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- En matemàtiques, la successió d'hiperoperació és una successió infinita d'operacions aritmètiques (anomenades hiperoperacions en aquest context) que comença amb una operació unària (la amb n = 0). La successió continua amb les operacions binàries d'addició (n = 1), multiplicació (n = 2) i potenciació (n = 3). Després d'això, la successió continua amb altres operacions binàries que s'estenen més enllà de la potenciació, utilitzant l'. Per a les operacions més enllà de la potenciació, el n-èssim membre d'aquesta successió rep el nom creat per Reuben Goodstein, a partir del prefix grec de n i afegint el sufix -ció (com per exemple, (n = 4), pentació (n = 5), (n = 6) , etc.). Es pot entendre recursivament cada hiperoperació en termes de l'anterior per: i es pot escriure utilitzant n-2 fletxes de la . També es pot definir segons la regla de recursivitat de la definició en la versió de fletxa de Knuth de la funció d'Ackermann: o Es pot utilitzar per mostrar fàcilment nombres molt més grans dels que es poden representar amb una notació científica (com ara el nombre de Skewes i el googolplex). Per exemple, és molt més gran que el nombre de Skewes i el googolplex. Però hi ha alguns números que fins i tot no es poden mostrar fàcilment, com ara el i . Aquesta regla de recursió és comuna a moltes variants d'hiperoperacions. (ca)
- En matematiko, hiperoperatoro estas funkcio de tri argumentoj, aŭ familio de la hiper-n funkcioj de du argumentoj: (Vidu supren-sagan notacion de Knuth kaj ĉenitan sagan notacion de Conway.) (eo)
- Der Hyper-Operator ist eine Familie von mathematischen Operatoren. Konkret ist der erste Operator die einstellige Verknüpfung, dann kommt die Addition, die Multiplikation, die Potenzierung usw. Der Hyper-Operator dient zur kurzen Darstellung großer Zahlen wie Potenztürmen. Es gibt verschiedene Schreibweisen: (de)
- In mathematics, the hyperoperation sequence is an infinite sequence of arithmetic operations (called hyperoperations in this context) that starts with a unary operation (the successor function with n = 0). The sequence continues with the binary operations of addition (n = 1), multiplication (n = 2), and exponentiation (n = 3). After that, the sequence proceeds with further binary operations extending beyond exponentiation, using right-associativity. For the operations beyond exponentiation, the nth member of this sequence is named by Reuben Goodstein after the Greek prefix of n suffixed with -ation (such as tetration (n = 4), pentation (n = 5), hexation (n = 6), etc.) and can be written as using n − 2 arrows in Knuth's up-arrow notation.Each hyperoperation may be understood recursively in terms of the previous one by: It may also be defined according to the recursion rule part of the definition, as in Knuth's up-arrow version of the Ackermann function: This can be used to easily show numbers much larger than those which scientific notation can, such as Skewes's number and googolplexplex (e.g. is much larger than Skewes's number and googolplexplex), but there are some numbers which even they cannot easily show, such as Graham's number and TREE(3). This recursion rule is common to many variants of hyperoperations. (en)
- En matemáticas, la sucesión de hiperoperacioneses una sucesión infinita de operaciones aritméticas (llamadas hiperoperaciones) que se inicia con la operación unaria sucesor (n = 0), siguiendo con las operaciones binarias de adición (n = 1), multiplicación (n = 2), y potenciación (n = 3), después de lo cual la sucesión continúa con más operaciones binarias, que se extienden más allá de la potenciación, mediante la asociatividad por derecha. Para las operaciones más allá de la potenciación, el n-ésimo miembro de esta sucesión es nombrado por Rubén Goodstein después del prefijo griego de n con el sufijo -ción (como tetración (n = 4), pentación (n = 5), hexación (n = 6), etc.) y puede ser escrito mediante el uso de n − 2 flechas en la notación flecha de Knuth.Cada hiperoperación puede ser entendida de forma recursiva en términos de la anterior por: (m ≥ 0) Esto también puede ser definido de acuerdo a la regla de recursividad con parte de la definición, como en la versión flecha hacia arriba de Knuth de la función de Ackermann: (m ≥ -1) Esta puede ser usada fácilmente para mostrar números mucho más grandes que las que la notación científica puede, tales como el número de Skewes y el googolplex, pero hay algunos números que incluso ellos no pueden mostrar fácilmente, tales como el número de Graham y ÁRBOL(3). Esta repetición de la regla es común a muchas variantes de hiperoperaciones (ver ). (es)
- En mathématiques, les hyperopérations (ou hyperopérateurs) constituent une suite infinie d'opérations qui prolonge logiquement la suite des opérations arithmétiques élémentaires suivantes : 1.
* addition (n = 1) : 2.
* multiplication (n = 2) : 3.
* exponentiation (n = 3) : Reuben Goodstein proposa de baptiser les opérations au-delà de l'exponentiation en utilisant des préfixes grecs : tétration (n = 4), pentation (n = 5), hexation (n = 6), etc. L'hyperopération à l'ordre n peut se noter à l'aide d'une flèche de Knuth au rang n – 2. . La flêche de Knuth au rang m est définie récursivement par : et Elle peut aussi se définir à l'aide de la règle : . Chacune croît plus vite que la précédente. Des suites similaires ont historiquement porté diverses appellations, telles que la fonction d'Ackermann (à 3 arguments), la hiérarchie d'Ackermann, la hiérarchie de Grzegorczyk (plus générale), la version de Goodstein de la fonction d'Ackermann, hyper-n. (fr)
- ハイパー演算子（ハイパーえんざんし、hyper operator）は、加算、乗算、冪乗を一般化した演算のための演算子である。 (ja)
- 수학에서 하이퍼 연산 수열(Hyperoperation sequence)은 하이퍼 연산이라 불리는 덧셈, 곱셈, 거듭제곱으로 시작하는 이항연산 수열이다. 이 수열의 n번째 하이퍼 연산은 n의 그리스어 접두사에 접미사 -ation을 붙인 단어로 불리며, 커누스 윗화살표 표기법에서 (n-2)개의 화살표로 표기할 수 있다. (ko)
- Em matemática, a seqüencia de hiperoperações é uma seqüencia de operações binárias que iniciam com a adição, multiplicação e exponenciação, chamadas hiperoperações em geral. O n-ésimo membro desta seqüencia foi nomeado por seguindo o prefixo grego de n acrescido do sufixo -ção (como em tetração, ) e pode ser escrito usando setas na Notação de Knuth. Cada hiperoperação é definida recursivamente em termos da anterior, como é o caso com a notação de seta para cima de Knuth. A parte da definição que faz isso é a regra recursiva da função de Ackermann: que é comum a muitas variantes de hiperoperações (ver ). (pt)
- Гіпероператор — нескінченна послідовність арифметичних операцій, що починається з унарної операції наступний елемент, а далі бінарні операції додавання, множення, піднесення до степеня, тетрація, пентація, … Був запропонований англійським математиком . (uk)
- Гиперопера́тор — обобщение традиционных арифметических операций — сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, — на высшие порядки (тетрация, пентация и так далее). В силу некоммутативности (в общем случае) гипероператор имеет две обратные функции — гиперкорень и гиперлогарифм. Гиперкорень и гиперлогарифм сложения и умножения совпадают, образуя вычитание и деление соответственно, но уже для возведения в степень обратные функции становятся различными (корень и логарифм). Обратные операции обобщаются для гипероператора любого порядка. (ru)
- 超運算序列是数学中一种二元运算的序列，前三项分别为加法、乘法、幂，一般來說，除了序列中第一項的加法運算之外，序列中每一項的運算都是重複的前一項的運算（例如乘法是重複的加法：，冪是重複的乘法：）。这些运算通称为超运算（或稱為hyper運算符）。序列中的第n项称为超-n运算或第n級的超運算，其符號為[n]。英文則由命名，當n≥4時，由n的希腊语前缀加上后缀-ation组成（例如超-4运算称为tetration，超-5运算称为pentation）。當n≥3 時，使用高德纳箭号表示法可将超-n运算的符號表示为(n-2)个箭头。 超运算可通过递归进行定义，對於所有正整數a，正整數b和正整數n： 除这一最常见的定义之外，超运算还有其他的变体。（） (zh)
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- En matematiko, hiperoperatoro estas funkcio de tri argumentoj, aŭ familio de la hiper-n funkcioj de du argumentoj: (Vidu supren-sagan notacion de Knuth kaj ĉenitan sagan notacion de Conway.) (eo)
- Der Hyper-Operator ist eine Familie von mathematischen Operatoren. Konkret ist der erste Operator die einstellige Verknüpfung, dann kommt die Addition, die Multiplikation, die Potenzierung usw. Der Hyper-Operator dient zur kurzen Darstellung großer Zahlen wie Potenztürmen. Es gibt verschiedene Schreibweisen: (de)
- ハイパー演算子（ハイパーえんざんし、hyper operator）は、加算、乗算、冪乗を一般化した演算のための演算子である。 (ja)
- 수학에서 하이퍼 연산 수열(Hyperoperation sequence)은 하이퍼 연산이라 불리는 덧셈, 곱셈, 거듭제곱으로 시작하는 이항연산 수열이다. 이 수열의 n번째 하이퍼 연산은 n의 그리스어 접두사에 접미사 -ation을 붙인 단어로 불리며, 커누스 윗화살표 표기법에서 (n-2)개의 화살표로 표기할 수 있다. (ko)
- Гіпероператор — нескінченна послідовність арифметичних операцій, що починається з унарної операції наступний елемент, а далі бінарні операції додавання, множення, піднесення до степеня, тетрація, пентація, … Був запропонований англійським математиком . (uk)
- 超運算序列是数学中一种二元运算的序列，前三项分别为加法、乘法、幂，一般來說，除了序列中第一項的加法運算之外，序列中每一項的運算都是重複的前一項的運算（例如乘法是重複的加法：，冪是重複的乘法：）。这些运算通称为超运算（或稱為hyper運算符）。序列中的第n项称为超-n运算或第n級的超運算，其符號為[n]。英文則由命名，當n≥4時，由n的希腊语前缀加上后缀-ation组成（例如超-4运算称为tetration，超-5运算称为pentation）。當n≥3 時，使用高德纳箭号表示法可将超-n运算的符號表示为(n-2)个箭头。 超运算可通过递归进行定义，對於所有正整數a，正整數b和正整數n： 除这一最常见的定义之外，超运算还有其他的变体。（） (zh)
- En matemàtiques, la successió d'hiperoperació és una successió infinita d'operacions aritmètiques (anomenades hiperoperacions en aquest context) que comença amb una operació unària (la amb n = 0). La successió continua amb les operacions binàries d'addició (n = 1), multiplicació (n = 2) i potenciació (n = 3). Es pot entendre recursivament cada hiperoperació en termes de l'anterior per: i es pot escriure utilitzant n-2 fletxes de la . També es pot definir segons la regla de recursivitat de la definició en la versió de fletxa de Knuth de la funció d'Ackermann: o (ca)
- In mathematics, the hyperoperation sequence is an infinite sequence of arithmetic operations (called hyperoperations in this context) that starts with a unary operation (the successor function with n = 0). The sequence continues with the binary operations of addition (n = 1), multiplication (n = 2), and exponentiation (n = 3). It may also be defined according to the recursion rule part of the definition, as in Knuth's up-arrow version of the Ackermann function: This recursion rule is common to many variants of hyperoperations. (en)
- En matemáticas, la sucesión de hiperoperacioneses una sucesión infinita de operaciones aritméticas (llamadas hiperoperaciones) que se inicia con la operación unaria sucesor (n = 0), siguiendo con las operaciones binarias de adición (n = 1), multiplicación (n = 2), y potenciación (n = 3), después de lo cual la sucesión continúa con más operaciones binarias, que se extienden más allá de la potenciación, mediante la asociatividad por derecha. Para las operaciones más allá de la potenciación, el n-ésimo miembro de esta sucesión es nombrado por Rubén Goodstein después del prefijo griego de n con el sufijo -ción (como tetración (n = 4), pentación (n = 5), hexación (n = 6), etc.) y puede ser escrito mediante el uso de n − 2 flechas en la notación flecha de Knuth.Cada hiperoperación puede ser (es)
- En mathématiques, les hyperopérations (ou hyperopérateurs) constituent une suite infinie d'opérations qui prolonge logiquement la suite des opérations arithmétiques élémentaires suivantes : 1.
* addition (n = 1) : 2.
* multiplication (n = 2) : 3.
* exponentiation (n = 3) : Reuben Goodstein proposa de baptiser les opérations au-delà de l'exponentiation en utilisant des préfixes grecs : tétration (n = 4), pentation (n = 5), hexation (n = 6), etc. L'hyperopération à l'ordre n peut se noter à l'aide d'une flèche de Knuth au rang n – 2. . (fr)
- Em matemática, a seqüencia de hiperoperações é uma seqüencia de operações binárias que iniciam com a adição, multiplicação e exponenciação, chamadas hiperoperações em geral. O n-ésimo membro desta seqüencia foi nomeado por seguindo o prefixo grego de n acrescido do sufixo -ção (como em tetração, ) e pode ser escrito usando setas na Notação de Knuth. Cada hiperoperação é definida recursivamente em termos da anterior, como é o caso com a notação de seta para cima de Knuth. A parte da definição que faz isso é a regra recursiva da função de Ackermann: (pt)
- Гиперопера́тор — обобщение традиционных арифметических операций — сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, — на высшие порядки (тетрация, пентация и так далее). (ru)
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