| dbo:abstract
|
- Άλγεβρα συνόλων ονομάζουμε μια μη-κενή συλλογή υποσυνόλων ενός συνόλου που είναι κλειστή ως προς πεπερασμένες το πλήθος επαναλήψεις των συνολοθεωρητικών πράξεων. Οι συνολοθεωρητικές πράξεις είναι η τομή, η ένωση και το . Μια άλγεβρα συνόλων που είναι επί πλέον κλειστή ως προς άπειρες, αλλά αριθμήσιμες, φορές ένωση των υποσυνόλων της ονομάζεται σ-άλγεβρα. Με τον όρο άλγεβρα συνόλων μπορεί να εννοούμε γενικά το μάθημα της θεωρίας συνόλων, το να λύνει κανείς ασκήσεις με πράξεις μεταξύ συνόλων κλπ, και όχι ένα "αυστηρά ορισμένο" μαθηματικό αντικείμενο όπως περιγράφηκε πιο πάνω. (el)
- In der Mathematik ist (Mengen-)Algebra ein Grundbegriff der Maßtheorie. Er beschreibt ein nicht-leeres Mengensystem, das vereinigungs- und komplementstabil ist. Auch das Teilgebiet der Mathematik, das vom Rechnen mit Mengen handelt, wird als Mengenalgebra bezeichnet. Ähnlich doppeldeutig ist auch der Begriff Algebra, der für ein Teilgebiet der Mathematik und auch für eine spezielle algebraische Struktur benutzt wird. Der hier verwendete Begriff der Mengenalgebra steht aber in einem engen Zusammenhang mit dem der booleschen Algebra, also einer anderen speziellen algebraischen Struktur. (de)
- In mathematics, a field of sets is a mathematical structure consisting of a pair consisting of a set and a family of subsets of called an algebra over that contains the empty set as an element, and is closed under the operations of taking complements in finite unions, and finite intersections. Fields of sets should not be confused with fields in ring theory nor with fields in physics. Similarly the term "algebra over " is used in the sense of a Boolean algebra and should not be confused with algebras over fields or rings in ring theory. Fields of sets play an essential role in the representation theory of Boolean algebras. Every Boolean algebra can be represented as a field of sets. (en)
- Le concept intervient dans l'exposition des bases de la théorie de la mesure, sous des noms assez variés dans les sources en français : outre algèbre d'ensembles, et sa variante corps d'ensembles, on trouve aussi algèbre de Boole de parties, ou plus brièvement algèbre de Boole, voire simplement algèbre, et encore anneau booléen unitaire ou clan unitaire. Cette définition évoque celle d'une tribu ; en les rapprochant on constate immédiatement qu'un ensemble de parties d'un ensemble est une tribu si et seulement si c'est une algèbre d'ensembles stable par réunion dénombrable. Dans l'esprit de la théorie de la mesure, un exemple significatif d'algèbre d'ensembles est l'algèbre composée des unions finies d'intervalles de la droite réelle (tous types d'intervalles, bornés ou non) ; ce n'est pas une tribu. En quelques manipulations, on se convainc que la définition donnée plus haut équivaut à exiger les cinq propriétés suivantes : 1.
* 2.
* 3.
* est stable par complémentation 4.
* est stable par union (finie) 5.
* est stable par intersection (finie). En d'autres termes, les algèbres d'ensembles sont les sous-algèbres de Boole de l'algèbre de Boole de toutes les parties d'un ensemble. Si on considère l'algèbre de Boole de toutes les parties à travers la structure d'anneau de Boole associée à sa structure d'algèbre de Boole, on remarque que les algèbres d'ensembles en sont exactement les sous-anneaux (étant entendus que les anneaux de Boole sont unitaires on exige du sous-anneau de contenir , qui est le neutre de la multiplication de l'anneau, qui est l'intersection). Lorsqu'on relâche cette condition sur le neutre multiplicatif, l'objet mathématique similaire est appelé un anneau d'ensembles. Il est facile de trouver des exemples d'anneaux d'ensembles qui ne sont pas des algèbres d'ensembles ( est le plus simple), tels que l'ensemble des unions finies d'intervalles bornés de la droite réelle. (fr)
- In matematica, un'algebra di insiemi (o più brevemente un'algebra) su un insieme , è una famiglia di sottoinsiemi di che abbia delle proprietà di chiusura rispetto ad alcune operazioni insiemistiche, in particolare l'operazione di unione finita e di passaggio al complementare. La struttura di algebra di insiemi è particolarmente utile in teoria della misura e probabilità, ed è alla base di tutte le nozioni di misurabilità, sia di insiemi che di funzioni. È inoltre utilizzata nella teoria delle rappresentazioni in algebra booleana. Euristicamente, potremmo dire che la nozione di algebra di insiemi (e quella di σ-algebra) stanno alla misurabilità, come la nozione di topologia sta a quella di continuità. Ed è infatti notevole che entrambe queste strutture possano costruirsi dando delle semplici condizioni di stabilità per operazioni insiemistiche. La nozione di algebra di insiemi venne introdotta all'inizio del XX secolo. Attualmente, in teoria della misura il concetto di σ-algebra è divenuto molto più utilizzato di quello di algebra. Tuttavia non sono mancati matematici influenti, come Bruno de Finetti, che hanno tentato di dare alla struttura dell'algebra un ruolo centrale in teoria della misura, traducendo molti risultati riguardanti misure σ-additive (cioè definite su σ-algebre) al caso più generale di misure finitamente additive (definite su algebre). (it)
- 数学において、有限加法族（ゆうげんかほうぞく、finitely additive class）あるいは集合体（しゅうごうたい、field of sets）、集合代数（しゅうごうだいすう、英: algebra of sets, algebra over a set）とは、冪集合が集合演算について成すブール代数の部分代数のことである。つまり、集合 S 上の有限加法族 (S, F ⊂ 2S) は、F の任意の二つの集合 A, B の結び A ∪ B, 交わり A ∩ B および任意の集合 M の全体集合 S に対する補集合 Mc = S − M を取る操作について閉じている。有限加法族は任意のブール代数を表現することができるという意味においてブール代数の表現論にとって本質的な対象である。S 上の集合体 (S, F) に対して、S の元を集合体の点、F の元を集合体の複体（complex; 叢）と呼ぶ。 (ja)
- Ciało zbiorów, algebra zbiorów – rodzina podzbiorów pewnego niepustego zbioru spełniająca warunki: 1.
* zbiór pusty należy do 2.
* dopełnienie zbioru należącego do należy do 3.
* suma dwóch zbiorów należących do należy do Czasami, by podkreślić, że jest rodziną podzbiorów konkretnego zbioru pisze się ciało zbiorów na Ciała zbiorów bada się w teorii mnogości i teorii algebr Boole’a, w mniejszym stopniu w teorii miary, probabilistyce, topologii i kombinatoryce. (pl)
- Алгебра множин в теорії множин — непорожня система підмножин деякої множини , замкнена щодо операцій доповнення (різниці) і об'єднання (суми). (uk)
- Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств некоторого множества , замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). (ru)
- 在集合代数中，域，或者代数，是指一种有序对，其中 是集合， 是由集合 的一些子集构成的一种集类，它满足 自身是它的元素，且对加法（有限并）封闭和乘法（有限交）及逆（余集）运算封闭。在这样的集类中，空集类似于 0，因为和它相加（并）的任何集合结果还是自身；全集相当于 1，因为和它相乘（交）的任何集合还是自身。 也可把满足上述条件的集类称为域或代数 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Άλγεβρα συνόλων ονομάζουμε μια μη-κενή συλλογή υποσυνόλων ενός συνόλου που είναι κλειστή ως προς πεπερασμένες το πλήθος επαναλήψεις των συνολοθεωρητικών πράξεων. Οι συνολοθεωρητικές πράξεις είναι η τομή, η ένωση και το . Μια άλγεβρα συνόλων που είναι επί πλέον κλειστή ως προς άπειρες, αλλά αριθμήσιμες, φορές ένωση των υποσυνόλων της ονομάζεται σ-άλγεβρα. Με τον όρο άλγεβρα συνόλων μπορεί να εννοούμε γενικά το μάθημα της θεωρίας συνόλων, το να λύνει κανείς ασκήσεις με πράξεις μεταξύ συνόλων κλπ, και όχι ένα "αυστηρά ορισμένο" μαθηματικό αντικείμενο όπως περιγράφηκε πιο πάνω. (el)
- In der Mathematik ist (Mengen-)Algebra ein Grundbegriff der Maßtheorie. Er beschreibt ein nicht-leeres Mengensystem, das vereinigungs- und komplementstabil ist. Auch das Teilgebiet der Mathematik, das vom Rechnen mit Mengen handelt, wird als Mengenalgebra bezeichnet. Ähnlich doppeldeutig ist auch der Begriff Algebra, der für ein Teilgebiet der Mathematik und auch für eine spezielle algebraische Struktur benutzt wird. Der hier verwendete Begriff der Mengenalgebra steht aber in einem engen Zusammenhang mit dem der booleschen Algebra, also einer anderen speziellen algebraischen Struktur. (de)
- 数学において、有限加法族（ゆうげんかほうぞく、finitely additive class）あるいは集合体（しゅうごうたい、field of sets）、集合代数（しゅうごうだいすう、英: algebra of sets, algebra over a set）とは、冪集合が集合演算について成すブール代数の部分代数のことである。つまり、集合 S 上の有限加法族 (S, F ⊂ 2S) は、F の任意の二つの集合 A, B の結び A ∪ B, 交わり A ∩ B および任意の集合 M の全体集合 S に対する補集合 Mc = S − M を取る操作について閉じている。有限加法族は任意のブール代数を表現することができるという意味においてブール代数の表現論にとって本質的な対象である。S 上の集合体 (S, F) に対して、S の元を集合体の点、F の元を集合体の複体（complex; 叢）と呼ぶ。 (ja)
- Ciało zbiorów, algebra zbiorów – rodzina podzbiorów pewnego niepustego zbioru spełniająca warunki: 1.
* zbiór pusty należy do 2.
* dopełnienie zbioru należącego do należy do 3.
* suma dwóch zbiorów należących do należy do Czasami, by podkreślić, że jest rodziną podzbiorów konkretnego zbioru pisze się ciało zbiorów na Ciała zbiorów bada się w teorii mnogości i teorii algebr Boole’a, w mniejszym stopniu w teorii miary, probabilistyce, topologii i kombinatoryce. (pl)
- Алгебра множин в теорії множин — непорожня система підмножин деякої множини , замкнена щодо операцій доповнення (різниці) і об'єднання (суми). (uk)
- Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств некоторого множества , замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). (ru)
- 在集合代数中，域，或者代数，是指一种有序对，其中 是集合， 是由集合 的一些子集构成的一种集类，它满足 自身是它的元素，且对加法（有限并）封闭和乘法（有限交）及逆（余集）运算封闭。在这样的集类中，空集类似于 0，因为和它相加（并）的任何集合结果还是自身；全集相当于 1，因为和它相乘（交）的任何集合还是自身。 也可把满足上述条件的集类称为域或代数 (zh)
- In mathematics, a field of sets is a mathematical structure consisting of a pair consisting of a set and a family of subsets of called an algebra over that contains the empty set as an element, and is closed under the operations of taking complements in finite unions, and finite intersections. Fields of sets should not be confused with fields in ring theory nor with fields in physics. Similarly the term "algebra over " is used in the sense of a Boolean algebra and should not be confused with algebras over fields or rings in ring theory. (en)
- Le concept intervient dans l'exposition des bases de la théorie de la mesure, sous des noms assez variés dans les sources en français : outre algèbre d'ensembles, et sa variante corps d'ensembles, on trouve aussi algèbre de Boole de parties, ou plus brièvement algèbre de Boole, voire simplement algèbre, et encore anneau booléen unitaire ou clan unitaire. En quelques manipulations, on se convainc que la définition donnée plus haut équivaut à exiger les cinq propriétés suivantes : (fr)
- In matematica, un'algebra di insiemi (o più brevemente un'algebra) su un insieme , è una famiglia di sottoinsiemi di che abbia delle proprietà di chiusura rispetto ad alcune operazioni insiemistiche, in particolare l'operazione di unione finita e di passaggio al complementare. La struttura di algebra di insiemi è particolarmente utile in teoria della misura e probabilità, ed è alla base di tutte le nozioni di misurabilità, sia di insiemi che di funzioni. È inoltre utilizzata nella teoria delle rappresentazioni in algebra booleana. (it)
|
