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- في الرياضيات، كسيريات ليابونوف (وقد تعرف أيضا باسم كسيريات ماركوس-ليابونوف) هي كسيريات متشعبة منبثقة من تمديد لمتتالية لوجستية، حيث درجة نمو الساكنة تتناوب على قيمتين اثنتين A و B, الواحدة تلو الأخرى. (ar)
- Ljapunow-Diagramme (nach Alexander Michailowitsch Ljapunow; auch bekannt als Ljapunow-Fraktale oder Markus-Ljapunow-Fraktale) sind Fraktale, die durch eine Modifikation der Logistischen Gleichung entstehen. Der Wachstumsgrad der Population – – wird anders als bei Logistischen Gleichung, nicht für jeden Punkt konstant gehalten, sondern in periodischen Sequenzen (z. B. Sequenz "ABAAB") zwischen zwei Werten und , mit umgeschaltet. Die logistische Gleichung lautet mit dem üblichen Startwert .In diesem Beispiel (Sequenz "ABAAB" mit der Länge 5) würde ,,,, gewählt werden. Daraus ergeben sich folgende mathematischen und gestalterischen Unterschiede zur Logistischen Gleichung:
* Man hat statt einer Zahl zwei Zahlen und auszuwählen. Dadurch erhält man statt einer eindimensionale Funktion eine zweidimensionale Funktion .
* Man stellt daher nicht mehr die Werte der Reihe , , als Funktion über dar, sondern genauso wie beim Apfelmännchen das Konvergenzverhalten der Reihe als Karte von .
* Man hat die Sequenzfolge als weiteren Gestaltungsfaktor. Dann werden für Werte (a,b) aus Intervallen, die – um interessante Figuren zu bekommen – meist im Bereich und gewählt werden, jeweils die Iterationswerte der logistischen Gleichung berechnet und der Ljapunow-Exponent berechnet: Ist der Wert von , wählt man für den Punkt mit den Koordinaten (a,b) z. B. gelb als Farbe, ist er größer als Null (was zu exponentiellem Wachstum führt, Chaos), wählt man z. B. blau als Farbe. Entsprechend kann man die Farbwerte noch abstufen je nach der Größe von . Das Ergebnis ist das Ljapunow-Diagramm, das häufig fraktaler Natur ist. Ein Beispiel ist das Diagramm Zircon Zity, gebildet mit und und der Sequenz (bbbbbbaaaaaa). (de)
- En matemáticas, los fractales de Lyapunov (también conocidos como fractales de Markus-Lyapunov) son fractales de bifurcación derivados de una extensión de la aplicación logística, en la que el grado de crecimiento de la población, r, cambia periódicamente entre dos valores A y B. (es)
- In mathematics, Lyapunov fractals (also known as Markus–Lyapunov fractals) are bifurcational fractals derived from an extension of the logistic map in which the degree of the growth of the population, r, periodically switches between two values A and B. A Lyapunov fractal is constructed by mapping the regions of stability and chaotic behaviour (measured using the Lyapunov exponent ) in the a−b plane for given periodic sequences of a and b. In the images, yellow corresponds to (stability), and blue corresponds to (chaos). Lyapunov fractals were discovered in the late 1980s by the Germano-Chilean physicist from the Max Planck Institute of Molecular Physiology. They were introduced to a large public by a science popularization article on recreational mathematics published in Scientific American in 1991. (en)
- Une fractale de Liapounov (ou de Markus-Liapounov) se présente comme une image spectaculaire, obtenue automatiquement en utilisant la notion mathématique d'exposant de Liapounov. La courbe qui donne les valeurs de cet exposant en fonction du paramètre caractéristique d'une suite logistique présente des valeurs négatives dans les zones de stabilité et positives dans les zones de chaos. L'idée de fractale de Liapounov repose sur une suite dépendant de deux paramètres a et b. Dans le cas le plus simple une valeur obtenue à partir de la formule logistique en a est transformée par la formule en b. Il est possible d'obtenir des résultats entièrement différents en utilisant des séquences plus compliquées de a et de b. Les exposants de Liapounov correspondants sont alors présentés dans le plan (a,b). En assignant une valeur d'intensité lumineuse distincte à chaque exposant de Liapounov négatif, claire pour l'exposant nul à la limite de la stabilité et noire pour l'exposant infini dans le cas superstable, on fait apparaître des formes donnant l'impression de relief sur un fond dans lequel les exposants positifs liés au chaos peuvent être représentés par une couleur sombre. Des agrandissements successifs font apparaître le caractère fractal d'autosimilitude. (fr)
- リアプノフ・フラクタル（英: Lyapunov fractal）とは、個体数の成長指数 r が周期的に2つの値 a と b に切り替わるロジスティック写像を拡張することで得られる分岐的フラクタルである。 リアプノフ・フラクタルは、a と b について与えられた周期列の a-b 平面における安定的振る舞いとカオス的振る舞いの領域（リアプノフ指数 を使って測る）の写像により構築される。掲載している図では色が付いている部分が （安定）で、黒い部分が （カオス）である（左上が (a,b) = (0,0)）。 (ja)
- Фракталы Ляпунова (также известные как фракталы Маркуса-Ляпунова) — бифуркационные фракталы, порождённые расширением логистического отображения, в которых степень роста совокупности r периодически меняет значение с A на B и наоборот. Фракталы Ляпунова строятся отображением областей стабильного и хаотического поведения, измеряемых экспонентой Ляпунова (en) , в плоскости a-b для данной периодической последовательности a и b. На рисунках жёлтый цвет соответствует стабильности, а синий — хаосу. (ru)
- O fractal desenvolvido pelo matemático e físico russo Aleksandr Lyapunov conhecido como fractal de Lyapunov (também conhecido pelo nome de Markus-Lyapunov) é um fractal que se obtém graças a uma extensão da função logística, dada pela seguinte equação: Através dessa função logística ocorre uma oscilação dos valores de r, para as variações de a e b, onde temos ou , este método propõe o uso de sequências periódicas simples usando símbolos como (a,b), com isso formando padrões na forma (aababba), está sequência por fim é interpretada através da conversão em código binário (1101001). (pt)
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- في الرياضيات، كسيريات ليابونوف (وقد تعرف أيضا باسم كسيريات ماركوس-ليابونوف) هي كسيريات متشعبة منبثقة من تمديد لمتتالية لوجستية، حيث درجة نمو الساكنة تتناوب على قيمتين اثنتين A و B, الواحدة تلو الأخرى. (ar)
- En matemáticas, los fractales de Lyapunov (también conocidos como fractales de Markus-Lyapunov) son fractales de bifurcación derivados de una extensión de la aplicación logística, en la que el grado de crecimiento de la población, r, cambia periódicamente entre dos valores A y B. (es)
- リアプノフ・フラクタル（英: Lyapunov fractal）とは、個体数の成長指数 r が周期的に2つの値 a と b に切り替わるロジスティック写像を拡張することで得られる分岐的フラクタルである。 リアプノフ・フラクタルは、a と b について与えられた周期列の a-b 平面における安定的振る舞いとカオス的振る舞いの領域（リアプノフ指数 を使って測る）の写像により構築される。掲載している図では色が付いている部分が （安定）で、黒い部分が （カオス）である（左上が (a,b) = (0,0)）。 (ja)
- Фракталы Ляпунова (также известные как фракталы Маркуса-Ляпунова) — бифуркационные фракталы, порождённые расширением логистического отображения, в которых степень роста совокупности r периодически меняет значение с A на B и наоборот. Фракталы Ляпунова строятся отображением областей стабильного и хаотического поведения, измеряемых экспонентой Ляпунова (en) , в плоскости a-b для данной периодической последовательности a и b. На рисунках жёлтый цвет соответствует стабильности, а синий — хаосу. (ru)
- O fractal desenvolvido pelo matemático e físico russo Aleksandr Lyapunov conhecido como fractal de Lyapunov (também conhecido pelo nome de Markus-Lyapunov) é um fractal que se obtém graças a uma extensão da função logística, dada pela seguinte equação: Através dessa função logística ocorre uma oscilação dos valores de r, para as variações de a e b, onde temos ou , este método propõe o uso de sequências periódicas simples usando símbolos como (a,b), com isso formando padrões na forma (aababba), está sequência por fim é interpretada através da conversão em código binário (1101001). (pt)
- Ljapunow-Diagramme (nach Alexander Michailowitsch Ljapunow; auch bekannt als Ljapunow-Fraktale oder Markus-Ljapunow-Fraktale) sind Fraktale, die durch eine Modifikation der Logistischen Gleichung entstehen. Der Wachstumsgrad der Population – – wird anders als bei Logistischen Gleichung, nicht für jeden Punkt konstant gehalten, sondern in periodischen Sequenzen (z. B. Sequenz "ABAAB") zwischen zwei Werten und , mit umgeschaltet. Die logistische Gleichung lautet mit dem üblichen Startwert .In diesem Beispiel (Sequenz "ABAAB" mit der Länge 5) würde ,,,, gewählt werden. (de)
- Une fractale de Liapounov (ou de Markus-Liapounov) se présente comme une image spectaculaire, obtenue automatiquement en utilisant la notion mathématique d'exposant de Liapounov. La courbe qui donne les valeurs de cet exposant en fonction du paramètre caractéristique d'une suite logistique présente des valeurs négatives dans les zones de stabilité et positives dans les zones de chaos. (fr)
- In mathematics, Lyapunov fractals (also known as Markus–Lyapunov fractals) are bifurcational fractals derived from an extension of the logistic map in which the degree of the growth of the population, r, periodically switches between two values A and B. A Lyapunov fractal is constructed by mapping the regions of stability and chaotic behaviour (measured using the Lyapunov exponent ) in the a−b plane for given periodic sequences of a and b. In the images, yellow corresponds to (stability), and blue corresponds to (chaos). (en)
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- كسيرية ليابونوف (ar)
- Ljapunow-Diagramm (de)
- Fractal de Lyapunov (es)
- Fractale de Liapounov (fr)
- Lyapunov fractal (en)
- リアプノフ・フラクタル (ja)
- Fractal de Lyapunov (pt)
- Фрактал Ляпунова (ru)
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