In mathematics, the pin group is a certain subgroup of the Clifford algebra associated to a quadratic space. It maps 2-to-1 to the orthogonal group, just as the spin group maps 2-to-1 to the special orthogonal group. In general the map from the Pin group to the orthogonal group is not surjective or a universal covering space, but if the quadratic form is definite (and dimension is greater than 2), it is both. The non-trivial element of the kernel is denoted which should not be confused with the orthogonal transform of reflection through the origin, generally denoted
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| rdfs:label
| - ピン群 (ja)
- Pin group (en)
- Pin群 (zh)
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| rdfs:comment
| - In mathematics, the pin group is a certain subgroup of the Clifford algebra associated to a quadratic space. It maps 2-to-1 to the orthogonal group, just as the spin group maps 2-to-1 to the special orthogonal group. In general the map from the Pin group to the orthogonal group is not surjective or a universal covering space, but if the quadratic form is definite (and dimension is greater than 2), it is both. The non-trivial element of the kernel is denoted which should not be confused with the orthogonal transform of reflection through the origin, generally denoted (en)
- 特殊直交群 SO(n) が二重被覆としてスピノル群 Spin(n) を持つ様に、直交群 O(n) は 2 つの同型でない被覆群 Pin+(n) と Pin−(n) を有する。この両者は、ピン群（ピンぐん、英：Pin group）と呼ばれる。（この名前は、セールの「spin が SO(n) に対応するように、pin は O(n) に対応する」という「冗談」に由来する。）この様な奇妙な状況は、O(n) が（SO(n) と異なり）連結でないことによる（その 2 つの連結成分は、行列式がそれぞれ +1 と −1 の行列の集合である）。 O(n) と SO(n) では、2π の回転は恒等写像だが、ピン群では、Spin(n) と同様、4π の回転が恒等写像になるものの、2π の回転では恒等写像にならない。 Pin+(n) においては、折り返しを 2 度繰り返すと、恒等写像になる。 Pin−(n) においては、折り返しを 2 度繰り返すと、2π の回転になる。 p ≠ q のとき、Spin(p,q) には 8 個もの異なる二重被覆がある。このうち 2 つのみがピン群として取り上げられるが、これはクリフォード多元環を表現とすることができることに由来する。これらは夫々、Pin(p,q)、 Pin(q,p) と呼ばれる。 (ja)
- 数学中，Pin 群是一个二次型空间相伴的克利福德代数的一个子群。它有一个到正交群的 2 对 1 映射，就像 Spin 群映到特殊正交群一样。 从 Pin 群到正交群的映射不是满的也不是万有覆叠空间，但对定二次型，两者都正确。 (zh)
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| - In mathematics, the pin group is a certain subgroup of the Clifford algebra associated to a quadratic space. It maps 2-to-1 to the orthogonal group, just as the spin group maps 2-to-1 to the special orthogonal group. In general the map from the Pin group to the orthogonal group is not surjective or a universal covering space, but if the quadratic form is definite (and dimension is greater than 2), it is both. The non-trivial element of the kernel is denoted which should not be confused with the orthogonal transform of reflection through the origin, generally denoted (en)
- 特殊直交群 SO(n) が二重被覆としてスピノル群 Spin(n) を持つ様に、直交群 O(n) は 2 つの同型でない被覆群 Pin+(n) と Pin−(n) を有する。この両者は、ピン群（ピンぐん、英：Pin group）と呼ばれる。（この名前は、セールの「spin が SO(n) に対応するように、pin は O(n) に対応する」という「冗談」に由来する。）この様な奇妙な状況は、O(n) が（SO(n) と異なり）連結でないことによる（その 2 つの連結成分は、行列式がそれぞれ +1 と −1 の行列の集合である）。 O(n) と SO(n) では、2π の回転は恒等写像だが、ピン群では、Spin(n) と同様、4π の回転が恒等写像になるものの、2π の回転では恒等写像にならない。 Pin+(n) においては、折り返しを 2 度繰り返すと、恒等写像になる。 Pin−(n) においては、折り返しを 2 度繰り返すと、2π の回転になる。 p ≠ q のとき、Spin(p,q) には 8 個もの異なる二重被覆がある。このうち 2 つのみがピン群として取り上げられるが、これはクリフォード多元環を表現とすることができることに由来する。これらは夫々、Pin(p,q)、 Pin(q,p) と呼ばれる。 (ja)
- 数学中，Pin 群是一个二次型空间相伴的克利福德代数的一个子群。它有一个到正交群的 2 对 1 映射，就像 Spin 群映到特殊正交群一样。 从 Pin 群到正交群的映射不是满的也不是万有覆叠空间，但对定二次型，两者都正确。 (zh)
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