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- In mathematics, the Ax–Grothendieck theorem is a result about injectivity and surjectivity of polynomials that was proved independently by James Ax and Alexander Grothendieck. The theorem is often given as this special case: If P is an injective polynomial function from an n-dimensional complex vector space to itself then P is bijective. That is, if P always maps distinct arguments to distinct values, then the values of P cover all of Cn. The full theorem generalizes to any algebraic variety over an algebraically closed field. (en)
- En mathématiques, le théorème d'Ax-Grothendieck est un résultat d'algèbre sur l'injectivité et la surjectivité des polynômes qui a été prouvé indépendamment par James Ax et Alexandre Grothendieck. Ce théorème est souvent énoncé dans le cas particulier suivant : toute fonction polynomiale de Cn dans Cn qui est injective est bijective. Le théorème complet est la généralisation à n'importe quelle variété algébrique sur un corps algébriquement clos. (fr)
- 数学において、 アックス–グロタンディークの定理（英: Ax–Grothendieck theorem）は単項式の単射性と全射性についての結果である。 (James Ax) とアレクサンドル・グロタンディーク (Alexander Grothendieck) によって独立に証明された。 定理はしばしば次の特別な形で述べられる。P が Cn から Cn への多項式関数で、P が単射ならば、P は全単射である。つまり、P が異なる引数を常に異なる値に写すならば、P の値域は Cn 全体を覆う。 定理の完全な形は代数的閉体上の任意の代数多様体に一般化される。 (ja)
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- In mathematics, the Ax–Grothendieck theorem is a result about injectivity and surjectivity of polynomials that was proved independently by James Ax and Alexander Grothendieck. The theorem is often given as this special case: If P is an injective polynomial function from an n-dimensional complex vector space to itself then P is bijective. That is, if P always maps distinct arguments to distinct values, then the values of P cover all of Cn. The full theorem generalizes to any algebraic variety over an algebraically closed field. (en)
- En mathématiques, le théorème d'Ax-Grothendieck est un résultat d'algèbre sur l'injectivité et la surjectivité des polynômes qui a été prouvé indépendamment par James Ax et Alexandre Grothendieck. Ce théorème est souvent énoncé dans le cas particulier suivant : toute fonction polynomiale de Cn dans Cn qui est injective est bijective. Le théorème complet est la généralisation à n'importe quelle variété algébrique sur un corps algébriquement clos. (fr)
- 数学において、 アックス–グロタンディークの定理（英: Ax–Grothendieck theorem）は単項式の単射性と全射性についての結果である。 (James Ax) とアレクサンドル・グロタンディーク (Alexander Grothendieck) によって独立に証明された。 定理はしばしば次の特別な形で述べられる。P が Cn から Cn への多項式関数で、P が単射ならば、P は全単射である。つまり、P が異なる引数を常に異なる値に写すならば、P の値域は Cn 全体を覆う。 定理の完全な形は代数的閉体上の任意の代数多様体に一般化される。 (ja)
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- Ax–Grothendieck theorem (en)
- Théorème d'Ax-Grothendieck (fr)
- アックス–グロタンディークの定理 (ja)
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