This HTML5 document contains 226 embedded RDF statements represented using HTML+Microdata notation.

The embedded RDF content will be recognized by any processor of HTML5 Microdata.

Namespace Prefixes

Prefix	IRI
dbt	http://dbpedia.org/resource/Template:
dbpedia-da	http://da.dbpedia.org/resource/
dbpedia-el	http://el.dbpedia.org/resource/
dbpedia-no	http://no.dbpedia.org/resource/
dbpedia-sv	http://sv.dbpedia.org/resource/
wikipedia-en	http://en.wikipedia.org/wiki/
n50	http://ia.dbpedia.org/resource/
dbpedia-lmo	http://lmo.dbpedia.org/resource/
dbpedia-fi	http://fi.dbpedia.org/resource/
dbr	http://dbpedia.org/resource/
dbpedia-hr	http://hr.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ar	http://ar.dbpedia.org/resource/
dbpedia-he	http://he.dbpedia.org/resource/
n58	http://tl.dbpedia.org/resource/
dbpedia-fr	http://fr.dbpedia.org/resource/
n43	http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/
dbpedia-pms	http://pms.dbpedia.org/resource/
dbpedia-mk	http://mk.dbpedia.org/resource/
dcterms	http://purl.org/dc/terms/
rdfs	http://www.w3.org/2000/01/rdf-schema#
dbpedia-cs	http://cs.dbpedia.org/resource/
rdf	http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#
dbp	http://dbpedia.org/property/
n45	http://www.programminglogic.com/powerset-algorithm-in-c/
dbpedia-eu	http://eu.dbpedia.org/resource/
dbpedia-eo	http://eo.dbpedia.org/resource/
xsdh	http://www.w3.org/2001/XMLSchema#
dbpedia-uk	http://uk.dbpedia.org/resource/
dbpedia-id	http://id.dbpedia.org/resource/
dbo	http://dbpedia.org/ontology/
dbpedia-sr	http://sr.dbpedia.org/resource/
dbpedia-vi	http://vi.dbpedia.org/resource/
dbpedia-pt	http://pt.dbpedia.org/resource/
dbpedia-sq	http://sq.dbpedia.org/resource/
dbpedia-sk	http://sk.dbpedia.org/resource/
dbpedia-hu	http://hu.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ja	http://ja.dbpedia.org/resource/
dbpedia-is	http://is.dbpedia.org/resource/
dbc	http://dbpedia.org/resource/Category:
dbpedia-de	http://de.dbpedia.org/resource/
dbpedia-pl	http://pl.dbpedia.org/resource/
dbpedia-th	http://th.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ru	http://ru.dbpedia.org/resource/
yago	http://dbpedia.org/class/yago/
n28	http://ta.dbpedia.org/resource/
wikidata	http://www.wikidata.org/entity/
gold	http://purl.org/linguistics/gold/
dbpedia-nl	http://nl.dbpedia.org/resource/
yago-res	http://yago-knowledge.org/resource/
n19	https://global.dbpedia.org/id/
dbpedia-it	http://it.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ca	http://ca.dbpedia.org/resource/
prov	http://www.w3.org/ns/prov#
dbpedia-nn	http://nn.dbpedia.org/resource/
foaf	http://xmlns.com/foaf/0.1/
dbpedia-simple	http://simple.dbpedia.org/resource/
dbpedia-zh	http://zh.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ko	http://ko.dbpedia.org/resource/
n41	https://archive.org/details/
dbpedia-fa	http://fa.dbpedia.org/resource/
dbpedia-es	http://es.dbpedia.org/resource/
freebase	http://rdf.freebase.com/ns/
owl	http://www.w3.org/2002/07/owl#

Statements

Subject Item

dbr:Power_set

rdf:type

yago:Abstraction100002137 yago:Unit108189659 yago:WikicatSetFamilies yago:Family108078020 yago:YagoPermanentlyLocatedEntity yago:YagoLegalActor yago:YagoLegalActorGeo yago:Organization108008335 yago:Group100031264 yago:SocialGroup107950920

rdfs:label

Conjunto de partes مجموعة المجموعات الجزئية Potensmängd Zbiór potęgowy Булеан Aro de ĉiuj subaroj Potenzmenge Machtsverzameling 멱집합 Ensemble des parties d'un ensemble Himpunan kuasa Conjunt de les parts 冪集 Булеан 冪集合 Conjunto potencia Power set Insieme delle parti Potentzia-multzo Δυναμοσύνολο Potenční množina

rdfs:comment

Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Man notiert die Potenzmenge einer Menge meist als . Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenz anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“. 数学上，集合的冪集（英語：power set），定義為由該集合全部子集为元素構成的集合。给定集合 ，其幂集 （或作）以符号表示即为 。 在公理集合论（例如ZFC集合论）中，幂集公理假定了任何集合的幂集均存在。 的任何子集合称为上的集族。 De machtsverzameling van een verzameling , aangegeven door of , is de verzameling van alle deelverzamelingen van . Het symbool staat voor 'power', het Engelse woord voor 'macht'. De definitie is dus: Voorbeeld Zij , dan is een deelverzameling van , evenals , etc. De complete lijst van deelverzamelingen van is: 1. * de lege verzameling 2. * 3. * 4. * 5. * 6. * 7. * 8. * De machtsverzameling is de verzameling van deze deelverzamelingen: Als het aantal elementen is in , dus , dan geldt voor de machtsverzameling: En matematiko, aro de ĉiuj subaroj aŭ potencaro de donita aro S, skribata kiel aŭ 2S, estas la aro de ĉiuj subaroj de S. En aksioma aroteorio (kiel ellaborite ekzemple en la ZFC aksiomoj), la ekzisto de la aro de ĉiuj subaroj de ĉiu aro estas postulata per la . Ĉiu subaro F de estas familio de aroj super S. Ekzemple, se S estas la aro {A, B, C} tiam la plena listo de subaroj de S estas: * {} (la malplena aro) * {A} * {B} * {C} * {A, B} * {A, C} * {B, C} * {A, B, C} kaj de ĉi tie la aro de ĉiuj subaroj de S estas = {{}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C}} In matematica, dato un insieme , l'insieme delle parti di , scritto , è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di . Questa collezione di insiemi viene anche detta insieme potenza di o booleano di . Per esempio, se è l'insieme , allora la lista completa dei suoi sottoinsiemi risulta: * (l'insieme vuoto) * * * * * * * che coincide con l'insieme stesso e quindi l'insieme delle parti di è 冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪（べき）と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字として巾集合とも書かれる。 集合と呼ぶべき対象を公理的にかつ構成的に与える公理的集合論では、新たに作られた原体の冪集合もしくはそれに準ずる複数の冪集合が、それぞれの連続性に関わらず集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしばし提示する。 Το δυναμοσύνολο (power set) ενός συνόλου είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Συνήθως συμβολίζεται με . Επίσης συχνά συμβολίζεται 2X. Το δυναμοσύνολο ενός συνόλου με n στοιχεία έχει 2n (το πλήθος) στοιχεία. Παράδειγμα S = {x, y, z}, υποσύνολα: •{ } •{x} •{y} •{z} •{x, y} •{x, z} •{y, z} •{x, y, z} δυναμοσύνολο του S En mathématiques, l'ensemble des parties d'un ensemble, parfois appelé ensemble puissance, désigne l'ensemble des sous-ensembles de cet ensemble. Donat un conjunt S, es defineix el conjunt de les parts de S o conjunt potència de S, escrit , P(S), ℘(S), o , com el conjunt de tots els subconjunts de S. Per exemple, si S és el conjunt {a, b, c} aleshores la llista completa dels subconjunts de S és: * {Ø} (conjunt buit) * {a} * {b} * {c} * {a,b} * {a,c} * {b,c} * {a,b,c} Per tant, el conjunt de les parts de S serà: Si S és un conjunt finit amb card (S) = n elements, aleshores el conjunt de les parts de S conté card(℘(S))= 2n elements. Dalam matematika, himpunan kuasa (bahasa Inggris: power set) dari himpunan adalah himpunan dari semua subhimpunan yang memuat himpunan kosong dan itu sendiri. Dalam teori himpunan aksiomatik (saat dikembangkan, sebagai contoh, dalam aksioma ), keberadaan himpunan kuasa dari setiap himpunan didalilkan melalui . Notasi dari himpunan kuasa dinyatakan dengan berbagai cara, yaitu: , , , atau . Notasi mengartikan bahwa himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari ke himpunan yang mempunyai dua anggota. Penggunaan notasi tersebut dipakai sebab himpunan kuasa dari dapat diidentifikasi dengan, ekuivalen dengan, atau bijektif dengan himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari ke himpunan yang mempunyai dua himpunan anggota. Potenční množina množiny (značí se nebo též ), podle některých autorů též booleán , je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny . Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny. Každá podmnožina potenční množiny se nazývá systém množin na množině X. En matemáticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Por ejemplo, dado el conjunto: el conjunto potencia es: El conjunto potencia de también se denomina conjunto de las partes de , o conjunto de partes de y se denota por , donde es el cardinal de las partes de , es decir, . في الرياضيات، مجموعة المجموعات الجزئية (بالإنجليزية: Power set)‏ هي المجموعة المكونة من المجموعات الجزئية لمجموعة ما. A multzo baten azpimultzo guztiek osatzen duten multzoari potentzia-multzo edo A multzoaren parteen multzo deritzo, eta , P(A), (A) edo 2A adierazten da. Adibidez, A = {x, y, z} izanik, bere azpimultzoak ∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z} eta {x, y, z} dira, eta potentzia-multzoa = {{x, y, z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x}, {y}, {z}, ∅}. 집합론에서 멱집합(冪集合, 영어: power set)은 주어진 집합의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다. Zbiór potęgowy – dla danego zbioru zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolami , lub W aksjomatycznej teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru potęgowego postuluje aksjomat zbioru potęgowego. To, że zbiór jest zbiorem potęgowym zbioru można formalnie zapisać tak: Булеан (степень множества, показательное множество, множество частей) — множество всех подмножеств данного множества (включая нулевое и само множество А), обозначается или (так как оно соответствует множеству отображений из в ). Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (то есть инъективность операции для кардиналов) является независимым от ZFC. В категории множеств можно снабдить функцию структурой ковариантного или контравариантного функтора следующим образом: Булеан (англ. power set, нім. potenzmenge) — у теорії множин, це множина всіх підмножин даної множини , позначається або (оскільки вона відповідає множині відображень з в ). Якщо дві множини мають однакову потужність, то їх булеани теж мають рівну потужність. Обернене твердження (тобто ін'єктивність операції для кардиналів) є незалежним від ZFC. У категорії множин можна спорядити функцію структурою коваріантного або контраваріантного функтора в такий спосіб: Potensmängden (en. power set) till en mängd M är mängden av alla delmängder till M inklusive den tomma mängden och mängden M själv. Potensmängden till M skrivs ofta , eller . Om M är en ändlig mängd med |M| = n element är antalet delmängder som kan bildas av M lika med || = 2n. Att P(M) är en mängd närhelst M är en mängd, är innebörden i potensmängdsaxiomet. A família de todos os subconjuntos de um conjunto dado é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência ) de , denotado por ou . In mathematics, the power set (or powerset) of a set S is the set of all subsets of S, including the empty set and S itself. In axiomatic set theory (as developed, for example, in the ZFC axioms), the existence of the power set of any set is postulated by the axiom of power set. The powerset of S is variously denoted as P(S), 𝒫(S), P(S), , or 2S. The notation 2S, meaning the set of all functions from S to a given set of two elements (e.g., {0, 1}), is used because the powerset of S can be identified with, equivalent to, or bijective to the set of all the functions from S to the given two elements set.

dbp:name

Power set

foaf:depiction

n43:Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg

dcterms:subject

dbc:Operations_on_sets

dbo:wikiPageID

23799

dbo:wikiPageRevisionID

1110420744

dbo:wikiPageWikiLink

dbr:Function_(mathematics) dbr:Boolean_algebra_(structure) dbr:Cartesian_closed_category dbr:Left_adjoint dbr:Set_theory dbr:Isomorphism dbr:Isomorphic dbr:Subobject_classifier dbr:Category_theory dbr:Combination dbr:Topos dbr:Inclusion_(set_theory) dbr:Real_number dbr:Order_theory dbc:Operations_on_sets dbr:Recursive_definition dbr:Natural_number dbr:Axiom_of_power_set dbr:Intersection_(set_theory) dbr:Commutative dbr:Presheaf dbr:Complement_(set_theory) dbr:Multigraph dbr:Right_adjoint dbr:Inverse_image dbr:Bijection dbr:Abelian_group dbr:Category_(mathematics) dbr:Boolean_ring dbr:Relative_complement dbr:Algebraic_lattice dbr:Binomial_theorem dbr:Distributive_property dbr:Monoid dbr:C++ dbr:Subalgebra dbr:Functor dbr:Subset dbr:Singleton_(mathematics) dbr:Binomial_coefficient dbr:Lattice_(order) dbr:Closed_category dbr:Power_set dbr:Stone's_representation_theorem dbr:Exponential_object dbr:Elementary_topos dbr:Symmetric_difference dbr:Universal_quantifier dbr:Axiomatic_set_theory dbr:Set_(mathematics) dbr:Union_(set_theory) dbr:Empty_set dbr:Finite_set dbr:Postulated dbr:Indicator_function dbr:Cantor's_diagonal_argument dbr:Homomorphism dbr:Springer-Verlag dbr:Complete_graph dbr:Mathematics dbr:Cardinality dbr:Existential_quantifier dbr:Field_of_sets dbr:Cardinality_of_the_continuum dbr:ZFC dbr:Family_of_sets dbr:Cantor's_theorem dbr:Algebraic_structure dbr:Uncountable dbr:Von_Neumann_ordinals dbr:Countable_set

dbo:wikiPageExternalLink

n41:naivesettheory00halm n45:

owl:sameAs

dbpedia-eo:Aro_de_ĉiuj_subaroj dbpedia-id:Himpunan_kuasa dbpedia-is:Veldismengi dbpedia-pt:Conjunto_de_partes freebase:m.05ycp dbpedia-sv:Potensmängd dbpedia-fa:مجموعه_توانی dbpedia-ko:멱집합 dbpedia-el:Δυναμοσύνολο dbpedia-uk:Булеан n19:wnQZ dbpedia-it:Insieme_delle_parti dbpedia-fi:Potenssijoukko dbpedia-mk:Партитивно_множество dbpedia-pl:Zbiór_potęgowy wikidata:Q205170 dbpedia-lmo:Insemma_di_part n28:அடுக்கு_கணம் dbpedia-sr:Партитивни_скуп dbpedia-hr:Partitivni_skup dbpedia-simple:Power_set dbpedia-no:Potensmengde dbpedia-nl:Machtsverzameling dbpedia-cs:Potenční_množina dbpedia-zh:冪集 dbpedia-de:Potenzmenge dbpedia-es:Conjunto_potencia dbpedia-pms:Ansem_potensa dbpedia-ja:冪集合 dbpedia-hu:Hatványhalmaz dbpedia-sq:Bashkësia_partitive dbpedia-ca:Conjunt_de_les_parts n50:Insimul_de_potentia dbpedia-nn:Potensmengd dbpedia-th:เซตกำลัง yago-res:Power_set dbpedia-da:Potensmængde dbpedia-eu:Potentzia-multzo dbpedia-sk:Potenčná_množina dbpedia-ar:مجموعة_المجموعات_الجزئية n58:Kapangyarihang_pangkat dbpedia-vi:Tập_lũy_thừa dbpedia-he:קבוצת_החזקה dbpedia-ru:Булеан dbpedia-fr:Ensemble_des_parties_d'un_ensemble

dbp:statement

The power set is the set that contains all subsets of a given set.

dbp:wikiPageUsesTemplate

dbt:PlanetMath dbt:Infobox_mathematical_statement dbt:! dbt:Abs dbt:Short_description dbt:Reflist dbt:Wiktionary dbt:Math dbt:Mathematical_logic dbt:Set_theory dbt:Nlab dbt:Mvar dbt:Mset dbt:For dbt:Mathcal dbt:Cite_book

dbo:thumbnail

n43:Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg?width=300

dbp:caption

The elements of the power set of {x, y, z} ordered with respect to inclusion.

dbp:field

dbr:Set_(mathematics)

dbp:id

power+object power+set

dbp:title

Power object Power set

dbp:type

dbr:Set_(mathematics)

dbp:urlname

powerset

dbo:abstract

A família de todos os subconjuntos de um conjunto dado é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência ) de , denotado por ou . Potenční množina množiny (značí se nebo též ), podle některých autorů též booleán , je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny . Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny. Každá podmnožina potenční množiny se nazývá systém množin na množině X. 집합론에서 멱집합(冪集合, 영어: power set)은 주어진 집합의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다. Dalam matematika, himpunan kuasa (bahasa Inggris: power set) dari himpunan adalah himpunan dari semua subhimpunan yang memuat himpunan kosong dan itu sendiri. Dalam teori himpunan aksiomatik (saat dikembangkan, sebagai contoh, dalam aksioma ), keberadaan himpunan kuasa dari setiap himpunan didalilkan melalui . Notasi dari himpunan kuasa dinyatakan dengan berbagai cara, yaitu: , , , atau . Notasi mengartikan bahwa himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari ke himpunan yang mempunyai dua anggota. Penggunaan notasi tersebut dipakai sebab himpunan kuasa dari dapat diidentifikasi dengan, ekuivalen dengan, atau bijektif dengan himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari ke himpunan yang mempunyai dua himpunan anggota. Sebarang subhimpunan dari disebut sebagai atas . A multzo baten azpimultzo guztiek osatzen duten multzoari potentzia-multzo edo A multzoaren parteen multzo deritzo, eta , P(A), (A) edo 2A adierazten da. Adibidez, A = {x, y, z} izanik, bere azpimultzoak ∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z} eta {x, y, z} dira, eta potentzia-multzoa = {{x, y, z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x}, {y}, {z}, ∅}. Zbiór potęgowy – dla danego zbioru zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolami , lub W aksjomatycznej teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru potęgowego postuluje aksjomat zbioru potęgowego. To, że zbiór jest zbiorem potęgowym zbioru można formalnie zapisać tak: Uwaga: Ściśle biorąc, dla danego zbioru nie można podać definicji jego zbioru potęgowego, która zaczynała by się: „jest to zbiór, który...”, bo definicja taka zakłada istnienie zbioru przed jego zdefiniowaniem, a takie definiowanie jest zakazane w aksjomatycznej teorii ZF. Można jedynie formalnie zdefiniować dla dwóch zbiorów, kiedy jeden z nich jest zbiorem potęgowym drugiego. En matematiko, aro de ĉiuj subaroj aŭ potencaro de donita aro S, skribata kiel aŭ 2S, estas la aro de ĉiuj subaroj de S. En aksioma aroteorio (kiel ellaborite ekzemple en la ZFC aksiomoj), la ekzisto de la aro de ĉiuj subaroj de ĉiu aro estas postulata per la . Ĉiu subaro F de estas familio de aroj super S. Ekzemple, se S estas la aro {A, B, C} tiam la plena listo de subaroj de S estas: * {} (la malplena aro) * {A} * {B} * {C} * {A, B} * {A, C} * {B, C} * {A, B, C} kaj de ĉi tie la aro de ĉiuj subaroj de S estas = {{}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C}} Se S estas finia aro kun |S|=n eroj, tiam la aro de ĉiuj subaroj de S enhavas erojn. Oni povas, kaj en komputiloj reale faras, prezenti la erojn de kiel n-bitajn nombrojn; la n-a bito koncernas la ekziston aŭ foreston de la n-a ero de S. Estas 2n tiaj nombroj.) Binoma koeficiento estas kvanto de n-eraj subaroj en k-era aro. Tiel en la ekzemplo pli supre, , , , . Oni povas ankaŭ konsideri la aron de ĉiuj subaroj de malfiniaj aroj. Diagonala argumento de Cantor montras, ke la aro de ĉiuj subaroj de aro (malfinia ĉu ne) ĉiam havas severe pli altan kardinalon ol la aro mem, neformale la aro de ĉiuj subaroj devas esti 'pli granda' ol la originala aro. La aro de ĉiuj subaroj de aro de naturaj nombroj ekzemple povas esti en reciproke unuvalora surĵeto kun aro de reelaj nombroj. Prezentu subaron de la naturaj nombroj per duuma nombro inter 0 kaj 1 inkluziva. Ekzemple, la aro {1, 3} havas prezenton 0,10100..., kun "1" estas ciferoj kies indeksoj estas en la subaro kaj "0" aliloke. Oni povas tiam sendi ĉi tiun aron (kiu estas [0,1] en la reelaj nombroj) al la tuta reela linio ekzemple per per surĵeto x al . La aro de ĉiuj subaroj de aro S, kaj ankaŭ la operacioj de unio, komunaĵo kaj komplemento formas la ekzemplon de bulea algebro. Fakte, ĉiu finia bulea algebro estas izomorfia al la bulea algebro de la aro de ĉiuj subaroj de finia aro. Por malfiniaj buleaj algebroj ĉi tiu estas jam ne vera, sed ĉiu malfinia bulea algebro estas de aro de ĉiu subara bulea algebro. La aro de ĉiuj subaroj de aro S formas komutan grupon kiam konsiderita kun la operacio de simetria diferenco (kun la malplena aro kiel ĝia unuo kaj ĉiu aro estante ĝia posedi inverso) kaj komuta duongrupo kiam konsiderita kun la operacio de komunaĵo. Ĝi povas de ĉi tie esti montrita (per pruvo de la distribuecaj leĝoj), ke la aro de ĉiuj subaroj konsideritaj kaj ankaŭ ambaŭ de ĉi tiuj operacioj formas komutan ringon. In mathematics, the power set (or powerset) of a set S is the set of all subsets of S, including the empty set and S itself. In axiomatic set theory (as developed, for example, in the ZFC axioms), the existence of the power set of any set is postulated by the axiom of power set. The powerset of S is variously denoted as P(S), 𝒫(S), P(S), , or 2S. The notation 2S, meaning the set of all functions from S to a given set of two elements (e.g., {0, 1}), is used because the powerset of S can be identified with, equivalent to, or bijective to the set of all the functions from S to the given two elements set. Any subset of P(S) is called a family of sets over S. Булеан (степень множества, показательное множество, множество частей) — множество всех подмножеств данного множества (включая нулевое и само множество А), обозначается или (так как оно соответствует множеству отображений из в ). Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (то есть инъективность операции для кардиналов) является независимым от ZFC. В категории множеств можно снабдить функцию структурой ковариантного или контравариантного функтора следующим образом: * ковариантный функтор отображает функцию в функцию такую, что она отображает в образ относительно ; * контравариантный функтор отображает функцию в такую, что она отображает в полный прообраз относительно . Открытая математическая проблема: cуществуют ли такие бесконечные множества и , что мощность множества меньше мощности множества и мощность множества меньше мощности множества всех подмножеств множества : ? 数学上，集合的冪集（英語：power set），定義為由該集合全部子集为元素構成的集合。给定集合 ，其幂集 （或作）以符号表示即为 。 在公理集合论（例如ZFC集合论）中，幂集公理假定了任何集合的幂集均存在。 的任何子集合称为上的集族。 En matemáticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Por ejemplo, dado el conjunto: el conjunto potencia es: El conjunto potencia de también se denomina conjunto de las partes de , o conjunto de partes de y se denota por , donde es el cardinal de las partes de , es decir, . In matematica, dato un insieme , l'insieme delle parti di , scritto , è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di . Questa collezione di insiemi viene anche detta insieme potenza di o booleano di . Per esempio, se è l'insieme , allora la lista completa dei suoi sottoinsiemi risulta: * (l'insieme vuoto) * * * * * * * che coincide con l'insieme stesso e quindi l'insieme delle parti di è Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Man notiert die Potenzmenge einer Menge meist als . Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenz anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“. Potensmängden (en. power set) till en mängd M är mängden av alla delmängder till M inklusive den tomma mängden och mängden M själv. Potensmängden till M skrivs ofta , eller . Om M är en ändlig mängd med |M| = n element är antalet delmängder som kan bildas av M lika med || = 2n. Att P(M) är en mängd närhelst M är en mängd, är innebörden i potensmängdsaxiomet. Булеан (англ. power set, нім. potenzmenge) — у теорії множин, це множина всіх підмножин даної множини , позначається або (оскільки вона відповідає множині відображень з в ). Якщо дві множини мають однакову потужність, то їх булеани теж мають рівну потужність. Обернене твердження (тобто ін'єктивність операції для кардиналів) є незалежним від ZFC. У категорії множин можна спорядити функцію структурою коваріантного або контраваріантного функтора в такий спосіб: * коваріативний функтор відображає функцію у функцію таку, що вона відображає у образ відносно ; * контраваріативний функтор відображує функцію в таку, що вона відображає у повний прообраз відносно . Donat un conjunt S, es defineix el conjunt de les parts de S o conjunt potència de S, escrit , P(S), ℘(S), o , com el conjunt de tots els subconjunts de S. Per exemple, si S és el conjunt {a, b, c} aleshores la llista completa dels subconjunts de S és: * {Ø} (conjunt buit) * {a} * {b} * {c} * {a,b} * {a,c} * {b,c} * {a,b,c} Per tant, el conjunt de les parts de S serà: Si S és un conjunt finit amb card (S) = n elements, aleshores el conjunt de les parts de S conté card(℘(S))= 2n elements. De machtsverzameling van een verzameling , aangegeven door of , is de verzameling van alle deelverzamelingen van . Het symbool staat voor 'power', het Engelse woord voor 'macht'. De definitie is dus: Voorbeeld Zij , dan is een deelverzameling van , evenals , etc. De complete lijst van deelverzamelingen van is: 1. * de lege verzameling 2. * 3. * 4. * 5. * 6. * 7. * 8. * De machtsverzameling is de verzameling van deze deelverzamelingen: Als het aantal elementen is in , dus , dan geldt voor de machtsverzameling: Dit is als volgt in te zien: elk element kan wel of niet tot een deelverzameling behoren. Dat geeft 2×2×2×...×2 mogelijkheden in totaal. De machtsverzameling van een oneindige verzameling kan ook worden gedefinieerd. Het diagonaalbewijs van Cantor toont aan dat de kardinaliteit van de machtsverzameling van een oneindige verzameling altijd strikt groter is dan die van de verzameling zelf. De machtsverzameling is 'oneindiger' dan de oorspronkelijke verzameling. Tussen enerzijds de machtsverzameling van de natuurlijke getallen en anderzijds de reële getallen is een bijectie te vinden. Dit kan met behulp van oneindige rijen van nullen en enen. De twee machtsverzamelingen van twee verzamelingen met dezelfde kardinaliteit hebben ook dezelfde kardinaliteit. De machtsverzameling van de lege verzameling is een singleton, met als enige element de lege verzameling. De machtsverzameling van een verzameling , met daarop de bewerkingen vereniging, doorsnede en complement, vormt het standaardvoorbeeld van een booleaanse algebra. Het is zelfs mogelijk om aan te tonen dat elke eindige booleaanse algebra isomorf is met een booleaanse algebra van een machtsverzameling voor een bepaalde verzameling . Voor oneindige booleaanse algebra's geldt dit niet, maar wel geldt dat elke oneindige booleaanse algebra een deelalgebra van een machtsverzameling van een booleaanse algebra is. Door ieder element van de machtsverzameling te associëren met zijn indicatorfunctie ontstaat een bijectie tussen en , de verzameling van alle functies van naar het paar . Dit verklaart de notatie . De relatie 'is een deelverzameling van' vormt op een machtsverzameling een partiële ordening. Het binomium van Newton somt de kardinaliteit van de deelverzamelingen met elementen van een verzameling van elementen op. Dus is En mathématiques, l'ensemble des parties d'un ensemble, parfois appelé ensemble puissance, désigne l'ensemble des sous-ensembles de cet ensemble. في الرياضيات، مجموعة المجموعات الجزئية (بالإنجليزية: Power set)‏ هي المجموعة المكونة من المجموعات الجزئية لمجموعة ما. 冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪（べき）と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字として巾集合とも書かれる。 集合と呼ぶべき対象を公理的にかつ構成的に与える公理的集合論では、新たに作られた原体の冪集合もしくはそれに準ずる複数の冪集合が、それぞれの連続性に関わらず集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしばし提示する。 Το δυναμοσύνολο (power set) ενός συνόλου είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Συνήθως συμβολίζεται με . Επίσης συχνά συμβολίζεται 2X. Το δυναμοσύνολο ενός συνόλου με n στοιχεία έχει 2n (το πλήθος) στοιχεία. Ένα υποσύνολο του ονομάζεται συλλογή υποσυνόλων του ή και κλάση από υποσύνολα του . Ωστόσο ο όρος «κλάση» άλλες φορές περιλαμβάνεται στον και έχει αυστηρά ορισμένη σημασία, άλλες φορές χρησιμοποιείται πιο διαισθητικά στη μεταγλώσσα. Μια «κλάση» μπορεί να είναι συλλογή από αντικείμενα που δεν είναι σύνολα. Για παράδειγμα μιλάμε για την κλάση συναρτήσεων που είναι ολοκληρώσιμες κατά , την κλάση συναρτήσεων που είναι ολοκληρώσιμες κατά Ρίμαν κλπ. Παράδειγμα S = {x, y, z}, υποσύνολα: •{ } •{x} •{y} •{z} •{x, y} •{x, z} •{y, z} •{x, y, z} δυναμοσύνολο του S

gold:hypernym

dbr:Set

prov:wasDerivedFrom

wikipedia-en:Power_set?oldid=1110420744&ns=0

dbo:wikiPageLength

17994

foaf:isPrimaryTopicOf

wikipedia-en:Power_set