In differential geometry, the Tait–Kneser theorem states that, if a smooth plane curve has monotonic curvature, then the osculating circles of the curve are disjoint and nested within each other.The logarithmic spiral or the pictured Archimedean spiral provide examples of curves whose curvature is monotonic for the entire curve. This monotonicity cannot happen for a simple closed curve (by the four-vertex theorem, there are at least four vertices where the curvature reaches an extreme point) but for such curves the theorem can be applied to the arcs of the curves between its vertices.
| Attributes | Values |
|---|
| rdfs:label
| - Tait–Kneser theorem (en)
- Теорема Тэйта — Кнезера (ru)
|
| rdfs:comment
| - In differential geometry, the Tait–Kneser theorem states that, if a smooth plane curve has monotonic curvature, then the osculating circles of the curve are disjoint and nested within each other.The logarithmic spiral or the pictured Archimedean spiral provide examples of curves whose curvature is monotonic for the entire curve. This monotonicity cannot happen for a simple closed curve (by the four-vertex theorem, there are at least four vertices where the curvature reaches an extreme point) but for such curves the theorem can be applied to the arcs of the curves between its vertices. (en)
- Теорема Тэйта — Кнезера о спирале утверждает, что, если кривизна гладкой плоской кривой монотонна, то соприкасающиеся окружности этой кривой вложены друг в друга.В частности, они не пересекаются; отсюда следует, что кривая не имеет самопересечений. Логарифмическая спираль, а также архимедова спираль — примеры кривых с монотонной кривизной. Теорема названа по имени Питера Тэйта, который доказал её в 1896 году, и Адольфа Кнезера, который переоткрыл её в 1912 году. (ru)
|
| foaf:depiction
| |
| dcterms:subject
| |
| Wikipage page ID
| |
| Wikipage revision ID
| |
| Link from a Wikipage to another Wikipage
| |
| sameAs
| |
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| thumbnail
| |
| has abstract
| - In differential geometry, the Tait–Kneser theorem states that, if a smooth plane curve has monotonic curvature, then the osculating circles of the curve are disjoint and nested within each other.The logarithmic spiral or the pictured Archimedean spiral provide examples of curves whose curvature is monotonic for the entire curve. This monotonicity cannot happen for a simple closed curve (by the four-vertex theorem, there are at least four vertices where the curvature reaches an extreme point) but for such curves the theorem can be applied to the arcs of the curves between its vertices. The theorem is named after Peter Tait, who published it in 1896, and Adolf Kneser, who rediscovered it and published it in 1912. Tait's proof follows simply from the properties of the evolute, the curve traced out by the centers of osculating circles.For curves with monotone curvature, the arc length along the evolute between two centers equals the difference in radii of the corresponding circles.This arc length must be greater than the straight-line distance between the same two centers, so the two circles have centers closer together than the difference of their radii, from which the theorem follows. Analogous disjointness theorems can be proved for the family of Taylor polynomials of a given smooth function, and for the osculating conics to a given smooth curve. (en)
- Теорема Тэйта — Кнезера о спирале утверждает, что, если кривизна гладкой плоской кривой монотонна, то соприкасающиеся окружности этой кривой вложены друг в друга.В частности, они не пересекаются; отсюда следует, что кривая не имеет самопересечений. Логарифмическая спираль, а также архимедова спираль — примеры кривых с монотонной кривизной. Теорема названа по имени Питера Тэйта, который доказал её в 1896 году, и Адольфа Кнезера, который переоткрыл её в 1912 году. Доказательство строится на свойствах эволюты кривой.Для кривых с монотонной кривизной длина дуги эволюты между двумя центрами кривизны равна разности соответствующих радиусов кривизны.Эта длина дуги должна быть больше, чем расстояние по прямой между теми же двумя центрами, поэтому соприкасающиеся окружности имеют центры ближе друг к другу, чем разность их радиусов, из чего следует утверждение теоремы. (ru)
|
| prov:wasDerivedFrom
| |
| page length (characters) of wiki page
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is Link from a Wikipage to another Wikipage
of | |
| is Wikipage redirect
of | |
| is known for
of | |
| is known for
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)
