| dbo:abstract
|
- الأعداد الفوق منتهية (بالإنجليزية: transfinite number) هي أعداد أصلية أو أرقام ترتيبية والتي هي أكبر من كل الأعداد المنتهية، ولكن ليست بالضرورة غير منتهية. تم صياغة المصطلح Transfinite من قبل جورج كانتور والذي كان يود تفادي غموض مصطلح اللانهاية. (ar)
- En la teoría de conjuntos, número transfinito es el término original que el matemático alemán Georg Cantor introdujo para referirse a números ordinales infinitos, que son mayores que cualquier número natural. En la terminología moderna, al referirse a ordinales o cardinales, «transfinito» e «infinito» son sinónimos. En la terminología moderna, los cardinales son un tipo especial de número oridinal. (es)
- Les nombres transfinis sont des nombres exposés et étudiés par le mathématicien Georg Cantor. Se fondant sur ses résultats, il a introduit une sorte de hiérarchie dans l'infini, en développant la théorie des ensembles. Un nombre entier naturel peut être utilisé pour décrire la taille d'un ensemble fini, ou pour désigner la position d'un élément dans une suite. Ces deux utilisations correspondent aux notions de cardinal et d'ordinal respectivement. Ces nombres ont des propriétés différentes selon que les ensembles auxquels ils s'appliquent sont finis ou infinis. Ces cardinaux et ordinaux sont dits transfinis dans le second cas. Leur existence est assurée par l'axiome de l'infini. Le premier nombre ordinal transfini est noté (oméga), dernière lettre de l'alphabet grec. Il correspond à l'ensemble des nombres entiers naturels , ordonné « naturellement ». L'addition des ordinaux est associative mais pas commutative. On peut aussi définir une multiplication et une exponentiation, ce qui donne lieu à une arithmétique sur les nombres ordinaux transfinis. Dans ZFC, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix, à tout ensemble correspond un cardinal, et les cardinaux sont deux à deux comparables ; dans ce cadre, le plus petit cardinal transfini est noté (Aleph zéro) ; c'est le cardinal de l'ensemble des nombres entiers naturels ; dans la définition de von Neumann, , c'est le même objet noté différemment en tant que cardinal. Il y a une arithmétique des cardinaux, qui est différente de celle des ordinaux. Le cardinal de l'ensemble des nombres réels est plus grand que : il n'y a pas possibilité de faire correspondre un à un les entiers et les réels. (fr)
- Bilangan transfinit (bahasa Inggris: Transfinite numbers) adalah bilangan yang "tak terhingga" (infinite) dalam artian bilangan yang lebih besar dari semua himpunan hingga, tetapi tidak harus merupakan . Istilah transfinit diperkenalkan oleh Georg Cantor, yang ingin menghindari sejumlah implikasi kata "infinite" ("takhingga") dalam hubungan dengan objek-objek yang bagaimanapun bukan "finite" ("terhingga"). Hanya sedikit penulis kontemporer yang setuju pemikiran ini. Penggunaan yang diterima sekarang adalah rujukan "transfinit" untuk "bilangan kardinal" sedangkan "takhingga" atau "infinite" untuk bilangan ordinal. Namun, istilah "transfinit" masih tetap dipakai. (in)
- In mathematics, transfinite numbers are numbers that are "infinite" in the sense that they are larger than all finite numbers, yet not necessarily absolutely infinite. These include the transfinite cardinals, which are cardinal numbers used to quantify the size of infinite sets, and the transfinite ordinals, which are ordinal numbers used to provide an ordering of infinite sets. The term transfinite was coined by Georg Cantor in 1895, who wished to avoid some of the implications of the word infinite in connection with these objects, which were, nevertheless, not finite. Few contemporary writers share these qualms; it is now accepted usage to refer to transfinite cardinals and ordinals as infinite numbers. Nevertheless, the term "transfinite" also remains in use. (en)
- 超限数（ちょうげんすう、英: Transfinite number）とは数学において、すべての有限数よりも大きい数であり、"無限"ではあるが必ずしも"絶対無限"とは限らない。これらには、無限集合の濃度を表現するための超限基数（英: transfinite cardinals）と、無限集合の順序を表現するため使われる超限順序数（英: transfinite ordinals）が含まれる。"超限"という数学用語は、1895年ゲオルク・カントールによってつくられた。これらの対象に対し"無限"という意味の言葉等を避けたいと思った人々は存在したが、にも拘わらずこの数は有限ではなかった。現在この点を問題視する者はほとんどおらず、超限の基数と順序数は無限数とされている。にも関わらず"超限"という用語も使われ続けている。 (ja)
- In matematica la nozione di numero transfinito estende la nozione di numero, le operazioni aritmetiche e la relazione d'ordine proprie dei numeri naturali a una classe più ampia di oggetti che in qualche senso sono "più grandi" degli usuali numeri "finiti". Queste entità sono state introdotte da Georg Cantor e servono a fornire un importante strumento di lavoro nella teoria degli insiemi e di riflesso nella matematica. Come per i numeri finiti vi sono due modi in cui la nozione di numero può essere estesa ai numeri transfiniti: come numeri ordinali e come numeri cardinali. Contrariamente a quanto accade per i numeri finiti, accade che ordinali transfiniti e cardinali transfiniti costituiscono due classi distinte di entità non isomorfe.
* Il più piccolo numero ordinale transfinito è ω.
* Il primo numero cardinale transfinito è (aleph zero) cioè la cardinalità dell'insieme infinito dei numeri naturali .
* Il successivo numero cardinale è (aleph uno). L'ipotesi del continuo afferma che non esistono numeri cardinali intermedi tra e la cardinalità del continuo , cioè la cardinalità dell'insieme dei numeri reali : questo equivale ad affermare che . Però, grazie agli studi di Paul Cohen, l'esistenza di un numerico cardinale è stata dimostrata indecidibile. Sia per il sistema degli ordinali sia per quello dei cardinali, si può procedere illimitatamente nella introduzione di numeri transfiniti, andando incontro a forme sempre più bizzarre di entità numeriche. Ricordiamo che Georg Cantor ha introdotto anche la nozione di infinito assoluto per poter trattare il più esteso concetto assoluto di "numero grande". (it)
- Een transfiniet getal is een kardinaalgetal of ordinaalgetal dat groter dan alle eindige getallen is, maar niet noodzakelijkerwijs wat Georg Cantor noemde "absoluut oneindig". De term transfiniet werd bedacht door Cantor, die sommige van de implicaties van het woord oneindig wilde vermijden, dit in verband met die objecten die niet eindig zijn. Weinig wiskundigen schrikken heden ten dage nog terug voor het begrip oneindigheid; het is nu algemeen aanvaard gebruik om aan transfiniete kardinaal- en ordinaalgetallen als "oneindig" te refereren. De term "transfiniet" blijft echter ook in gebruik. De transfiniete ordinalen en kardinalen vallen niet samen, zoals de eindige ordinalen en kardinalen. De eerste transfiniete ordinaal wordt aangeduid met ω; hierop volgt ω+1, ω+2, ..., ω+ω = 2ω, 3ω, 4ω, ..., ωω = ω2, ω3, ..., ωω, ... De eerste transfiniete kardinaal is (spreek uit: alef-nul), deze is de kardinaliteit van de natuurlijke getallen, en meer in het algemeen van alle aftelbaar oneindige verzamelingen. heeft de volgende eigenschappen, voor :
*
* En, voor eindige :
* Om een grotere kardinale oneindigheid dan te bereiken, moet men verheffen tot de macht :
* (nl)
- 수학에서 초한수(超限數, 영어: transfinite number)는 유한하지 않은 순서수와 기수를 뜻한다. 모든 유한한 수보다 크지만, 절대적 무한은 아니다. 게오르크 칸토어가 절대적 무한과 구별하기 위해 처음 사용한 용어이다. (ko)
- Um número transfinito é a forma rigorosa usada pela matemática para contar o número de elementos de conjuntos infinitos. (pt)
- De transfinita talen är en sorts generalisering av de naturliga talen i syfte att kunna bestämma storleken hos oändliga mängder. Teorin om transfinita tal introducerades 1874 av den tyske matematikern Georg Cantor. För att förstå tankegångarna bakom hur man räknar med oändliga mängder kan man ta Hilberts hotell som ett exempel. Hilberts första exempel är att en gäst flyttar in i ett fullsatt hotell med oändligt antal rum. Detta representeras då av , där T är en oändlig mängd. I Hilberts andra exempel flyttar oändligt många gäster in i hotellet vilket då representeras av . I båda exemplen får alla gäster plats vilket leder till slutsatsen att och att .Det Cantor säger då är att det ska finnas en oändlig mängd M större än den oändliga mängden T vilket leder till att mängden M inte får plats i Hilberts hotell. (sv)
- Трансфінітне число — це числа, які є «нескінченними» в тому сенсі, що вони більше, ніж усі скінченні числа, але не обов'язково абсолютно нескінченні. Термін трансфінітне число був придуманий Георгом Кантором, який хотів уникнути деяких наслідків використання терміну нескінченний у зв'язку з тими об'єктами, які не є скінченними. Зараз прийнято називати трансфінітні кардинали та ординали «нескінченними» числами. (uk)
- 超限数是大于所有有限数（但不必為绝对无限）的基数或序数，分別叫做超穷基数（英語：transfinite cardinal number）和超穷序数（英語：transfinite ordinal number）。术语「超限」（transfinite）是康托尔提出的，他希望避免词语无限（infinite）和那些只不过不是有限（finite）的那些对象有关的某些暗含。當時其他的作者少有这些疑惑；现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语「超限」仍在使用。 超穷序数可以確定超穷基数，並導出阿列夫数序列。 对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为基数和作为序数。不像有限基数和序数，超限基数和超限序数定义了不同类别的数。
* 最小超限序数是ω。
* 第一个超限基数是aleph-0 ，整数的无限集合的势。如果选择公理成立，下一个更高的基数是aleph-1 。如果不成立，则有很多不可比较于aleph-1并大于aleph-0的其他基数。但是在任何情况下，没有基数大于aleph-0并小于aleph-1。 连续统假设声称在aleph-0和连续统（实数的集合）的势之间没有中间基数：就是说，aleph-1是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假，由于不完备性的影响。 某些作者，比如Suppes、Rubin使用术语超限基数来称呼的势，在可以不等于无限基数的上下文中；就是说在不假定可数选择公理成立的上下文中。给定这个定义，下列是等价的：
* 是超限基数。就是说有一个戴德金无限集合A使得A的势是。
* 。
* 。
* 有一个基数使得。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- الأعداد الفوق منتهية (بالإنجليزية: transfinite number) هي أعداد أصلية أو أرقام ترتيبية والتي هي أكبر من كل الأعداد المنتهية، ولكن ليست بالضرورة غير منتهية. تم صياغة المصطلح Transfinite من قبل جورج كانتور والذي كان يود تفادي غموض مصطلح اللانهاية. (ar)
- En la teoría de conjuntos, número transfinito es el término original que el matemático alemán Georg Cantor introdujo para referirse a números ordinales infinitos, que son mayores que cualquier número natural. En la terminología moderna, al referirse a ordinales o cardinales, «transfinito» e «infinito» son sinónimos. En la terminología moderna, los cardinales son un tipo especial de número oridinal. (es)
- Bilangan transfinit (bahasa Inggris: Transfinite numbers) adalah bilangan yang "tak terhingga" (infinite) dalam artian bilangan yang lebih besar dari semua himpunan hingga, tetapi tidak harus merupakan . Istilah transfinit diperkenalkan oleh Georg Cantor, yang ingin menghindari sejumlah implikasi kata "infinite" ("takhingga") dalam hubungan dengan objek-objek yang bagaimanapun bukan "finite" ("terhingga"). Hanya sedikit penulis kontemporer yang setuju pemikiran ini. Penggunaan yang diterima sekarang adalah rujukan "transfinit" untuk "bilangan kardinal" sedangkan "takhingga" atau "infinite" untuk bilangan ordinal. Namun, istilah "transfinit" masih tetap dipakai. (in)
- In mathematics, transfinite numbers are numbers that are "infinite" in the sense that they are larger than all finite numbers, yet not necessarily absolutely infinite. These include the transfinite cardinals, which are cardinal numbers used to quantify the size of infinite sets, and the transfinite ordinals, which are ordinal numbers used to provide an ordering of infinite sets. The term transfinite was coined by Georg Cantor in 1895, who wished to avoid some of the implications of the word infinite in connection with these objects, which were, nevertheless, not finite. Few contemporary writers share these qualms; it is now accepted usage to refer to transfinite cardinals and ordinals as infinite numbers. Nevertheless, the term "transfinite" also remains in use. (en)
- 超限数（ちょうげんすう、英: Transfinite number）とは数学において、すべての有限数よりも大きい数であり、"無限"ではあるが必ずしも"絶対無限"とは限らない。これらには、無限集合の濃度を表現するための超限基数（英: transfinite cardinals）と、無限集合の順序を表現するため使われる超限順序数（英: transfinite ordinals）が含まれる。"超限"という数学用語は、1895年ゲオルク・カントールによってつくられた。これらの対象に対し"無限"という意味の言葉等を避けたいと思った人々は存在したが、にも拘わらずこの数は有限ではなかった。現在この点を問題視する者はほとんどおらず、超限の基数と順序数は無限数とされている。にも関わらず"超限"という用語も使われ続けている。 (ja)
- 수학에서 초한수(超限數, 영어: transfinite number)는 유한하지 않은 순서수와 기수를 뜻한다. 모든 유한한 수보다 크지만, 절대적 무한은 아니다. 게오르크 칸토어가 절대적 무한과 구별하기 위해 처음 사용한 용어이다. (ko)
- Um número transfinito é a forma rigorosa usada pela matemática para contar o número de elementos de conjuntos infinitos. (pt)
- Трансфінітне число — це числа, які є «нескінченними» в тому сенсі, що вони більше, ніж усі скінченні числа, але не обов'язково абсолютно нескінченні. Термін трансфінітне число був придуманий Георгом Кантором, який хотів уникнути деяких наслідків використання терміну нескінченний у зв'язку з тими об'єктами, які не є скінченними. Зараз прийнято називати трансфінітні кардинали та ординали «нескінченними» числами. (uk)
- Les nombres transfinis sont des nombres exposés et étudiés par le mathématicien Georg Cantor. Se fondant sur ses résultats, il a introduit une sorte de hiérarchie dans l'infini, en développant la théorie des ensembles. Un nombre entier naturel peut être utilisé pour décrire la taille d'un ensemble fini, ou pour désigner la position d'un élément dans une suite. Ces deux utilisations correspondent aux notions de cardinal et d'ordinal respectivement. Ces nombres ont des propriétés différentes selon que les ensembles auxquels ils s'appliquent sont finis ou infinis. (fr)
- In matematica la nozione di numero transfinito estende la nozione di numero, le operazioni aritmetiche e la relazione d'ordine proprie dei numeri naturali a una classe più ampia di oggetti che in qualche senso sono "più grandi" degli usuali numeri "finiti". Queste entità sono state introdotte da Georg Cantor e servono a fornire un importante strumento di lavoro nella teoria degli insiemi e di riflesso nella matematica. Ricordiamo che Georg Cantor ha introdotto anche la nozione di infinito assoluto per poter trattare il più esteso concetto assoluto di "numero grande". (it)
- Een transfiniet getal is een kardinaalgetal of ordinaalgetal dat groter dan alle eindige getallen is, maar niet noodzakelijkerwijs wat Georg Cantor noemde "absoluut oneindig". De term transfiniet werd bedacht door Cantor, die sommige van de implicaties van het woord oneindig wilde vermijden, dit in verband met die objecten die niet eindig zijn. Weinig wiskundigen schrikken heden ten dage nog terug voor het begrip oneindigheid; het is nu algemeen aanvaard gebruik om aan transfiniete kardinaal- en ordinaalgetallen als "oneindig" te refereren. De term "transfiniet" blijft echter ook in gebruik. (nl)
- De transfinita talen är en sorts generalisering av de naturliga talen i syfte att kunna bestämma storleken hos oändliga mängder. Teorin om transfinita tal introducerades 1874 av den tyske matematikern Georg Cantor. (sv)
- 超限数是大于所有有限数（但不必為绝对无限）的基数或序数，分別叫做超穷基数（英語：transfinite cardinal number）和超穷序数（英語：transfinite ordinal number）。术语「超限」（transfinite）是康托尔提出的，他希望避免词语无限（infinite）和那些只不过不是有限（finite）的那些对象有关的某些暗含。當時其他的作者少有这些疑惑；现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语「超限」仍在使用。 超穷序数可以確定超穷基数，並導出阿列夫数序列。 对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为基数和作为序数。不像有限基数和序数，超限基数和超限序数定义了不同类别的数。
* 最小超限序数是ω。
* 第一个超限基数是aleph-0 ，整数的无限集合的势。如果选择公理成立，下一个更高的基数是aleph-1 。如果不成立，则有很多不可比较于aleph-1并大于aleph-0的其他基数。但是在任何情况下，没有基数大于aleph-0并小于aleph-1。 连续统假设声称在aleph-0和连续统（实数的集合）的势之间没有中间基数：就是说，aleph-1是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假，由于不完备性的影响。
* 是超限基数。就是说有一个戴德金无限集合A使得A的势是。
* 。
* 。
* 有一个基数使得。 (zh)
|
