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| - ウィグナー＝エッカルトの定理（ウィグナー＝エッカルトのていり、英語: Wigner–Eckart theorem）とは、量子力学において、角運動量の固有状態に対する球面テンソル演算子の行列要素が、次のように物理的因子と幾何学的因子に分離できることをいう。 ここでは全角運動量量子数、は全角運動量のz成分の量子数、はそれ以外の量子数である。 は換算行列要素と呼ばれ、の固有値に依存せず、座標軸の取り方などにも依らない。球面テンソルの物理的な情報はすべてこの中に含まれる。 はクレブシュ-ゴルダン係数で、幾何学的な情報はこの中に含まれる。 換算行列要素の定義は様々である。 (ja)
- 양자역학에서 위그너-에카르트 정리(Wigner–Eckart theorem)는 텐서 연산자의 행렬 원소에 대한 정리다. 유진 위그너와 칼 에카트(영어: Carl Eckart) 가 증명하였다. (ko)
- 維格納-埃卡特定理（英語：Wigner–Eckart theorem）為量子力學中表示論的一個定理。這個定理說明，在角動量本徵態的基底下，（spherical tensor）算符的矩陣元素可以寫作兩個部分的乘積。一部分與角動量無關，而另一部分為Clebsch-Gordan係數。這個定理的名稱來自發展這些計算推導的兩位物理學家：尤金·維格納和。他們將薛丁格方程式中的對稱群與能量、動量、角動量的守恆用數學公式連結起來。 維格納-埃卡特定理如下： 當中 是一個 階的球張量， 和 為總角動量與 z-方向角動量的本徵態。 代表一個與量子數 、無關的值。 為Clebsch-Gordan係數。 (zh)
- Das Wigner-Eckart-Theorem (nach Eugene Paul Wigner und Carl Henry Eckart) ist ein Hilfsmittel für die Berechnung der Matrixelemente eines Tensoroperators, wenn dessen Symmetrieeigenschaften bekannt sind. Für die definierenden Transformationseigenschaften eines Tensoroperators gilt: wobei
* die unitäre Gruppentransformationsmatrix und
* eine irreduzible Darstellung dieser Gruppe in der Basis ist. Theorem: Das Matrixelement eines sphärischen Tensoroperators, ausgedrückt in den Eigenzuständen des Drehimpulsoperators, erfüllt folgende Gleichung: Hierbei ist (de)
- Le théorème de Wigner-Eckart est un théorème de la théorie de la représentation fort utile en mécanique quantique. Ce théorème permet d'exprimer les éléments de matrice d'un opérateur tensoriel sphérique sur une base d'états propres d'harmoniques sphériques en termes du produit de deux termes : un coefficient de Clebsch-Gordan et un autre terme indépendant de l'orientation du moment angulaire. Le théorème a la formulation suivante : où Ce théorème est particulièrement utile car son utilisation permet d'identifier rapidement des éléments de matrice qui s'annulent. (fr)
- The Wigner–Eckart theorem is a theorem of representation theory and quantum mechanics. It states that matrix elements of spherical tensor operators in the basis of angular momentum eigenstates can be expressed as the product of two factors, one of which is independent of angular momentum orientation, and the other a Clebsch–Gordan coefficient. The name derives from physicists Eugene Wigner and Carl Eckart, who developed the formalism as a link between the symmetry transformation groups of space (applied to the Schrödinger equations) and the laws of conservation of energy, momentum, and angular momentum. (en)
- Il teorema di Wigner-Eckart è un importante teorema della meccanica quantistica che permette di semplificare il calcolo degli elementi di matrice di un tensore sferico. Sia la componente q-esima di un tensore sferico di rango k, un insieme completo di osservabili che commutano e una base di autostati simultanei delle stesse. Allora: di conseguenza otteniamo le regole di selezione j=j' e m=m' (per avere un elemento di matrice non nullo).Nel caso in cui k=1, cioè il tensore sferico è un operatore vettoriale, si ottiene da cui seguono le regole di selezione e ∈ j ⊗ 1. (it)
- Теорема Вигнера — Эккарта — теорема из теории представлений и квантовой механики. В ней говорится, что матричный элемент в базисе собственных функций оператора углового момента может быть представлен в виде произведения двух величин, одна из которых не зависит от проекций углового момента, а другая является коэффициентом Клебша — Гордана. Название теоремы образовано от имён Юджина Вигнера и Карла Эккарта, которые разработали конструкцию, связывающий симметрию преобразования групп пространства с законами сохранения энергии, импульса и момента импульса. (ru)
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| - Das Wigner-Eckart-Theorem (nach Eugene Paul Wigner und Carl Henry Eckart) ist ein Hilfsmittel für die Berechnung der Matrixelemente eines Tensoroperators, wenn dessen Symmetrieeigenschaften bekannt sind. Für die definierenden Transformationseigenschaften eines Tensoroperators gilt: wobei
* die unitäre Gruppentransformationsmatrix und
* eine irreduzible Darstellung dieser Gruppe in der Basis ist. Theorem: Das Matrixelement eines sphärischen Tensoroperators, ausgedrückt in den Eigenzuständen des Drehimpulsoperators, erfüllt folgende Gleichung: Hierbei ist
* ein Tensor des Rangs k
* j der Gesamtdrehimpuls
* m die zugehörige magnetische Quantenzahl
* alle weiteren zur Beschreibung des Systems nötigen Quantenzahlen des Zustandes. Für Rotationssymmetrie sind die Clebsch-Gordan-Koeffizienten zur Addition von zwei Drehimpulsen und und den jeweiligen z-Komponenten bzw. zum Drehimpuls mit z-Komponente . Der von m und m‘ sowie q unabhängige Faktor wird als reduziertes Matrixelement bezeichnet, gekennzeichnet durch die 2 Striche beiderseits von . Darin besteht auch der Vorzug, denn dieses von m und m‘ unabhängige Matrixelement wird nur ein Mal berechnet, ist dann für alle anderen Matrixelemente gleich und ermöglicht somit eine einfache Berechnung beliebiger Matrixelemente. (de)
- Le théorème de Wigner-Eckart est un théorème de la théorie de la représentation fort utile en mécanique quantique. Ce théorème permet d'exprimer les éléments de matrice d'un opérateur tensoriel sphérique sur une base d'états propres d'harmoniques sphériques en termes du produit de deux termes : un coefficient de Clebsch-Gordan et un autre terme indépendant de l'orientation du moment angulaire. Le théorème a la formulation suivante : Soit un opérateur tensoriel . Alors, pour deux états de moment angulaire et , il existe une constante telle que, pour tout , et q, la relation suivante soit vérifiée : où
* est la q-ième composante de l'opérateur tensoriel sphérique de rang k,
* est un état propre de moment angulaire total J2 et sa composante Jz,
* est le coefficient de Clebsch-Gordan du recouplement de j′ avec k pour obtenir j, et
* est une constante qui ne dépend pas de m, m′, ou q et qui est appelée élément de matrice réduit. Ce théorème est particulièrement utile car son utilisation permet d'identifier rapidement des éléments de matrice qui s'annulent. (fr)
- ウィグナー＝エッカルトの定理（ウィグナー＝エッカルトのていり、英語: Wigner–Eckart theorem）とは、量子力学において、角運動量の固有状態に対する球面テンソル演算子の行列要素が、次のように物理的因子と幾何学的因子に分離できることをいう。 ここでは全角運動量量子数、は全角運動量のz成分の量子数、はそれ以外の量子数である。 は換算行列要素と呼ばれ、の固有値に依存せず、座標軸の取り方などにも依らない。球面テンソルの物理的な情報はすべてこの中に含まれる。 はクレブシュ-ゴルダン係数で、幾何学的な情報はこの中に含まれる。 換算行列要素の定義は様々である。 (ja)
- The Wigner–Eckart theorem is a theorem of representation theory and quantum mechanics. It states that matrix elements of spherical tensor operators in the basis of angular momentum eigenstates can be expressed as the product of two factors, one of which is independent of angular momentum orientation, and the other a Clebsch–Gordan coefficient. The name derives from physicists Eugene Wigner and Carl Eckart, who developed the formalism as a link between the symmetry transformation groups of space (applied to the Schrödinger equations) and the laws of conservation of energy, momentum, and angular momentum. Mathematically, the Wigner–Eckart theorem is generally stated in the following way. Given a tensor operator and two states of angular momenta and , there exists a constant such that for all , , and , the following equation is satisfied: where
* is the q-th component of the spherical tensor operator of rank k,
* denotes an eigenstate of total angular momentum J2 and its z component Jz,
* is the Clebsch–Gordan coefficient for coupling j′ with k to get j,
* denotes some value that does not depend on m, m′, nor q and is referred to as the reduced matrix element. The Wigner–Eckart theorem states indeed that operating with a spherical tensor operator of rank k on an angular momentum eigenstate is like adding a state with angular momentum k to the state. The matrix element one finds for the spherical tensor operator is proportional to a Clebsch–Gordan coefficient, which arises when considering adding two angular momenta. When stated another way, one can say that the Wigner–Eckart theorem is a theorem that tells how vector operators behave in a subspace. Within a given subspace, a component of a vector operator will behave in a way proportional to the same component of the angular momentum operator. This definition is given in the book Quantum Mechanics by Cohen–Tannoudji, Diu and Laloe. (en)
- 양자역학에서 위그너-에카르트 정리(Wigner–Eckart theorem)는 텐서 연산자의 행렬 원소에 대한 정리다. 유진 위그너와 칼 에카트(영어: Carl Eckart) 가 증명하였다. (ko)
- Il teorema di Wigner-Eckart è un importante teorema della meccanica quantistica che permette di semplificare il calcolo degli elementi di matrice di un tensore sferico. Sia la componente q-esima di un tensore sferico di rango k, un insieme completo di osservabili che commutano e una base di autostati simultanei delle stesse. Allora: Il primo termine al secondo membro è un coefficiente di Clebsch-Gordan corrispondente alla composizione di due momenti angolari j e k con terza componente m e q rispettivamente. Il secondo termine è detto ridotto e non dipende da m, m' e q. Nel caso in cui abbiamo k=0, cioè il tensore sferico è uno scalare, allora di conseguenza otteniamo le regole di selezione j=j' e m=m' (per avere un elemento di matrice non nullo).Nel caso in cui k=1, cioè il tensore sferico è un operatore vettoriale, si ottiene da cui seguono le regole di selezione e ∈ j ⊗ 1. Dal teorema di Wigner-Eckart, nel caso e , segue facilmente un ulteriore importante teorema, il teorema di proiezione: (it)
- Теорема Вигнера — Эккарта — теорема из теории представлений и квантовой механики. В ней говорится, что матричный элемент в базисе собственных функций оператора углового момента может быть представлен в виде произведения двух величин, одна из которых не зависит от проекций углового момента, а другая является коэффициентом Клебша — Гордана. Название теоремы образовано от имён Юджина Вигнера и Карла Эккарта, которые разработали конструкцию, связывающий симметрию преобразования групп пространства с законами сохранения энергии, импульса и момента импульса. Теорема Вигнера — Эккарта формулируется так: где — ранга , и суть собственные функции полного углового момента и его z-компоненты , не зависит от и , и — коэффициенты Клебша — Гордана сложения и для получения . Как следствие, Теорема Вигнера — Эккарта говорит нам, что действие сферического тензорного оператора ранга на собственную функцию углового момента есть то же самое, что добавление состояния с угловым моментом к исходному состоянию. Матричные элементы, находимые для сферического тензорного оператора, пропорциональны коэффициентам Клебша — Гордана, которые возникают при сложении двух угловых моментов. (ru)
- 維格納-埃卡特定理（英語：Wigner–Eckart theorem）為量子力學中表示論的一個定理。這個定理說明，在角動量本徵態的基底下，（spherical tensor）算符的矩陣元素可以寫作兩個部分的乘積。一部分與角動量無關，而另一部分為Clebsch-Gordan係數。這個定理的名稱來自發展這些計算推導的兩位物理學家：尤金·維格納和。他們將薛丁格方程式中的對稱群與能量、動量、角動量的守恆用數學公式連結起來。 維格納-埃卡特定理如下： 當中 是一個 階的球張量， 和 為總角動量與 z-方向角動量的本徵態。 代表一個與量子數 、無關的值。 為Clebsch-Gordan係數。 (zh)
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