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A catenoid is a type of surface, arising by rotating a catenary curve about an axis. It is a minimal surface, meaning that it occupies the least area when bounded by a closed space. It was formally described in 1744 by the mathematician Leonhard Euler. Soap film attached to twin circular rings will take the shape of a catenoid. Because they are members of the same associate family of surfaces, a catenoid can be bent into a portion of a helicoid, and vice versa.

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  • Catenoid
  • Catenoide
  • Caténoïde
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  • Катеноид
  • Катеноїд
  • 懸鏈曲面
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  • A catenoid is a type of surface, arising by rotating a catenary curve about an axis. It is a minimal surface, meaning that it occupies the least area when bounded by a closed space. It was formally described in 1744 by the mathematician Leonhard Euler. Soap film attached to twin circular rings will take the shape of a catenoid. Because they are members of the same associate family of surfaces, a catenoid can be bent into a portion of a helicoid, and vice versa.
  • La catenoide, in geometria, è una superficie di rotazione, che viene ottenuta ruotando una particolare curva piana, detta catenaria, intorno all'asse X. È una superficie minima, ed è stata scoperta da Eulero nel 1744. Si può costruire facilmente un modello materiale di catenoide: basta immergere due cerchi in una soluzione di sapone e la forma che assume la superficie della bolla che li congiunge è una catenoide. Ciò avviene a causa delle forze di tensione superficiale.
  • Katenoida - powierzchnia obrotowa utworzona przez obrót linii łańcuchowej dookoła osi odciętych. Jest ona zadana przez równania parametryczne: gdzie W 1744 Leonhard Euler odkrył, że katenoida ma najmniejsze pole wśród powierzchni rozpiętych na dwóch zadanych okręgach.
  • Een catenoïde is een drie-dimensionale , die wordt geconstrueerd door het roteren van een kettinglijn-kromme rond de -as. Het vlak niet meegerekend is de catenoïde het eerste minimaaloppervlak, dat werd ontdekt. De catenoïde werd in 1744 gevonden door Leonhard Euler. Deze Zwitserse wiskundige bewees ook dat de catenoïde een minimaaloppervlak is. Vroeg werk over dit onderwerp werd in 1776 gepubliceerd door . Er zijn slechts twee omwentelingsvlakken, die ook minimaaloppervlakken zijn: het vlak en de catenoïde.
  • Катеноид — минимальная поверхность, образуемая вращением цепной линии. вокруг оси .
  • 懸鏈曲面(又名懸垂曲面)是一个曲面,是將懸鏈線繞其準線旋轉而得(見右側動畫),故為一旋轉曲面。除了平面以外,懸鏈曲面也是第一個被发现的极小曲面,在1744年被萊昂哈德·歐拉发现且證明。Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。只有兩個曲面既為旋轉曲面又是最小曲面,即為平面與懸鏈曲面。懸鏈曲面可被以下參數式所定義: 其中,且為非零實數。在圓柱座標系則有: 其中為實數。 把兩個圓形浸泡於一肥皂溶液裏,再緩慢地把那兩個圓形分隔開,就可以製作出一個懸鏈曲面的物理模型。
  • Una catenoide es un tipo de superficie que se obtiene por rotación de una catenaria alrededor de un eje coplanario, perpendicular al eje de simetría y que no la corte.​ Es una superficie minimal,​ lo que significa que ocupa el área mínima cuando está delimitada por un espacio cerrado. Fue descrita formalmente en 1744 por el matemático Leonhard Euler.
  • Katenoid adalah jenis permukaan, yang muncul dengan memutar kurva pada bagian porosnya. Ini merupakan suatu , artinya katenoid menempati bidang paling sedikit ketika dibatasi oleh ruang tertutup. Secara formal dijelaskan oleh ahli matematika Leonhard Euler pada tahun 1744. Balon sabun yang melekat pada sepasang cincin bundar kembar akan membentuk sebuah katenoid. Karena mereka adalah anggota (atau keluarga Bonnet) dari permukaan yang sama, katenoid dapat ditekuk menjadi bagian dari helikoid dan sebaliknya.
  • La caténoïde (prononciation : /ka.te.nɔ.id/ ) (du latin catena, « chaîne ») est une surface minimale entre deux cercles. Dans le cas où ces deux cercles sont coaxiaux, c'est aussi la figure obtenue par révolution d'une chaînette autour de l'axe des abscisses. C'est, avec le plan, la seule surface minimale de révolution. Elle fut découverte par Leonhard Euler en 1744. Elle a pour équations paramétriques : où cosh représente la fonction cosinus hyperbolique. * Portail de la géométrie
  • Uma catenóide caracteriza-se por ser a superfície de mínima área gerada pela revolução de uma catenária em torno de um eixo adequado, nomeadamente sua diretriz . Surge, a exemplo, em várias ocasiões quando está-se a brincar com películas à base de água e sabão. Um fenômeno físico denominado tensão superficial faz com que tais películas portem-se como superfícies elásticas, e por tal assumam formas que correspondem às formas de menor área possível entre todas as que satisfazem as condições de contorno impostas.
  • Катено́їд — поверхня, яка утворюється обертанням ланцюгової лінії навколо осі . Слово катеноїд утворено від латинського catena — ланцюг і грецького éidos — вид. Параметричне рівняння катеноїда: Якщо відкинути площину, то катеноїд — перша відкрита мінімальна поверхня. В 1744 році Леонард Ейлер знайшов рівняння катеноїда та довів, що ця поверхня буде мінімальною. Існує всього дві мінімальні поверхні обертання — площина та катеноїд. Форми катеноїда набуває мильна плівка, натягнута на два дротяних кола, площини яких перпендикулярні лінії, що з'єднує їх центри.
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  • A catenoid is a type of surface, arising by rotating a catenary curve about an axis. It is a minimal surface, meaning that it occupies the least area when bounded by a closed space. It was formally described in 1744 by the mathematician Leonhard Euler. Soap film attached to twin circular rings will take the shape of a catenoid. Because they are members of the same associate family of surfaces, a catenoid can be bent into a portion of a helicoid, and vice versa.
  • La caténoïde (prononciation : /ka.te.nɔ.id/ ) (du latin catena, « chaîne ») est une surface minimale entre deux cercles. Dans le cas où ces deux cercles sont coaxiaux, c'est aussi la figure obtenue par révolution d'une chaînette autour de l'axe des abscisses. C'est, avec le plan, la seule surface minimale de révolution. Elle fut découverte par Leonhard Euler en 1744. Elle a pour équations paramétriques : où cosh représente la fonction cosinus hyperbolique. Il suffit, pour obtenir une représentation matérielle d'une caténoïde, de tremper deux cercles accolés dans de l'eau savonneuse, puis de percer la bulle centrale avant d'écarter lentement les deux cercles. Le film de savon qui se forme sur cette armature est une caténoïde. * Portail de la géométrie
  • Una catenoide es un tipo de superficie que se obtiene por rotación de una catenaria alrededor de un eje coplanario, perpendicular al eje de simetría y que no la corte.​ Es una superficie minimal,​ lo que significa que ocupa el área mínima cuando está delimitada por un espacio cerrado. Fue descrita formalmente en 1744 por el matemático Leonhard Euler. Una película de jabón unida a anillos circulares gemelos, a causa de la tensión superficial, tomará la forma de una catenoide.​ Debido a que son miembros de la misma de superficies, una catenoide se puede doblar en una porción de un helicoide y viceversa.
  • Katenoid adalah jenis permukaan, yang muncul dengan memutar kurva pada bagian porosnya. Ini merupakan suatu , artinya katenoid menempati bidang paling sedikit ketika dibatasi oleh ruang tertutup. Secara formal dijelaskan oleh ahli matematika Leonhard Euler pada tahun 1744. Balon sabun yang melekat pada sepasang cincin bundar kembar akan membentuk sebuah katenoid. Karena mereka adalah anggota (atau keluarga Bonnet) dari permukaan yang sama, katenoid dapat ditekuk menjadi bagian dari helikoid dan sebaliknya. Katenoid adalah permukaan minimal non-trivial pertama dalam ruang Euklides 3-dimensi yang ditemukan selain dari bidang. Katenoid diperoleh dengan memutar katenari pada bagian irisan kerucutnya. Ditemukan dan terbukti minimal oleh Leonhard Euler pada 1744. Karya awal mengenai subjek ini juga telah diterbitkan oleh .:11106 Hanya ada dua ( yang juga merupakan permukaan minimal): bidang dan katenoid.
  • La catenoide, in geometria, è una superficie di rotazione, che viene ottenuta ruotando una particolare curva piana, detta catenaria, intorno all'asse X. È una superficie minima, ed è stata scoperta da Eulero nel 1744. Si può costruire facilmente un modello materiale di catenoide: basta immergere due cerchi in una soluzione di sapone e la forma che assume la superficie della bolla che li congiunge è una catenoide. Ciò avviene a causa delle forze di tensione superficiale.
  • Katenoida - powierzchnia obrotowa utworzona przez obrót linii łańcuchowej dookoła osi odciętych. Jest ona zadana przez równania parametryczne: gdzie W 1744 Leonhard Euler odkrył, że katenoida ma najmniejsze pole wśród powierzchni rozpiętych na dwóch zadanych okręgach.
  • Een catenoïde is een drie-dimensionale , die wordt geconstrueerd door het roteren van een kettinglijn-kromme rond de -as. Het vlak niet meegerekend is de catenoïde het eerste minimaaloppervlak, dat werd ontdekt. De catenoïde werd in 1744 gevonden door Leonhard Euler. Deze Zwitserse wiskundige bewees ook dat de catenoïde een minimaaloppervlak is. Vroeg werk over dit onderwerp werd in 1776 gepubliceerd door . Er zijn slechts twee omwentelingsvlakken, die ook minimaaloppervlakken zijn: het vlak en de catenoïde.
  • Катеноид — минимальная поверхность, образуемая вращением цепной линии. вокруг оси .
  • Uma catenóide caracteriza-se por ser a superfície de mínima área gerada pela revolução de uma catenária em torno de um eixo adequado, nomeadamente sua diretriz . Surge, a exemplo, em várias ocasiões quando está-se a brincar com películas à base de água e sabão. Um fenômeno físico denominado tensão superficial faz com que tais películas portem-se como superfícies elásticas, e por tal assumam formas que correspondem às formas de menor área possível entre todas as que satisfazem as condições de contorno impostas. Entre todos os sólidos com volumes iguais e não nulos, a esfera é o sólido que possui a menor área superficial possível. Não obstante, as bolhas de sabão são esféricas. De forma semelhante, a catenóide constitui solução para o problema de extremização da área de superfícies que satisfazem determinadas condições de contorno, restrição agora imposta às bordas, e não ao volume, do objeto geométrico associado.
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