| dbo:abstract
|
- Die Pólya-Verteilung beschreibt einen bestimmten Typ von Zufallsexperimenten und gehört damit zur Stochastik. Sie ist nach dem ungarisch-amerikanischen Mathematiker George Pólya benannt. Die Pólya-Verteilung wird auch Ansteckungsverteilung genannt, weil mit ihr der Prozess charakterisiert werden kann, dass eine kranke Person andere ansteckt. Der Begriff des Pólyas-Modells ist nicht eindeutig: In der Literatur finden sich unterschiedliche Kurzbeschreibungen, die nicht nur mehr oder weniger direkte Verallgemeinerungen des Standard-Experimentes umfassen, sondern manchmal sogar vom üblichen diskreten in den kontinuierlichen Fall übergehen. Trotzdem ist das Grundprinzip immer vergleichbar. (de)
- In statistics, a Pólya urn model (also known as a Pólya urn scheme or simply as Pólya's urn), named after George Pólya, is a type of statistical model used as an idealized mental exercise framework, unifying many treatments. In an urn model, objects of real interest (such as atoms, people, cars, etc.) are represented as colored balls in an urn or other container. In the basic Pólya urn model, the urn contains x white and y black balls; one ball is drawn randomly from the urn and its color observed; it is then returned in the urn, and an additional ball of the same color is added to the urn, and the selection process is repeated. Questions of interest are the evolution of the urn population and the sequence of colors of the balls drawn out. This endows the urn with a self-reinforcing property sometimes expressed as the rich get richer. Note that in some sense, the Pólya urn model is the "opposite" of the model of sampling without replacement, where every time a particular value is observed, it is less likely to be observed again, whereas in a Pólya urn model, an observed value is more likely to be observed again. In both of these models, the act of measurement has an effect on the outcome of future measurements. (For comparison, when sampling with replacement, observation of a particular value has no effect on how likely it is to observe that value again.) In a Pólya urn model, successive acts of measurement over time have less and less effect on future measurements, whereas in sampling without replacement, the opposite is true: After a certain number of measurements of a particular value, that value will never be seen again. One of the reasons for interest in this particular rather elaborate urn model (i.e. with duplication and then replacement of each ball drawn) is that it provides an example in which the count (initially x black and y white) of balls in the urn is not concealed, which is able to approximate the correct updating of subjective probabilities appropriate to a different case in which the original urn content is concealed while ordinary sampling with replacement is conducted (without the Pólya ball-duplication). Because of the simple "sampling with replacement" scheme in this second case, the urn content is now static, but this greater simplicity is compensated for by the assumption that the urn content is now unknown to an observer. A Bayesian analysis of the observer's uncertainty about the urn's initial content can be made, using a particular choice of (conjugate) prior distribution. Specifically, suppose that an observer knows that the urn contains only identical balls, each coloured either black or white, but he does not know the absolute number of balls present, nor the proportion that are of each colour. Suppose that he holds prior beliefs about these unknowns: for him the probability distribution of the urn content is well approximated by some prior distribution for the total number of balls in the urn, and a beta prior distribution with parameters (x,y) for the initial proportion of these which are black, this proportion being (for him) considered approximately independent of the total number. Then the process of outcomes of a succession of draws from the urn (with replacement but without the duplication) has approximately the same probability law as does the above Pólya scheme in which the actual urn content was not hidden from him. The approximation error here relates to the fact that an urn containing a known finite number m of balls of course cannot have an exactly beta-distributed unknown proportion of black balls, since the domain of possible values for that proportion are confined to being multiples of , rather than having the full freedom to assume any value in the continuous unit interval, as would an exactly beta distributed proportion. This slightly informal account is provided for reason of motivation, and can be made more mathematically precise. This basic Pólya urn model has been enriched and generalized in many ways. (en)
- En mathématiques, l’expérience de l’urne de Pólya est un problème de probabilités dans lequel une urne reçoit successivement des boules de couleur en fonction de tirages avec remise. La dénomination fait référence au mathématicien George Pólya qui a proposé ce modèle. Dans sa version la plus simple, la composition initiale de l’urne est de deux boules de couleurs différentes et chaque tirage d’une boule entraine l’ajout d’une boule de la même couleur. Le nombre de boules de chaque couleur suit alors une loi uniforme discrète à chaque étape et la proportion de boules converge vers la loi uniforme continue sur l’intervalle . Avec une composition initiale différente, la proportion de boules de chaque couleur converge vers une loi bêta. (fr)
- In de kansrekening is een vaas van Pólya, genoemd naar George Pólya, een statistisch model als idealisering van een gedachte-experiment. In een vaasmodel worden reële objecten, zoals atomen, mensen, auto's, voorgesteld door gekleurde knikkers in een vaas. In het eenvoudigste model bevat de vaas witte en zwarte knikkers. Eén knikker wordt willekeurig uit de vaas getrokken en zijn kleur waargenomen. De knikker wordt dan teruggelegd in de vaas, en er wordt een knikker van dezelfde kleur toegevoegd aan de vaas, waarna het selectieproces wordt herhaald. Vragen van belang zijn de ontwikkeling van de populatie in de vaas en de volgorde van de kleuren van de getrokken knikkers. Hiermee wordt de vaas voorzien van een zichzelf versterkende eigenschap, die wel uitgedrukt wordt als de rijken worden rijker. Merk op dat de vaas van Pólya in een bepaald opzicht het "tegenovergestelde" is van het model van trekken zonder terugleggen, waarbij telkens als een bepaalde waarde is waargenomen, het minder waarschijnlijk wordt deze waarde opnieuw waar te nemen, terwijl bij een vaas van Pólya een waargenomen waarde juist waarschijnlijker wordt. In beide modellen beïnvloedt de meting de uitkomst van de toekomstige metingen. (Ter vergelijking: bij trekkingen met terugleggen heeft de waarneming van een bepaalde waarde geen invloed op hoe waarschijnlijk het is om deze waarde weer waar te nemen.) Merk ook op dat bij de vaas van Pólya de opeenvolgende metingen na verloop van tijd minder en minder effect op toekomstige metingen hebben, terwijl bij trekken zonder terugleggen het tegendeel het geval is: na een bepaald aantal metingen van een bepaalde waarde, zal deze waarde niet meer voorkomen. Dit eenvoudigste model is op vele manieren verrijkt en gegeneraliseerd. (nl)
- Урна Пойи — тип статистических моделей, названных в честь Дьёрдя Пойи.Часто используется как модель в эволюционных теориях. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- Урна Пойи — тип статистических моделей, названных в честь Дьёрдя Пойи.Часто используется как модель в эволюционных теориях. (ru)
- Die Pólya-Verteilung beschreibt einen bestimmten Typ von Zufallsexperimenten und gehört damit zur Stochastik. Sie ist nach dem ungarisch-amerikanischen Mathematiker George Pólya benannt. Die Pólya-Verteilung wird auch Ansteckungsverteilung genannt, weil mit ihr der Prozess charakterisiert werden kann, dass eine kranke Person andere ansteckt. (de)
- In statistics, a Pólya urn model (also known as a Pólya urn scheme or simply as Pólya's urn), named after George Pólya, is a type of statistical model used as an idealized mental exercise framework, unifying many treatments. This endows the urn with a self-reinforcing property sometimes expressed as the rich get richer. This basic Pólya urn model has been enriched and generalized in many ways. (en)
- En mathématiques, l’expérience de l’urne de Pólya est un problème de probabilités dans lequel une urne reçoit successivement des boules de couleur en fonction de tirages avec remise. La dénomination fait référence au mathématicien George Pólya qui a proposé ce modèle. (fr)
- In de kansrekening is een vaas van Pólya, genoemd naar George Pólya, een statistisch model als idealisering van een gedachte-experiment. In een vaasmodel worden reële objecten, zoals atomen, mensen, auto's, voorgesteld door gekleurde knikkers in een vaas. In het eenvoudigste model bevat de vaas witte en zwarte knikkers. Eén knikker wordt willekeurig uit de vaas getrokken en zijn kleur waargenomen. De knikker wordt dan teruggelegd in de vaas, en er wordt een knikker van dezelfde kleur toegevoegd aan de vaas, waarna het selectieproces wordt herhaald. Vragen van belang zijn de ontwikkeling van de populatie in de vaas en de volgorde van de kleuren van de getrokken knikkers. (nl)
|
