About: Invariants of tensors

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In mathematics, in the fields of multilinear algebra and representation theory, the principal invariants of the second rank tensor are the coefficients of the characteristic polynomial , where is the identity operator and represent the polynomial's eigenvalues.

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Link from a Wikipage to another Wikipage	Strain energy density function Representation theory Howard P. Robertson Characteristic polynomial Kármán–Howarth equation Mathematics Eigenvalues and eigenvectors Elementary symmetric polynomial George Batchelor Invariant theory Multilinear algebra Newton's identities Subrahmanyan Chandrasekhar Helmholtz free energy Cayley–Hamilton theorem Turbulence Walter Noll Linear algebra Faddeev–LeVerrier algorithm David Hilbert Tensor Tensors Symmetric polynomial Positive definite Application of tensor theory in engineering science Finite strain theory
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has abstract	Die Hauptinvarianten eines Tensors sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms. Die Komponenten eines Tensors referenzieren auf Dyaden von Vektoren, die sich ihrerseits komponentenweise bezüglich einer Vektorraumbasis darstellen lassen. Bei einem Wechsel der Basis ändern sich die Komponenten der Vektoren in charakteristischer Weise, nicht aber die Beträge der Vektoren. Der Betrag eines Vektors ist also invariant gegenüber einem Wechsel der Basis. In gleicher Weise sind die Hauptinvarianten des Tensors invariant gegenüber einem Wechsel der Basis, daher der Name. Die Hauptinvarianten symmetrischer Tensoren spielen eine zentrale Rolle in der Materialtheorie. Eine wichtige Anforderung an Materialmodelle leitet sich daraus ab, dass ein bewegter Beobachter immer dasselbe Materialverhalten misst wie ein ruhender. Diese Eigenschaft wird materielle Objektivität genannt. Die Bewegung eines Beobachters wird mathematisch als Wechsel des Bezugssystems und somit als Wechsel der Vektorraumbasis beschrieben. Die Hauptinvarianten sind also Größen, die alle Beobachter in gleicher Weise wahrnehmen und die daher für die Materialmodellierung geeignet sind. Beispiele für Materialmodelle, die die Hauptinvarianten benutzen, sind das Hooke'sche Gesetz, die Hyperelastizität und Plastizitätstheorie. Die Darstellung erfolgt in drei Dimensionen für Tensoren zweiter Stufe, lässt sich aber in einfacher Weise auf mehr Dimensionen verallgemeinern. (de) In mathematics, in the fields of multilinear algebra and representation theory, the principal invariants of the second rank tensor are the coefficients of the characteristic polynomial , where is the identity operator and represent the polynomial's eigenvalues. More broadly, any scalar-valued function is an invariant of if and only if for all orthogonal . This means that a formula expressing an invariant in terms of components, , will give the same result for all Cartesian bases. For example, even though individual diagonal components of will change with a change in basis, the sum of diagonal components will not change. (en)
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