In topology, a Jordan curve, sometimes called a plane simple closed curve, is a non-self-intersecting continuous loop in the plane. The Jordan curve theorem asserts that every Jordan curve divides the plane into an "interior" region bounded by the curve and an "exterior" region containing all of the nearby and far away exterior points, so that every continuous path connecting a point of one region to a point of the other intersects with that loop somewhere. While the statement of this theorem seems to be intuitively obvious, it takes some ingenuity to prove it by elementary means. "Although the JCT is one of the best known topological theorems, there are many, even among professional mathematicians, who have never read a proof of it." (, Introduction)). More transparent proofs rely on the

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  • في الطوبولوجيا، تنص مبرهنة منحنى جوردان أن كل حلقة لا تقطع نفسها في المستوي (تعرف باسم منحنى جوردان) تقسم المستوي إلى منطقتين "داخل" و"خارج"، وأي مسار يربط نقطة من أحد المنطقتين للأخرى يجب أن يقطع الحلقة في مكان ما. (ar)
  • En topologia, una corba de Jordan és un continu, que no s'interseca amb ell mateix, del pla; hom també en diu corba tancada simple. El teorema de la corba de Jordan afirma que tota corba de Jordan divideix el pla en una regió "interior" delimitada per la corba i una regió "exterior" que conté tots els punts exteriors a la corba, de tal manera que qualsevol continu que connecta un punt d'una regió amb un punt de l'altra s'interseca amb la corba en algun lloc. Encara que l'enunciat d'aquest teorema sembla obvi, la demostració no és pas tan senzilla. Les demostracions més robustes fan ús de les eines de topologia algebraica, i proporcionen generalitzacions a espais de més dimensions. El teorema de la corba de Jordan rep aquest nom pel matemàtic Camille Jordan, que va ser el primer a demostrar-lo. Durant dècades, es va creure que aquesta demostració era errònia, fins que en va fer una demostració rigorosa. Tot i això, aquesta idea va ser refutada per i d'altres. (ca)
  • Der jordansche Kurvensatz ist ein Ergebnis im mathematischen Teilgebiet der Topologie. (de)
  • In topology, a Jordan curve, sometimes called a plane simple closed curve, is a non-self-intersecting continuous loop in the plane. The Jordan curve theorem asserts that every Jordan curve divides the plane into an "interior" region bounded by the curve and an "exterior" region containing all of the nearby and far away exterior points, so that every continuous path connecting a point of one region to a point of the other intersects with that loop somewhere. While the statement of this theorem seems to be intuitively obvious, it takes some ingenuity to prove it by elementary means. "Although the JCT is one of the best known topological theorems, there are many, even among professional mathematicians, who have never read a proof of it." (, Introduction)). More transparent proofs rely on the mathematical machinery of algebraic topology, and these lead to generalizations to higher-dimensional spaces. The Jordan curve theorem is named after the mathematician Camille Jordan (1838–1922), who found its first proof. For decades, mathematicians generally thought that this proof was flawed and that the first rigorous proof was carried out by Oswald Veblen. However, this notion has been overturned by Thomas C. Hales and others. (en)
  • En topología, el teorema de la curva de Jordan establece que: El teorema fue demostrado por Oswald Veblen en 1905.Una generalización del teorema se conoce como teorema de Jordan-Schönflies. A pesar de su simplicidad, el teorema requiere herramienta muy técnica para demostrarlo. Por otro lado, el teorema no necesariamente es válido en cualquier superficie. Por ejemplo, aunque es válido en el plano (o la esfera), no es válido en el toro. (es)
  • En mathématiques, le théorème de Jordan est un théorème de topologie plane. Il est célèbre par le caractère apparemment intuitif de son énoncé et la difficulté de sa démonstration. « En fait, il n'y a pratiquement aucun autre théorème qui apparaisse aussi évident en apparence que n'importe quel axiome de géométrie élémentaire et dont la démonstration est tout sauf évidente » précise M. Dostal à son sujet. Si, à l'aide d'un crayon, on dessine une ligne continue (on ne lève pas le crayon) qui ne se croise pas et qui termine là où elle commence, la zone de la feuille non dessinée se décompose en deux parties, l'intérieur de la figure, qui est borné, et l'extérieur, qui ne le serait pas si la feuille ne l'était pas. Pour s'en rendre compte, il suffit de découper la feuille à l'emplacement de la ligne, on obtient bien deux morceaux. Ce théorème est l'un des piliers de la topologie du plan, qui correspond à l'étude des transformations, sans arrachage ni recollement (le plan est considéré comme formé d'une baudruche infiniment souple mais indéchirable). Une manière ludique d'en comprendre son intérêt est l'énigme des trois maisons. On considère dans le plan trois maisons représentées par des points et trois fournisseurs d'eau, de gaz et d'électricité. L'objectif est de relier chaque maison aux trois fournisseurs par des lignes, sans que deux de ces lignes ne se croisent. Le théorème de Jordan permet de montrer que c'est impossible. Il est utilisé pour mieux comprendre les équations différentielles. On le trouve encore en analyse complexe, à travers la théorie des résidus, et en géométrie différentielle. Bernard Bolzano est le premier mathématicien à considérer comme une question mathématique ce qui deviendra le théorème de Jordan. Il formalise les définitions à l'origine de la démonstration. En 1887, Camille Jordan rédige la première démonstration, qui reste d'actualité de par la simplicité des outils mathématiques utilisés. Dans son Cours d'analyse, Jordan présente la partie facile de la démonstration sous forme d'un exercice dont la solution n'est pas rédigée. Ceci amène souvent à considérer la démonstration d'Oswald Veblen, en 1905, comme la première démonstration complète. (fr)
  • In topologia, il teorema della curva di Jordan (dal nome del matematico francese Camille Jordan che ad esso contribuì) afferma che ogni curva chiusa del piano che non sia intrecciata divide il piano in due parti una "interna" e una "esterna". Una curva con queste proprietà è detta curva di Jordan. (it)
  • 位相幾何学において、ジョルダン曲線定理(ジョルダンきょくせんていり、Jordan curve theorem)あるいはジョルダンの閉曲線定理(へいきょくせんていり)とは、平面に置かれた自己交差を持たないどんな閉曲線(輪っか)も平面を「内側」と「外側」に分けるということを述べた定理。 (ja)
  • 위상수학에서, 조르당 곡선 정리(Jordan曲線定理, 영어: Jordan curve theorem)는 평면 위에 있는 단순 닫힌 곡선이 평면을 안과 밖 두 개의 영역으로 분할한다는 정리이다. (ko)
  • In topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een Jordan-kromme een niet-zelf-doorsnijdende continue lus in het vlak. De stelling van Jordan stelt dat elke Jordan-kromme het vlak verdeelt in een "inwendig gebied, dat begrensd wordt door de kromme en een "uitwendig" gebied dat alle verweggelegen punten bevat, zodanig dat ieder continu pad, dat een punt in het gebied verbindt met een punt in een ander gebied, deze lus ergens doorsnijdt. Hoewel de stelling intuïtief duidelijk is, heeft het veel vernuft gekost om deze stelling met elementaire middelen te bewijzen. Transparantere bewijzen verlaten zich op de hulpmiddelen uit de algebraïsche topologie en hebben tot veralgemeningen naar hogere-dimensionale ruimten geleid. De stelling van Jordan is misschien wel het oudste resultaat in de en is vernoemd naar Camille Jordan, die als eerste een bewijs vond. Lange tijd heeft men gedacht dat het bewijs van Camille Jordan niet strikt genoeg was en dat het eerste strenge bewijs door Oswald Veblen was opgesteld. Dit standpunt werd echter recent ter discussie gesteld door Thomas Hales. (nl)
  • Krzywa Jordana – homeomorficzny obraz okręgu na płaszczyźnie. Funkcjonuje też nieco słabsza definicja: Odwzorowanie ciągłe przedziału w płaszczyznę nazywa się krzywą na płaszczyźnie. Jeśli krzywą tą nazywa się krzywą zamkniętą, a jeśli ponadto jest ona różnowartościowa w przedziale nazywana jest ona krzywą Jordana. W praktyce krzywą Jordana nazywa się też obraz tej krzywej na płaszczyźnie i ten obiekt jest homeomorficzny z okręgiem. (pl)
  • Em topologia, o teorema da curva de Jordan afirma que uma curva fechada simples no plano divide-o em duas partes, ou seja, que o complementar da curva tem duas componentes conexas, uma das quais é limitada a outra ilimitada. Este teorema deve o seu nome a Camille Jordan, mas a primeira demonstração correcta deste resultado deve-se a Oswald Veblen, em 1905. (pt)
  • Jordans kurvsats är ett resultat inom topologin som informellt formulerat säger att varje kontinuerlig, sluten, kurva i planet som inte skär sig själv kommer dela planet i två delar, en inre region och en yttre. (sv)
  • У топології, Жорданова крива — це довільна замкнена без самоперетинів крива в площині, інакше відома як проста замкнена крива. Теорема Жордана стверджує, що кожна Жорданова крива ділить площину на дві області — внутрішню область обмежену кривою і зовнішню, що містить всі ближні і дальні зовнішні точки, причому будь-який шлях, який зв'язує точки з двох регіонів перетне цю криву в якійсь точці. Хоча твердження теореми здається інтуїтивно очевидним, вимагається багато винахідливості, щоб довести її через елементарні логічні пояснення. Прозоріше доведення покладається математичні механізми алгебраїчної топології, і веде до узагальнення для вищих вимірів. Теорема названа на честь Каміля Жордана, який першим довів її. (uk)
  • 在拓扑学中,若尔当曲线(英語:Jordan curve)是平面上的非自交环路(又称为简单闭曲线,英語:simple closed curve)。若尔当曲线定理(英語:Jordan curve theorem)说明每一条若尔当曲线都把平面分成一个“内部”区域和一个“外部”区域,且任何从一个区域到另一个区域的道路都必然在某处与环路相交。它由奥斯瓦尔德·维布伦在1905年证明。 (zh)
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  • M.I. Voitsekhovskii (en)
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  • W. (en)
  • Fred (en)
  • Keita (en)
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  • Gordon O. (en)
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  • Jordan theorem (en)
  • The Jordan curve theorem and the Schönflies theorem in weak second-order arithmetic (en)
  • The constructive Jordan curve theorem (en)
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  • في الطوبولوجيا، تنص مبرهنة منحنى جوردان أن كل حلقة لا تقطع نفسها في المستوي (تعرف باسم منحنى جوردان) تقسم المستوي إلى منطقتين "داخل" و"خارج"، وأي مسار يربط نقطة من أحد المنطقتين للأخرى يجب أن يقطع الحلقة في مكان ما. (ar)
  • Der jordansche Kurvensatz ist ein Ergebnis im mathematischen Teilgebiet der Topologie. (de)
  • En topología, el teorema de la curva de Jordan establece que: El teorema fue demostrado por Oswald Veblen en 1905.Una generalización del teorema se conoce como teorema de Jordan-Schönflies. A pesar de su simplicidad, el teorema requiere herramienta muy técnica para demostrarlo. Por otro lado, el teorema no necesariamente es válido en cualquier superficie. Por ejemplo, aunque es válido en el plano (o la esfera), no es válido en el toro. (es)
  • In topologia, il teorema della curva di Jordan (dal nome del matematico francese Camille Jordan che ad esso contribuì) afferma che ogni curva chiusa del piano che non sia intrecciata divide il piano in due parti una "interna" e una "esterna". Una curva con queste proprietà è detta curva di Jordan. (it)
  • 位相幾何学において、ジョルダン曲線定理(ジョルダンきょくせんていり、Jordan curve theorem)あるいはジョルダンの閉曲線定理(へいきょくせんていり)とは、平面に置かれた自己交差を持たないどんな閉曲線(輪っか)も平面を「内側」と「外側」に分けるということを述べた定理。 (ja)
  • 위상수학에서, 조르당 곡선 정리(Jordan曲線定理, 영어: Jordan curve theorem)는 평면 위에 있는 단순 닫힌 곡선이 평면을 안과 밖 두 개의 영역으로 분할한다는 정리이다. (ko)
  • Krzywa Jordana – homeomorficzny obraz okręgu na płaszczyźnie. Funkcjonuje też nieco słabsza definicja: Odwzorowanie ciągłe przedziału w płaszczyznę nazywa się krzywą na płaszczyźnie. Jeśli krzywą tą nazywa się krzywą zamkniętą, a jeśli ponadto jest ona różnowartościowa w przedziale nazywana jest ona krzywą Jordana. W praktyce krzywą Jordana nazywa się też obraz tej krzywej na płaszczyźnie i ten obiekt jest homeomorficzny z okręgiem. (pl)
  • Em topologia, o teorema da curva de Jordan afirma que uma curva fechada simples no plano divide-o em duas partes, ou seja, que o complementar da curva tem duas componentes conexas, uma das quais é limitada a outra ilimitada. Este teorema deve o seu nome a Camille Jordan, mas a primeira demonstração correcta deste resultado deve-se a Oswald Veblen, em 1905. (pt)
  • Jordans kurvsats är ett resultat inom topologin som informellt formulerat säger att varje kontinuerlig, sluten, kurva i planet som inte skär sig själv kommer dela planet i två delar, en inre region och en yttre. (sv)
  • 在拓扑学中,若尔当曲线(英語:Jordan curve)是平面上的非自交环路(又称为简单闭曲线,英語:simple closed curve)。若尔当曲线定理(英語:Jordan curve theorem)说明每一条若尔当曲线都把平面分成一个“内部”区域和一个“外部”区域,且任何从一个区域到另一个区域的道路都必然在某处与环路相交。它由奥斯瓦尔德·维布伦在1905年证明。 (zh)
  • En topologia, una corba de Jordan és un continu, que no s'interseca amb ell mateix, del pla; hom també en diu corba tancada simple. El teorema de la corba de Jordan afirma que tota corba de Jordan divideix el pla en una regió "interior" delimitada per la corba i una regió "exterior" que conté tots els punts exteriors a la corba, de tal manera que qualsevol continu que connecta un punt d'una regió amb un punt de l'altra s'interseca amb la corba en algun lloc. Encara que l'enunciat d'aquest teorema sembla obvi, la demostració no és pas tan senzilla. Les demostracions més robustes fan ús de les eines de topologia algebraica, i proporcionen generalitzacions a espais de més dimensions. (ca)
  • In topology, a Jordan curve, sometimes called a plane simple closed curve, is a non-self-intersecting continuous loop in the plane. The Jordan curve theorem asserts that every Jordan curve divides the plane into an "interior" region bounded by the curve and an "exterior" region containing all of the nearby and far away exterior points, so that every continuous path connecting a point of one region to a point of the other intersects with that loop somewhere. While the statement of this theorem seems to be intuitively obvious, it takes some ingenuity to prove it by elementary means. "Although the JCT is one of the best known topological theorems, there are many, even among professional mathematicians, who have never read a proof of it." (, Introduction)). More transparent proofs rely on the (en)
  • En mathématiques, le théorème de Jordan est un théorème de topologie plane. Il est célèbre par le caractère apparemment intuitif de son énoncé et la difficulté de sa démonstration. « En fait, il n'y a pratiquement aucun autre théorème qui apparaisse aussi évident en apparence que n'importe quel axiome de géométrie élémentaire et dont la démonstration est tout sauf évidente » précise M. Dostal à son sujet. (fr)
  • In topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een Jordan-kromme een niet-zelf-doorsnijdende continue lus in het vlak. De stelling van Jordan stelt dat elke Jordan-kromme het vlak verdeelt in een "inwendig gebied, dat begrensd wordt door de kromme en een "uitwendig" gebied dat alle verweggelegen punten bevat, zodanig dat ieder continu pad, dat een punt in het gebied verbindt met een punt in een ander gebied, deze lus ergens doorsnijdt. (nl)
  • У топології, Жорданова крива — це довільна замкнена без самоперетинів крива в площині, інакше відома як проста замкнена крива. Теорема Жордана стверджує, що кожна Жорданова крива ділить площину на дві області — внутрішню область обмежену кривою і зовнішню, що містить всі ближні і дальні зовнішні точки, причому будь-який шлях, який зв'язує точки з двох регіонів перетне цю криву в якійсь точці. Теорема названа на честь Каміля Жордана, який першим довів її. (uk)
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  • مبرهنة منحنى جوردان (ar)
  • Teorema de la corba de Jordan (ca)
  • Jordanscher Kurvensatz (de)
  • Jordan curve theorem (en)
  • Teorema de la curva de Jordan (es)
  • Théorème de Jordan (fr)
  • ジョルダン曲線定理 (ja)
  • Teorema della curva di Jordan (it)
  • 조르당 곡선 정리 (ko)
  • Krzywa Jordana (pl)
  • Stelling van Jordan (nl)
  • Teorema da curva de Jordan (pt)
  • Jordans kurvsats (sv)
  • Теорема Жордана (uk)
  • 若尔当曲线定理 (zh)
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