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- In topology, an Alexandrov topology is a topology in which the intersection of any family of open sets is open. It is an axiom of topology that the intersection of any finite family of open sets is open; in Alexandrov topologies the finite restriction is dropped. A set together with an Alexandrov topology is known as an Alexandrov-discrete space or finitely generated space. Alexandrov topologies are uniquely determined by their specialization preorders. Indeed, given any preorder ≤ on a set X, there is a unique Alexandrov topology on X for which the specialization preorder is ≤. The open sets are just the upper sets with respect to ≤. Thus, Alexandrov topologies on X are in one-to-one correspondence with preorders on X. Alexandrov-discrete spaces are also called finitely generated spaces since their topology is uniquely determined by the family of all finite subspaces. Alexandrov-discrete spaces can thus be viewed as a generalization of finite topological spaces. Due to the fact that inverse images commute with arbitrary unions and intersections, the property of being an Alexandrov-discrete space is preserved under quotients. Alexandrov-discrete spaces are named after the Russian topologist Pavel Alexandrov. They should not be confused with the more geometrical Alexandrov spaces introduced by the Russian mathematician Aleksandr Danilovich Aleksandrov. (en)
- En mathématiques, une topologie d'Alexandroff est une topologie pour laquelle l'intersection d'une famille quelconque d'ouverts est un ouvert (et pas seulement l'intersection d'une famille finie d'ouverts). Cette notion a été introduite en 1937 par Pavel Alexandroff. Un espace topologique vérifie cette propriété si et seulement si sa topologie est cohérente avec ses sous- (en), c'est pourquoi un tel espace est aussi appelé espace finiment engendré. (fr)
- En matemática, a cualquier preorden se le puede dar la estructura de un espacio topológico, declarando abierta cualquier sección final (conjunto superior). Se puede demostrar que cualquier topología «fina» viene de esa debido al (pre)orden de especialización y, entre tales espacios, una función es continua si y solamente si es . En topología, una topología de Alexandrov es una topología en la que la intersección de cualquier familia de conjuntos abiertos está abierta. Es un axioma de la topología que la intersección de cualquier familia finita de conjuntos abiertos es abierta; en las topologías de Alexandrov, se elimina la restricción de finita. Esto contesta a una buena pregunta: si toda intersección (no sólo las intersecciones finitas) de conjuntos abiertos es abierta. Respuesta: esta topología es de Alexandrov (también escrito Alexandroff), en honor a Pável Aleksándrov, quien fue el primero en estudiarlas. Es importante notar que no hay topologías finitas, solamente sus preórdenes de especialización!. Lo que a su vez significa (por el teorema de inmersión de Henkin) que preorden es el de la topología (pero esto significa: la topología no es de ). Paradigmático es el espacio de Sierpinski. Pero los límites (infinitos) de estos espacios finitos son los . (es)
- Przestrzeń Aleksandrowa – przestrzeń topologiczna, dla której część wspólna dowolnej rodziny jej podzbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Przestrzenie Aleksandrowa zostały zdefiniowane przez Pawła Aleksandrowa w roku 1937 pod nazwą „przestrzenie dyskretne”. (pl)
- Em topologia, um Espaço de Alexandrov é um espaço topológico no qual a intersecção de qualquer família de abertos é aberta. Há um axioma da topologia que diz que qualquer intersecção finita de abertos é um aberto, mas em um espaço de Alexandrov, a restrição de ser finito é descartada. Topologias de Alexandrov são univocamente determinadas por sua pré-ordem canônica. De fato, dado qualquer pré-ordem ≤ sobre um conjunto X, há uma única topologia de Alexandrov em X para a qual a pré-ordem canônica é ≤. Os conjuntos abertos são os segmentos iniciais (considerando ≤). Assim, topologias de Alexandrov sobre X são com pré-ordens em X. (pt)
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- En mathématiques, une topologie d'Alexandroff est une topologie pour laquelle l'intersection d'une famille quelconque d'ouverts est un ouvert (et pas seulement l'intersection d'une famille finie d'ouverts). Cette notion a été introduite en 1937 par Pavel Alexandroff. Un espace topologique vérifie cette propriété si et seulement si sa topologie est cohérente avec ses sous- (en), c'est pourquoi un tel espace est aussi appelé espace finiment engendré. (fr)
- Przestrzeń Aleksandrowa – przestrzeń topologiczna, dla której część wspólna dowolnej rodziny jej podzbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Przestrzenie Aleksandrowa zostały zdefiniowane przez Pawła Aleksandrowa w roku 1937 pod nazwą „przestrzenie dyskretne”. (pl)
- In topology, an Alexandrov topology is a topology in which the intersection of any family of open sets is open. It is an axiom of topology that the intersection of any finite family of open sets is open; in Alexandrov topologies the finite restriction is dropped. A set together with an Alexandrov topology is known as an Alexandrov-discrete space or finitely generated space. Due to the fact that inverse images commute with arbitrary unions and intersections, the property of being an Alexandrov-discrete space is preserved under quotients. (en)
- En matemática, a cualquier preorden se le puede dar la estructura de un espacio topológico, declarando abierta cualquier sección final (conjunto superior). Se puede demostrar que cualquier topología «fina» viene de esa debido al (pre)orden de especialización y, entre tales espacios, una función es continua si y solamente si es . Esto contesta a una buena pregunta: si toda intersección (no sólo las intersecciones finitas) de conjuntos abiertos es abierta. Respuesta: esta topología es de Alexandrov (también escrito Alexandroff), en honor a Pável Aleksándrov, quien fue el primero en estudiarlas. (es)
- Em topologia, um Espaço de Alexandrov é um espaço topológico no qual a intersecção de qualquer família de abertos é aberta. Há um axioma da topologia que diz que qualquer intersecção finita de abertos é um aberto, mas em um espaço de Alexandrov, a restrição de ser finito é descartada. (pt)
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- Alexandrov topology (en)
- Topología de Aleksándrov (es)
- Topologie d'Alexandroff (fr)
- Przestrzeń Aleksandrowa (pl)
- Topologia de Alexandrov (pt)
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