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Théorème de dérivation des fonctions composées Řetízkové pravidlo Диференціювання складної функції Regra da cadeia Kettingregel Kaidah rantai قاعدة السلسلة Regola della catena Kedjeregeln 連鎖律 Kettenregel Derivaĵo de funkcia komponaĵo Regla de la cadena Katearen erregela Дифференцирование сложной функции Regla de la cadena 链式法则 연쇄 법칙 Chain rule Reguła łańcuchowa

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미적분학에서 연쇄 법칙(連鎖法則, 영어: chain rule)은 함수의 합성의 도함수에 대한 공식이다. Dalam kalkulus, kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika. Secara intuitif, bila variabel y bergantung pada variabel kedua, u, yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, x, maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan u terhadap x. Ini dapat dituliskan sebagai Lebih tepatnya, untuk menunjukkan titik setiap turunan evaluasi, . Versi aturan rantai di Lagrange dan notasi Leibniz adalah setara, dalam arti bila dan , seperti nilai , maka dan Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena في التفاضل والتكامل؛ قاعدة السلسلة هي صيغة رياضية من أجل حساب مشتق دالتين مركبتين أو أكثر. تنص قاعدة السلسلة على أن مشتق دالة مركبة من دالتين f و g يساوي جداء مشتق الدالة f للدالة g و مشتق الدالة g، بتعبير رياضي: Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция также имеет производную в точке . 链式法则，台湾地区亦称连锁律（英語：Chain rule），用于求合成函数的導數。 微分法において連鎖律（れんさりつ、英: chain rule）あるいは合成関数の微分公式とは、複数の関数が合成された合成関数を微分するとき、その導関数がそれぞれの導関数の積で与えられるという関係式のこと。 Katearen erregela edo katearen araua, bi funtzioren konposizioaren deribatua lortzeko formula da. Kalkulu aljebraikoan deribatuen kalkulua egiteko erabilgarria da, funtzio konposatuak daudenean. In calculus, the chain rule is a formula that expresses the derivative of the composition of two differentiable functions f and g in terms of the derivatives of f and g. More precisely, if is the function such that for every x, then the chain rule is, in Lagrange's notation, or, equivalently, The chain rule may also be expressed in Leibniz's notation. If a variable z depends on the variable y, which itself depends on the variable x (that is, y and z are dependent variables), then z depends on x as well, via the intermediate variable y. In this case, the chain rule is expressed as and Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej. En mathématiques, dans le domaine de l'analyse, le théorème de dérivation des fonctions composées (parfois appelé règle de dérivation en chaîne ou règle de la chaîne, selon l'appellation anglaise) est une formule explicitant la dérivée d'une fonction composée pour deux fonctions dérivables. C'est de cette règle que découle celle du changement de variable pour le calcul d'intégrales. En matematiko, la ĉena regulo estas formulo por la derivaĵo de la komponaĵo de du funkcioj. aŭ aŭ pli detale aŭ en skribmaniero por funkcia komponaĵo: aŭ La regulo validas ankaŭ por komponaĵo de pli multaj funkcioj: (g(h(k(x))))' = g'(h(k(x))) h'(k(x)) k'(x) Formulo de Faà di Bruno estas ĝeneraligo de la ĉena regulo al pli altaj derivaĵoj. Formulo por tuteca derivaĵo estas ĝeneraligo de la ĉena regulo al pluraj variabloj. En integralado, la ĉena regulo implicas la . Die Kettenregel ist eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Mit ihr wird die Ableitung einer Verkettung von zwei differenzierbaren Funktionen berechnet. In Lagrange-Notation lautet die Kettenregel: Die Kettenregel lässt sich verallgemeinern auf Funktionen, die sich als Verkettung von mehr als zwei differenzierbaren Funktionen darstellen lassen. Auch eine solche Funktion ist wiederum differenzierbar, ihre Ableitung erhält man durch Multiplikation der Ableitungen aller ineinander verschachtelten Funktionen. Ihr Gegenstück in der Integralrechnung ist die Integration durch Substitution. En càlcul infinitesimal, la regla de la cadena és una fórmula per a calcular la derivada de la composició de dues funcions. De forma intuïtiva, si una variable, y, depèn d'una segona variable, u, i aquesta alhora depèn d'una tercera variable, x, llavors la velocitat de canvi de y respecte de x es pot calcular com la velocitat de canvi de y respecte de u multiplicada per la velocitat de canvi de u respecte de x. Kedjeregeln är inom matematisk analys en regel för derivering av sammansatta funktioner, det vill säga, om f och g är funktioner, då anger kedjeregeln derivatan av deras sammansättning f ∘ g (funktionen som avbildar x på f(g(x)) i termer av derivator av f och g och produkten av funktioner enligt Detta kan mer explicit uttryckas i termer av variabeln x. Låt F = f ∘ g, eller ekvivalent, F(x) = f(g(x)) för alla x. Kedjeregeln kan då skrivas En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para obtener la derivada de funciones compuestas, esto es, si y son funciones diferenciables entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la composición en términos de la derivada de y y el producto de funciones como Alternativamente, si (equivalente a para toda ) entonces se puede escribir la fórmula de la regla de la cadena en la notación de Lagrange como y para indicar el punto en el que cada derivada es evaluada y Řetízkové pravidlo, řetězové pravidlo (anglicky chain rule) neboli pravidlo o derivaci složené funkce je v matematické analýze vzorec pro derivací složené funkce. Vzorec často podstatně zjednodušuje výpočet derivace. Princip je ukryt v tom, že vlastní funkci nahradím jiným (zpravidla výhodnějším) výrazem, který lze snáze derivovat. Je ale známo, že řetízkové pravidlo pro derivování složené funkce může selhat, pokud vnitřní a vnější funkce nejsou spojitě diferencovatelné. Ланцюгове правило (правило диференціювання складної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних. Якщо функція f має похідну в точці , а функція g має похідну в точці , тоді складна функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці . In analisi matematica, la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione composta di due funzioni derivabili. De kettingregel is een formule voor het bepalen van de afgeleide van een samengestelde functie. Veel functies zijn samengesteld uit een aantal elementaire functies, waarvan de afgeleiden bekend zijn. Als de functie de samenstelling is van de functies en , dus , dan is: , of geschreven met differentiaalquotiënten, waarbij men de samenstelling ook met aanduidt en zegt dat via van afhangt:

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Chain Rule Leibniz rule

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ChainRule

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미적분학에서 연쇄 법칙(連鎖法則, 영어: chain rule)은 함수의 합성의 도함수에 대한 공식이다. In calculus, the chain rule is a formula that expresses the derivative of the composition of two differentiable functions f and g in terms of the derivatives of f and g. More precisely, if is the function such that for every x, then the chain rule is, in Lagrange's notation, or, equivalently, The chain rule may also be expressed in Leibniz's notation. If a variable z depends on the variable y, which itself depends on the variable x (that is, y and z are dependent variables), then z depends on x as well, via the intermediate variable y. In this case, the chain rule is expressed as and for indicating at which points the derivatives have to be evaluated. In integration, the counterpart to the chain rule is the substitution rule. Řetízkové pravidlo, řetězové pravidlo (anglicky chain rule) neboli pravidlo o derivaci složené funkce je v matematické analýze vzorec pro derivací složené funkce. Vzorec často podstatně zjednodušuje výpočet derivace. Princip je ukryt v tom, že vlastní funkci nahradím jiným (zpravidla výhodnějším) výrazem, který lze snáze derivovat. Je ale známo, že řetízkové pravidlo pro derivování složené funkce může selhat, pokud vnitřní a vnější funkce nejsou spojitě diferencovatelné. En mathématiques, dans le domaine de l'analyse, le théorème de dérivation des fonctions composées (parfois appelé règle de dérivation en chaîne ou règle de la chaîne, selon l'appellation anglaise) est une formule explicitant la dérivée d'une fonction composée pour deux fonctions dérivables. Elle permet de connaître la j-ème dérivée partielle de la i-ème application partielle de la composée de deux fonctions de plusieurs variables chacune. Schématiquement, si une variable y dépend d'une seconde variable u, qui dépend à son tour d'une variable x, le taux de variation de y selon x est calculable comme le produit du taux de variation de y selon u et du taux de variation de u selon x :. C'est de cette règle que découle celle du changement de variable pour le calcul d'intégrales. Dalam kalkulus, kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika. Secara intuitif, bila variabel y bergantung pada variabel kedua, u, yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, x, maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan u terhadap x. Ini dapat dituliskan sebagai Aturan rantai dapat ditulis ulang dalam notasi Leibniz dengan cara berikut. Bila variabel z tergantung pada variabel y, yang bergantung pada variabelnya x (yaitu y dan z adalah ), lalu z, melalui variabel perantara y, tergantung pada x demikian juga. Dalam hal ini, aturan rantai menyatakan bahwa: Lebih tepatnya, untuk menunjukkan titik setiap turunan evaluasi, . Versi aturan rantai di Lagrange dan notasi Leibniz adalah setara, dalam arti bila dan , seperti nilai , maka dan Secara intuitif, aturan rantai menyatakan bahwa mengetahui tingkat perubahan seketika z tergantung pada y dan dari y relative to x memungkinkan seseorang untuk menghitung tingkat perubahan seketika z tergantung pada x. Seperti yang dikemukakan oleh : "Jika sebuah mobil melaju dua kali lebih cepat dari sepeda dan sepeda empat kali lebih cepat dari orang yang berjalan kaki, maka mobil tersebut berjalan 2 × 4 = 8 kali lebih cepat dari pria itu." Dalam integrasi, pasangan dari aturan rantai adalah . Katearen erregela edo katearen araua, bi funtzioren konposizioaren deribatua lortzeko formula da. Kalkulu aljebraikoan deribatuen kalkulua egiteko erabilgarria da, funtzio konposatuak daudenean. In analisi matematica, la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione composta di due funzioni derivabili. Die Kettenregel ist eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Mit ihr wird die Ableitung einer Verkettung von zwei differenzierbaren Funktionen berechnet. In Lagrange-Notation lautet die Kettenregel: Die Kettenregel lässt sich verallgemeinern auf Funktionen, die sich als Verkettung von mehr als zwei differenzierbaren Funktionen darstellen lassen. Auch eine solche Funktion ist wiederum differenzierbar, ihre Ableitung erhält man durch Multiplikation der Ableitungen aller ineinander verschachtelten Funktionen. Die Kettenregel bildet einen Spezialfall der mehrdimensionalen Kettenregel für den eindimensionalen Fall. Ihr Gegenstück in der Integralrechnung ist die Integration durch Substitution. Ланцюгове правило (правило диференціювання складної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних. Якщо функція f має похідну в точці , а функція g має похідну в точці , тоді складна функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці . في التفاضل والتكامل؛ قاعدة السلسلة هي صيغة رياضية من أجل حساب مشتق دالتين مركبتين أو أكثر. تنص قاعدة السلسلة على أن مشتق دالة مركبة من دالتين f و g يساوي جداء مشتق الدالة f للدالة g و مشتق الدالة g، بتعبير رياضي: Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej. En càlcul infinitesimal, la regla de la cadena és una fórmula per a calcular la derivada de la composició de dues funcions. De forma intuïtiva, si una variable, y, depèn d'una segona variable, u, i aquesta alhora depèn d'una tercera variable, x, llavors la velocitat de canvi de y respecte de x es pot calcular com la velocitat de canvi de y respecte de u multiplicada per la velocitat de canvi de u respecte de x. En matematiko, la ĉena regulo estas formulo por la derivaĵo de la komponaĵo de du funkcioj. aŭ aŭ pli detale aŭ en skribmaniero por funkcia komponaĵo: aŭ La regulo validas ankaŭ por komponaĵo de pli multaj funkcioj: (g(h(k(x))))' = g'(h(k(x))) h'(k(x)) k'(x) Formulo de Faà di Bruno estas ĝeneraligo de la ĉena regulo al pli altaj derivaĵoj. Formulo por tuteca derivaĵo estas ĝeneraligo de la ĉena regulo al pluraj variabloj. En integralado, la ĉena regulo implicas la . 微分法において連鎖律（れんさりつ、英: chain rule）あるいは合成関数の微分公式とは、複数の関数が合成された合成関数を微分するとき、その導関数がそれぞれの導関数の積で与えられるという関係式のこと。 De kettingregel is een formule voor het bepalen van de afgeleide van een samengestelde functie. Veel functies zijn samengesteld uit een aantal elementaire functies, waarvan de afgeleiden bekend zijn. Als de functie de samenstelling is van de functies en , dus , dan is: , of geschreven met differentiaalquotiënten, waarbij men de samenstelling ook met aanduidt en zegt dat via van afhangt: 链式法则，台湾地区亦称连锁律（英語：Chain rule），用于求合成函数的導數。 Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função. Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция также имеет производную в точке . En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para obtener la derivada de funciones compuestas, esto es, si y son funciones diferenciables entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la composición en términos de la derivada de y y el producto de funciones como Alternativamente, si (equivalente a para toda ) entonces se puede escribir la fórmula de la regla de la cadena en la notación de Lagrange como La regla de la cadena también puede ser escrita en la notación de Leibniz de la siguiente manera. Si una variable depende de una variable y a su vez esta depende de (esto es y son variables dependientes) entonces también depende de , en tal caso, la regla de la cadena enuncia que y para indicar el punto en el que cada derivada es evaluada Las versiones de la regla de la cadena en la notación de Lagrange y de Leibniz son equivalentes en el sentido que si y (esto es ) entonces y Kedjeregeln är inom matematisk analys en regel för derivering av sammansatta funktioner, det vill säga, om f och g är funktioner, då anger kedjeregeln derivatan av deras sammansättning f ∘ g (funktionen som avbildar x på f(g(x)) i termer av derivator av f och g och produkten av funktioner enligt Detta kan mer explicit uttryckas i termer av variabeln x. Låt F = f ∘ g, eller ekvivalent, F(x) = f(g(x)) för alla x. Kedjeregeln kan då skrivas Kedjeregeln kan också skrivas med Leibniz notation: låt z vara en funktion av variabeln y, vilken själv är en funktion av x (y och z är därmed beroende variabler) och därmed blir även z en funktion av x:

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