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- En teoria de nombres algebraics, el teorema de les unitats de Dirichlet determina l'estructura del grup de les unitats d'un dels enters algebraics d'un K . El grup de les unitats designa el conjunt dels elements invertibles d'un anell commutatiu unitari. Un cos de nombres és una dels nombres racionals Q , és a dir un subcos dels nombres complexos C que, en tant que espai vectorial sobre Q és de dimensió finita. Un enter algebraic del cos de nombres és un element el polinomi mínim del qual és de coeficients en Z, l'anell dels nombres enters. El teorema de les unitats estipula que el grup de les unitats és isomorf al producte d'un grup cíclic i d'un grup abelià finit. Si r1 designa el nombre de morfismes injectius del cos K en R el cos dels nombres reals i r₂ el nombre de parelles de morfismes injectius conjugats del cos K en el conjunt C , llavors la dimensió del grup finit és igual a r1 + r₂ - 1. El grup cíclic és un subgrup del grup de les arrels de la unitat. (ca)
- في الرياضيات، مبرهنة الوحدة لديريكليه (بالإنجليزية: Dirichlet's unit theorem) هي نتيجة أساسية في النظرية الجبرية للأعداد. يعود الفضل في البرهان عليها إلى يوهان بيتر غوستاف لوجون دركليه. (ar)
- In mathematics, Dirichlet's unit theorem is a basic result in algebraic number theory due to Peter Gustav Lejeune Dirichlet. It determines the rank of the group of units in the ring OK of algebraic integers of a number field K. The regulator is a positive real number that determines how "dense" the units are. The statement is that the group of units is finitely generated and has rank (maximal number of multiplicatively independent elements) equal to r = r1 + r2 − 1 where r1 is the number of real embeddings and r2 the number of conjugate pairs of complex embeddings of K. This characterisation of r1 and r2 is based on the idea that there will be as many ways to embed K in the complex number field as the degree ; these will either be into the real numbers, or pairs of embeddings related by complex conjugation, so that n = r1 + 2r2. Note that if K is Galois over then either r1 = 0 or r2 = 0. Other ways of determining r1 and r2 are
* use the primitive element theorem to write , and then r1 is the number of conjugates of α that are real, 2r2 the number that are complex; in other words, if f is the minimal polynomial of α over , then r1 is the number of real roots and 2r2 is the number of non-real complex roots of f (which come in complex conjugate pairs);
* write the tensor product of fields as a product of fields, there being r1 copies of and r2 copies of . As an example, if K is a quadratic field, the rank is 1 if it is a real quadratic field, and 0 if an imaginary quadratic field. The theory for real quadratic fields is essentially the theory of Pell's equation. The rank is positive for all number fields besides and imaginary quadratic fields, which have rank 0. The 'size' of the units is measured in general by a determinant called the regulator. In principle a basis for the units can be effectively computed; in practice the calculations are quite involved when n is large. The torsion in the group of units is the set of all roots of unity of K, which form a finite cyclic group. For a number field with at least one real embedding the torsion must therefore be only {1,−1}. There are number fields, for example most imaginary quadratic fields, having no real embeddings which also have {1,−1} for the torsion of its unit group. Totally real fields are special with respect to units. If L/K is a finite extension of number fields with degree greater than 1 andthe units groups for the integers of L and K have the same rank then K is totally real and L is a totally complex quadratic extension. The converse holds too. (An example is K equal to the rationals and L equal to an imaginary quadratic field; both have unit rank 0.) The theorem not only applies to the maximal order OK but to any order O ⊂ OK. There is a generalisation of the unit theorem by Helmut Hasse (and later Claude Chevalley) to describe the structure of the group of S-units, determining the rank of the unit group in localizations of rings of integers. Also, the Galois module structure of has been determined. (en)
- Der nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte dirichletsche Einheitensatz ist eines der ersten Ergebnisse der algebraischen Zahlentheorie. Der Satz beschreibt die Struktur der Einheitengruppe des Ganzheitsringes eines algebraischen Zahlkörpers. (de)
- En matemáticas, el teorema de las unidades de Dirichlet es un resultado básico en teoría de números algebraicos formalizado por el matemático alemán a Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Determina el del grupo de unidades en el anillo OK de los números enteros algebraicos de un cuerpo numérico K. El regulador es un número real positivo que determina la densidad de las unidades. (es)
- En théorie algébrique des nombres, le théorème des unités de Dirichlet détermine, pour un corps de nombres K – c'est-à-dire pour une extension finie du corps ℚ des nombres rationnels –, la structure du « groupe des unités » (ou : groupe des inversibles) de l'anneau de ses entiers algébriques. Il établit que ce groupe est isomorphe au produit d'un groupe cyclique fini et d'un groupe abélien libre de rang r1 + r2 – 1, où r1 désigne le nombre de morphismes de K dans ℝ et r2 le nombre de paires de morphismes conjugués de K dans ℂ à valeurs non toutes réelles. (fr)
- 数学において、ディリクレの単数定理(Dirichlet's unit theorem)は、ペーター・グスタフ・ディリクレ による代数的整数論の基本的な結果である。ディリクレの単数定理は、代数体 K の代数的整数がなす環 の単数群 の階数を決定する。単数基準（あるいはレギュレータ）(regulator)とは、どれくらい単数の「密度」があるかを決める正の実数である。 (ja)
- In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de eenheidsstelling van Dirichlet een basisresultaat dat de structuur bepaalt van de eenhedengroep in de ring van algebraïsche gehele getallen van een getallenlichaam . De stelling is een van de eerste resultaten in de algebraïsche getaltheorie enwerd bewezen door de Duitse wiskundige Lejeune Dirichlet. (nl)
- Теорема Дирихле о единицах — теорема алгебраической теории чисел, описывающая ранг подгруппы обратимых элементов (также именуемых единицами) кольца алгебраических целых числового поля . (ru)
- Теорема Діріхле про оборотні елементи — теорема алгебраїчної теорії чисел, що описує підгрупу оборотних елементів (які також називаються одиницями) кільця алгебраїчних цілих чисел числового поля . (uk)
- 狄利克雷单位定理是代数数论两个基本定理之一，是由約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷得出的。它指出在数域OK的代数整数环中单位群的可用一正实数来度量，这正实数记为rank，可反映如何单位群在域OK的“稠密”程度。 (zh)
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- في الرياضيات، مبرهنة الوحدة لديريكليه (بالإنجليزية: Dirichlet's unit theorem) هي نتيجة أساسية في النظرية الجبرية للأعداد. يعود الفضل في البرهان عليها إلى يوهان بيتر غوستاف لوجون دركليه. (ar)
- Der nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte dirichletsche Einheitensatz ist eines der ersten Ergebnisse der algebraischen Zahlentheorie. Der Satz beschreibt die Struktur der Einheitengruppe des Ganzheitsringes eines algebraischen Zahlkörpers. (de)
- En matemáticas, el teorema de las unidades de Dirichlet es un resultado básico en teoría de números algebraicos formalizado por el matemático alemán a Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Determina el del grupo de unidades en el anillo OK de los números enteros algebraicos de un cuerpo numérico K. El regulador es un número real positivo que determina la densidad de las unidades. (es)
- En théorie algébrique des nombres, le théorème des unités de Dirichlet détermine, pour un corps de nombres K – c'est-à-dire pour une extension finie du corps ℚ des nombres rationnels –, la structure du « groupe des unités » (ou : groupe des inversibles) de l'anneau de ses entiers algébriques. Il établit que ce groupe est isomorphe au produit d'un groupe cyclique fini et d'un groupe abélien libre de rang r1 + r2 – 1, où r1 désigne le nombre de morphismes de K dans ℝ et r2 le nombre de paires de morphismes conjugués de K dans ℂ à valeurs non toutes réelles. (fr)
- 数学において、ディリクレの単数定理(Dirichlet's unit theorem)は、ペーター・グスタフ・ディリクレ による代数的整数論の基本的な結果である。ディリクレの単数定理は、代数体 K の代数的整数がなす環 の単数群 の階数を決定する。単数基準（あるいはレギュレータ）(regulator)とは、どれくらい単数の「密度」があるかを決める正の実数である。 (ja)
- In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de eenheidsstelling van Dirichlet een basisresultaat dat de structuur bepaalt van de eenhedengroep in de ring van algebraïsche gehele getallen van een getallenlichaam . De stelling is een van de eerste resultaten in de algebraïsche getaltheorie enwerd bewezen door de Duitse wiskundige Lejeune Dirichlet. (nl)
- Теорема Дирихле о единицах — теорема алгебраической теории чисел, описывающая ранг подгруппы обратимых элементов (также именуемых единицами) кольца алгебраических целых числового поля . (ru)
- Теорема Діріхле про оборотні елементи — теорема алгебраїчної теорії чисел, що описує підгрупу оборотних елементів (які також називаються одиницями) кільця алгебраїчних цілих чисел числового поля . (uk)
- 狄利克雷单位定理是代数数论两个基本定理之一，是由約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷得出的。它指出在数域OK的代数整数环中单位群的可用一正实数来度量，这正实数记为rank，可反映如何单位群在域OK的“稠密”程度。 (zh)
- En teoria de nombres algebraics, el teorema de les unitats de Dirichlet determina l'estructura del grup de les unitats d'un dels enters algebraics d'un K . El grup de les unitats designa el conjunt dels elements invertibles d'un anell commutatiu unitari. Un cos de nombres és una dels nombres racionals Q , és a dir un subcos dels nombres complexos C que, en tant que espai vectorial sobre Q és de dimensió finita. Un enter algebraic del cos de nombres és un element el polinomi mínim del qual és de coeficients en Z, l'anell dels nombres enters. (ca)
- In mathematics, Dirichlet's unit theorem is a basic result in algebraic number theory due to Peter Gustav Lejeune Dirichlet. It determines the rank of the group of units in the ring OK of algebraic integers of a number field K. The regulator is a positive real number that determines how "dense" the units are. The statement is that the group of units is finitely generated and has rank (maximal number of multiplicatively independent elements) equal to r = r1 + r2 − 1 n = r1 + 2r2. Note that if K is Galois over then either r1 = 0 or r2 = 0. Other ways of determining r1 and r2 are (en)
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- مبرهنة الوحدة لدركليه (ar)
- Teorema de les unitats de Dirichlet (ca)
- Dirichletscher Einheitensatz (de)
- Teorema de las unidades de Dirichlet (es)
- Dirichlet's unit theorem (en)
- Théorème des unités de Dirichlet (fr)
- 디리클레 가역원 정리 (ko)
- ディリクレの単数定理 (ja)
- Eenheidsstelling van Dirichlet (nl)
- Теорема Дирихле о единицах (ru)
- Теорема Діріхле про оборотні елементи (uk)
- 狄利克雷单位定理 (zh)
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