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- In geometry, the Beckman–Quarles theorem, named after Frank S. Beckman and Donald A. Quarles Jr., states that if a transformation of the Euclidean plane or a higher-dimensional Euclidean space preserves unit distances, then it preserves all Euclidean distances. Equivalently, every homomorphism from the unit distance graph of the plane to itself must be an isometry of the plane.Beckman and Quarles published this result in 1953; it was later rediscovered by other authors, and re-proved in multiple ways. Analogous theorems for rational subsets of Euclidean spaces, or for non-Euclidean geometry, are also known. (en)
- Der Satz von Beckman und Quarles ist ein Satz über geometrische Transformationen. Er wurde im Jahr 1953 von und erstmals publiziert und unabhängig davon von mehreren anderen Autoren bewiesen. Der Satz besagt, dass eine beliebige Selbstabbildung des n-dimensionalen euklidischen Raumes, die sämtliche Punktpaare mit Abstand 1 in ebensolche überführt, bereits eine Isometrie ist, also sämtliche Abstände unverändert lässt. Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass jeder Automorphismus des Einheitsdistanz-Graphen eine Isometrie ist. (de)
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- In geometry, the Beckman–Quarles theorem, named after Frank S. Beckman and Donald A. Quarles Jr., states that if a transformation of the Euclidean plane or a higher-dimensional Euclidean space preserves unit distances, then it preserves all Euclidean distances. Equivalently, every homomorphism from the unit distance graph of the plane to itself must be an isometry of the plane.Beckman and Quarles published this result in 1953; it was later rediscovered by other authors, and re-proved in multiple ways. Analogous theorems for rational subsets of Euclidean spaces, or for non-Euclidean geometry, are also known. (en)
- Der Satz von Beckman und Quarles ist ein Satz über geometrische Transformationen. Er wurde im Jahr 1953 von und erstmals publiziert und unabhängig davon von mehreren anderen Autoren bewiesen. Der Satz besagt, dass eine beliebige Selbstabbildung des n-dimensionalen euklidischen Raumes, die sämtliche Punktpaare mit Abstand 1 in ebensolche überführt, bereits eine Isometrie ist, also sämtliche Abstände unverändert lässt. Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass jeder Automorphismus des Einheitsdistanz-Graphen eine Isometrie ist. (de)
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- Satz von Beckman und Quarles (de)
- Beckman–Quarles theorem (en)
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