wiskundige die in Zaragoza leefde, had dat ook al eerder gedaan. (nl)
- チェバの定理（ちぇばのていり、Ceva's theorem）とは、平面幾何学の定理の1つである。定理の名は、1678年にジョバンニ・チェバがDe lineis rectisを出版して証明を発表したのにちなむ。今判明している初出は、11世紀のサラゴサの王で数学者 Yusuf al-Mu'taman ibn Hud（英語版） の数学全書 Kitab al-lstikmalである。 (ja)
- 기하학에서 체바 정리(Ceva定理, 영어: Ceva's theorem)는 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 직선이 한 점에서 만날 필요충분조건을 제시하는 정리이다. (ko)
- Теорема Чевы — классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника.Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой. (ru)
- O teorema de Ceva é um teorema de geometria elementar, que estabelece uma condição necessária e suficiente para que três cevianas sejam . Este teorema, provado em 1678 por Giovanni Ceva, na sua obra De lineis rectis, afirma que três cevianas de um triângulo concorrem em um ponto se, e somente se, Giovanni Ceva, um matemático italiano, publicou o teorema de Menelaus (descoberto por Menelau de Alexandria em aproximadamente 100 a.C.) em 1678 e um segundo teorema de sua própria autoria, relacionado com o primeiro, o “Teorema de Ceva”. O teorema de Menelaus trata sobre alinhamentos dos pontos dados e o teorema de Ceva sobre a concorrência das cevianas de um triângulo qualquer em um único ponto. Teorema de Ceva. Seja ABC um triângulo qualquer e D, E e F pontos sobre os lados BC, CA e AB, respectivamente. Como mostra a figura acima. Os seguimentos AD, BE e CF são concorrentes se, e somente se, = 1 Para a demonstração do teorema de Ceva, usaremos as áreas dos triângulos, representando-as através de parênteses. Demonstração: A prova deste teorema se baseia no seguinte fato: A área de triângulos de mesma altura é proporcional a base dos triângulos. Suponha que AD, BE e CF são concorrentes. Referindo-se a figura acima, temos que = = Mas, se k=a/b=c/d, então k=(a-c)/(b-d). Portanto, = = Analogamente, obtemos que = e = Agora, multiplicando estas frações, obtemos que = = 1 como queríamos provar. Agora, a demonstração da recíproca. Para mostrar a recíproca, considere O como o ponto de interseção dos segmentos AD e BE e seja F' o ponto de interseção da reta CO com a reta AB e suponha que = 1 Por outro lado, como AD, BE e CF' concorrem em O, a parte já provada do teorema nos dá que = 1 Comparando estas duas últimas equações, temos que = Ora, isto é equivalente a + 1 = + 1 ⇔ + = + ⇔ = ⇔ = ⇔ FB = F'B Isto é, F e F' são os mesmo pontos. Logo AD, BE e CF concorrem. Complementando: Ceviana é um segmento de reta que liga um vértice de um triângulo a um ponto qualquer do lado oposto. A altura, a mediana ou a bissetriz do triângulo são cevianas particulares. (pt)
- Twierdzenie Cevy – twierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku . Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta. (pl)
- Теорема Чеви — відома теорема класичної геометрії. Нехай дано трикутник ABC, і точки D, E, і F, що лежать на прямих BC, CA, і AB відповідно. Теорема стверджує, що лінії AD, BE і CF конкурентні тоді і тільки тоді якщо: Є також аналогічне тригонометричне формулювання Теореми Чеви, а саме AD, BE, CF конкурентні тоді і тільки тоді: Теорему довів в 1678 році Джованні Чева в праці De lineis rectis, але її також довів набагато раніше Юсуф Аль-Мутаман ібн Худ, король Сарагоси в XI столітті. (uk)
- 塞瓦線段是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理（英語：Ceva's theorem）指出：如果的塞瓦線段AD 、BE、CF 通过同一点O，则 它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在的边BC、CA、AB或其延长线上（都在边上或有两点在延长线上），且满足 ， 则直线AD、BE、CF共点或彼此平行（於無限遠處共點）。当AD、BE、CF中的任意两直线交于一点時，则三直线共点；当AD、BE、CF中的任意两直线平行时，则三直线平行。 它最先由意大利數學家喬瓦尼·塞瓦證明，因而得名。此定理又譯西瓦定理或帥氏定理。 (zh)
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- في الهندسة الإقليدية، تعد مبرهنة سيفا من أشهر المبرهنات الرياضية. إذا كان ABC مثلثا وكانت النقاط D و E و F تقعن على الأضلاع BC و AC و AB على التوالي، فإن المستقيمات AD و BE و CF تتقاطع في نقطة واحدة O إذا وفقط إذا كان: قدم برهاناً لهذه المبرهنة في عام 1678. جيوفاني سيفا رياضي إيطالي تخصص في الهندسة واشتهر بهذه المبرهنة، وإن كانت المبرهنة قد برهنت سابقاً من قبل العالم يوسف المؤتمن بن هود ملك طائفة سرقسطة في القرن الحادي عشر ميلادي. (ar)
- El teorema de Ceva es un teorema de geometría elemental. El teorema establece que dado un triángulo ABC, y los puntos D, E, y F que se encuentran sobre los lados BC, CA, y AB respectivamente, los segmentos AD, BE y CF son concurrentes si y solo si donde AF es la distancia entre A y F (la distancia en una dirección sobre una línea es definida como positiva, y en la dirección opuesta es definida como de signo negativo). (es)
- Il teorema di Ceva è un noto teorema in geometria elementare. Deve il suo nome a Giovanni Ceva, che ne diede dimostrazione nella sua opera De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio del 1678, anche se il primo a dimostrarlo fu Yusuf al-Mu'tamin ibn Hud, attorno all'XI secolo. Si definisce ceviana una retta che congiunge un vertice con un punto del lato opposto di un triangolo. Il teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tre ceviane si incontrino in uno stesso punto. (it)
- チェバの定理（ちぇばのていり、Ceva's theorem）とは、平面幾何学の定理の1つである。定理の名は、1678年にジョバンニ・チェバがDe lineis rectisを出版して証明を発表したのにちなむ。今判明している初出は、11世紀のサラゴサの王で数学者 Yusuf al-Mu'taman ibn Hud（英語版） の数学全書 Kitab al-lstikmalである。 (ja)
- 기하학에서 체바 정리(Ceva定理, 영어: Ceva's theorem)는 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 직선이 한 점에서 만날 필요충분조건을 제시하는 정리이다. (ko)
- Теорема Чевы — классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника.Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой. (ru)
- Twierdzenie Cevy – twierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku . Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta. (pl)
- Теорема Чеви — відома теорема класичної геометрії. Нехай дано трикутник ABC, і точки D, E, і F, що лежать на прямих BC, CA, і AB відповідно. Теорема стверджує, що лінії AD, BE і CF конкурентні тоді і тільки тоді якщо: Є також аналогічне тригонометричне формулювання Теореми Чеви, а саме AD, BE, CF конкурентні тоді і тільки тоді: Теорему довів в 1678 році Джованні Чева в праці De lineis rectis, але її також довів набагато раніше Юсуф Аль-Мутаман ібн Худ, король Сарагоси в XI столітті. (uk)
- 塞瓦線段是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理（英語：Ceva's theorem）指出：如果的塞瓦線段AD 、BE、CF 通过同一点O，则 它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在的边BC、CA、AB或其延长线上（都在边上或有两点在延长线上），且满足 ， 则直线AD、BE、CF共点或彼此平行（於無限遠處共點）。当AD、BE、CF中的任意两直线交于一点時，则三直线共点；当AD、BE、CF中的任意两直线平行时，则三直线平行。 它最先由意大利數學家喬瓦尼·塞瓦證明，因而得名。此定理又譯西瓦定理或帥氏定理。 (zh)
- En geometria, el teorema de Ceva estableix que, en un triangle qualsevol, tres rectes que van des de cada vèrtex del triangle al costat oposat o a la seva prolongació són concurrents (es tallen en un punt) si i només si on cada parell de lletres representa un segment lineal en el triangle, com es pot veure a la figura de la dreta. També existeix en forma trigonomètrica una manera d'expressar el teorema de Ceva. Ax', By' i Cz' són concurrents si i només si (ca)
- En eŭklida geometrio, la Ĉeva teoremo asertas, ke se ĉiu vertico de triangulo estas ligita per segmento al iu ajn punkto sur la kontraŭa latero, kaj la tri segmentoj renkontiĝas ĉe renkontpunkto, tiam la produkto de la divida proporcio estas 1; Kaj inverse - se la produkto de la divida proporcio estas 1, tiam la segmentoj renkontiĝas en renkontpunkto (La punto desegnita per O ĉe la ilustraĵo no-1). En ĉi tiu teoremo, la divida proporcio estas kalkulita per signo, kaj validas ankaŭ por ekstera divido. Por la linioj AD, BE kaj CF (vidu desegnon), la produkto estas la produkto . (eo)
- Ceva's theorem is a theorem about triangles in plane geometry. Given a triangle ABC, let the lines AO, BO and CO be drawn from the vertices to a common point O (not on one of the sides of ABC), to meet opposite sides at D, E and F respectively. (The segments AD, BE, and CF are known as cevians.) Then, using signed lengths of segments, In other words, the length XY is taken to be positive or negative according to whether X is to the left or right of Y in some fixed orientation of the line. For example, AF/FB is defined as having positive value when F is between A and B and negative otherwise. (en)
- Der Satz von Ceva ist eine geometrische Aussage über Ecktransversalen im Dreieck, die der italienische Mathematiker Giovanni Ceva (1647 bis 1734) 1678 in seinem Werk De lineis rectis bewies. Der Satz wurde allerdings bereits im 11. Jahrhundert durch den Mathematiker und Emir von Zaragossa Yusuf al-Mutaman beschrieben. In einem Dreieck seien , und drei Ecktransversalen (also Verbindungsstrecken zwischen einer Ecke und einem Punkt auf der gegenüber liegenden Seite beziehungsweise deren Verlängerung), die sich in einem Punkt innerhalb oder außerhalb des Dreiecks schneiden. Dann gilt: (de)
- En mathématiques, le théorème de Ceva est un théorème de géométrie affine plane qui donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites passant par les trois sommets d'un triangle soient parallèles ou concourantes. Il s'interprète naturellement en géométrie euclidienne et se généralise en géométrie projective. (fr)
- De stelling van Ceva is een stelling uit de meetkunde die zegt dat bij een driehoek ABC, met ingeschreven driehoek DEF, de uitspraak dat de lijnen AD, BE en CF alle drie door één punt gaan en de uitspraak dat equivalent, logisch hetzelfde, zijn. De drie verhoudingen moeten hierbij worden opgevat als verhoudingen van evenwijdige vectoren. Zo is is de verhouding van en . Dit betekent dat de verhouding negatief is als de twee vectoren tegengesteld zijn gericht. Dat is van belang om de stelling ook geldig te laten zijn als O buiten driehoek ABC ligt. (nl)
- O teorema de Ceva é um teorema de geometria elementar, que estabelece uma condição necessária e suficiente para que três cevianas sejam . Este teorema, provado em 1678 por Giovanni Ceva, na sua obra De lineis rectis, afirma que três cevianas de um triângulo concorrem em um ponto se, e somente se, Teorema de Ceva. Seja ABC um triângulo qualquer e D, E e F pontos sobre os lados BC, CA e AB, respectivamente. Como mostra a figura acima. Os seguimentos AD, BE e CF são concorrentes se, e somente se, = 1 Demonstração: A prova deste teorema se baseia no seguinte fato: = = Portanto, = = = = 1 = 1 = 1 = (pt)
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